Vektoren, Geraden, Winkel und Ebenen im Raum

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eines Vektors und seines Gegenvektors = -V sind gleich lang und zueinander parallel, aber entgegengesetzt gerichtet. Lange eines Vektors: Definition: V3 im Koordinaten - Unter der Länge eines Vektors ✓ versteht man die Länge der Pfeile, die system zu dem Vektor gehören. Statt Lange Sagt man auch Betrag von V. Die Länge eines Vektors wird mit 11 bezeichnet. Der Nullvektor o hat die Länge 0. Berechnung. Für die Länge 11 eines dreidimensionalen (V₂) gilt: 1V1= Vektor 745 Addieren von Vektoren: zweier Die Hintereinanderausführung Verschiebungen, die durch die Vektoren 6 bestimmt sind, ergibt wieder eine Verschiebung, die durch einen Vektor 3² = a + b beschrieben werden kann. a und Definition: Summe Zweier Vektoren: und b = 102 Zwei Vektoren a = (a²) 101 werden faut bi Man nennt den az + b2 = (a₂ + b² b3 1a3 + b3 1 + (02 a3 die Summe der Vektoren a und b oder auch den Summenvektor von à und b. koordinatenweise addiert. Vektor s = a+b = [0₂ Anschaulich erhält man den Summen vektor s= a + b ₁ indem man an die Spitze 5 eines Pfeils von a einen Pfeil von anhängt. Der Pfeil für 5 reicht dann vom Anfangs- des ersten Pfeils zur Spitze des Pfeils. punkt zweiten a s-a+b to HU 10 f Subtrahieren von Vektoren: Entsprechend zum Addieren kann man Vektoren Koordinatenweise Subtrahieren. Definition: Differenz zweier Vektoren: Zwei Vektoren a-(0²) und 55 - (0² = koordinaten weise Subtrahiert. DI Man az b2 013 b3 nennt den Vektor d = a - b = (0₁) die Differenz der Vektoren a und 1² oder auch den Differenzvektor von à und b. Anschaulich erhält man den Differenz vektor a-a-b²₂ man zwei Pfeile für die Vektoren a und b in einem gemeinsamen Punkt anträgt und die Pfeilspitzen folgendermaßen verbindet: Wenn Der Pfeil für d reicht von der Spitze des Pfeils von b zur Spitze des Pfeils von a. a D id-à-b² werden Man kann einen Vektor b auch von einem Vektor a subtrahieren, indem man den Gegenvektor -b d=a+(-b) addiert: Man erhält den Preil des Differenzvektors &-a-b anschaulich auch, indem man an die Spitze des Pfeils von a den Gegenvektor -b von B anhangt. b /alb 12-b₂ a3-b3 a -b Dreiecksregel: Im Koordinatensystem gilt für alle Punkte Q P, Q und R: PQ+ QR QR = PR Dach A und der Dreiecksregel gilt für zwei Punkte B in einem Koordinatensystem mit dem. Koordinaten ursprung 0: OA + AB ов Punkte Daraus folgt für den Verbindungsvektor AB zweier = Po. = 0 OA 2 OB -R Abstand von zwei Punkten: Der Abstand zweier Punkte Ala^lazlaz) und B (bAlbzlb3) ist gleich der Länge Vektors AB. Es gilt also: des |AB| = |AB| = √ (b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-a3)²² Beispiel: : A(-3151-2) B(21-418) | AB) = |AB| = |OB - OA 1: -3 1 OB - OA 1 - 11 -²42 ) - ( 132 ) 1-4-|(²) - (3) 11-163) 8 A Ala₁19²) α3) und B(b₁|b2|63): AB OBOA = 1 b₁ an b2-a2 b3a3 √(2-(-3))² + (-4-5)² + (8-1-2)) ²² √5² +1-9² + 10²² 7206 ~14,35 AB-OB-CA Tin Vielfache von Vektoren: Definition Vielfache eines Vektors Ein Vektor ✓-(₂) wird koordinatenweise mit = V2 einer V3 reellen Zahl den r-fache des Vektors ✓. Man nennt das r vervielfacht. VA Vektor r. v = r. (~₂) = ( x V) r. V3 r. Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalar) bezeichnet man auch als skalare Multiplikation eines Vektors. Geometrische Bedeutung des Vervielfachens Kollinearitāt, von Vektoren Wird ein Vektor ✓ + 8 mit einer Zahi_r+0 vervielfacht, so gilt: > Die Pfeile des Vektors r.v sind paralles zu den Pfeilen des Vektors V. V 7 ✓ 1,5 V - > 1st r>0, so haben die Pfeile von r. V die selbe Richtung und die r-fache Länge wie die Pfeile des Vektors V. - 1st r<O, so haben die Pfeile von r. die entgegengesetzte Richtung und die Irl-fache Lange wie die Pfeile des Vektors V. Umgekehrt gilt: Sind zwei Pfeile parallel zueinander, so sind die beiden zugehörigen Vektoren Vielfache voneinander. Definition: Zwei Vektoren u to und ✓ to heißen parallel zueinander, wenn sie Vielfache voneinander sind. Man sagt dann auch die beiden Vektoren sind kollinear zueinander. Mittelpunkt einer Strecke den Mittelpunkt OM Für 0 1/2 · (OA + OB ) OX einer Strecke |AB| gilt: 2 y 4 Vektoren (& Punkte) im Raum Buch S. 212-232 Geraden im Raum 249 15 Parameter darstellung einer Geraden: Durch einen Punkt A und einen Vektor V+ 0 ist eine Gerade 9 bestimmt. Die Gerade g Kann wie folgt beschrieben werden: OA+K. V OX KETR g: Diese Vektorengleichung bezeichnet man als Parameter darstellung der Geraden g mit dem Parameter Es gilt: k. 1) Setzt man für k irgendeine Zahl in die Parameter darstellung der Geraden g ein, So ergibt sich der Ortsvektor Ox eines Punktes X der Geraden g. 2) Für jeden Punkt P der Geraden g gibt es eine Zahl kEIR, sodass OP=OA+K · V Für Punkte außerhalb der Geraden g mit gibt es Stutzvektor von solche Zahl k nicht. 9 Richtungs Vektor OA +KV CA Spurpunkte einer Geraden bestimmen: Koordinatenebenen Die Schnittpunkte einer Geraden mit den bezeichnet man als Spurpunkte der Geraden. Mithilfe der Spurpunkte erhalt man eine gute Vorstellung der Lage der Geraden im Koordinaten- system. Die Spurpunkte einer Geraden werden üblicherweise wie folgt bezeichnet: Schnittpunkt der Geraden mit der X2x3- Ebene Schnittpunkt der Geraden mit der X₁ X3- Ebene Schnittpunkt der Geraden mit der X₁X2-Ebene Punkt probe: L liegt der Punkt P auf der Geraden g? Anleitung: 1) Punkt in Vektorschreibweise übernehmen. und mit dem Term der Geraden gleich setzen. 2) Vektorschreibweise übernehmen in die schreibweise eines Gleichungssystems. 3) Gleichungssysteme nach Variablen auflösen. ↳ Nur wenn bei allen Variablen die gleichen Werte rauskommen, liegt der Punkt P auf der Geraden g. Beschreibung von Strecken: ↳ Wenn der Punkt P auf der Geraden liegt, liegt dieser Punkt P auch innerhalb einer bestimmten Begrenzung?! Lagebeziehungen zwischen Geraden: Wie können zwei Geraden im Raum zueinander Liegen ? gegeben: 9: x = a + rū h: x = b + s. 3 시 1) 9=h ㅋ 리 P gund h 3) gh gith - gund h sind zueinander parallel, aber nicht identisch / sind verschieden A. →→g und h schneiden sich in einem Schnittpunkt S. 4) gWh 9 und h sind nicht zueinander parallel, besitzen aber keinen gemeinsamen Punkt. Sie sind zueinander windschief. g=h ✓ sind identisch Strategie zur Bestimmung der Lage zweier Geraden zueinander. JA VISER gilh 2. Liegt ein Punkt von gaufh? → Punktprobe JAY Sind die Richtungs- vektoren der Geraden gund h Vielfache voneinander ? NEIN gin, g+h NEIN gth Haben gund h einen gemeinsamen Schnittpunkt? - Geraden gleichseteen JA/ INEIN g@h Wh Geradenscharen: Eine Geradenschar besteht aus Geraden, die in der · Geradengleichung einen weiteren Parameter, den sogenannten Scharparameter haben. Zu jedem Wert des Scharparameters gehört Gerade der Schar. eine Es ist also ein Verbund von unendlich vielen, ähnlichen Geraden. > Schar parameter im Stutzvektor: Beim folgenden Beispiel ist der Schar parameter a im Stützvektor der Parameter darstellung der Sowohl für a als auch für t du eine beliebige reelle Zahl einsetzen, ga. € TR Geraden kannst es gilt also: Die Geradengleichung lautet: a, t да: go x - (20²) + + (3) 2a 3+a Der Stützvektor hängt also von a ab, er ist nicht fix. Der Richtungsvektor ist allerdings fixiert. Das bedeutet, dass alle Geraden der Geraden schar die gleiche Richtung im Raum haben. Sie sind also parallel zueinander. Man nennt eine Geradenschar auch Parallelenschar. solche > Scharparameter im Richtungsvektor: In diesem Beispiel ist der Scharparameter im Richtungsvektor der Parameter darstellung der Geraden ha. Auch hier soll wieder gelten: a, t ETR na x-( 3 ) + ( + a) ha: 2 a Der Stutzvektor ist bei allen Geraden der Geraden- schar gleich. Das bedeutet, dass diese durch den gemeinsamen Fixpunkt S(11213) verlaufen. Es bildet sich ein sogenanntes Geradenbüschel. Nur der Richtungsvektor hängt vom Parameter a ab. Somit hat jede Gerade der Schar eine andere Steigung bzw. Richtung im Raum. # Licht und Schatten : Wenn Licht auf einen Gegenstand fällt, dann entsteht am Boden oder an der nebenstehenden Wand ein Schatten. Dieses Schattenbild entstent durch eine geometrische Abbildung des Gegen- Standes. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden: > Fällt das Licht parallel ein (z. B. Sonnenlicht) Spricht man von Parallelprojektion. > Geht das Licht von Lichtquelle aus, spricht man Schritt 2: Schneide die Zentral projektion. Fall 1: Aufgabe mit Schatten einer punktförmigen Lichtquelle / Zentralprojektion (Lampe). Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkten der Objekte, die Schatten & werfen, verbinden. Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen. Fall 2: Aufgabe mit Schatten einer weit entfernten Lichtquelle / Parallel projektion (Sonne). Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, die durch die Eck- punkte der Objekte, die Schatten werfen, genen und in Richtung der Sonnenstrahlen verlaufen. einer punktförmigen von die Hilfsgeladen mit der Ebene, auf die die Schatten fallen. 249 ↑ Geraden im Raum Buch S 233 - 1 ↓ Winkel im Raum Buch S. 250-264 Winkel im Raum Skalarprodukt und Orthogonalitat von Vektoren: Bei der Überprüfung, ob zwei Vektoren u und V orthogonal zueinander sind, berechnen wir aus ihren Koordinaten die Zahl uivi + u₂v² +4²√3. Die Zahl U₁V₁ + U2V₂+ U3V3 hat für je zwei Vektoren u+ 0 und ✓ + eine geometrische Bedeutung, deshalb führen wir für eine solche Zahl; die aus zwei Vektoren berechnet wird, einer eigenen Namen und die folgende Schreibweise ein. Definition: Unter clem Skalar produkt zweier Vektoren un J = (4₂) und ✓= 43 U₁ V₁ + Das mit V₁ V2 versteht man die reelle Zahl V3 U2 V2 + U3 V3 Skalarprodukt der Vektoren of und wird bezeichnet: VA * * * - (~1²) * (1²₂) - v = 42 V2 43 V3 = U₁V₁ + U2 V2 + U3 V3 Satz: Orthogonalitats kriterium für Vektoren: Zwei Vektoren u und ✔ mit u + 2 und v #0 sind genau dann zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null hat. Für zwei Vektoren u + ♂ und V² + 0 gilt also: TI✓ genau dann, wenn i * = 0. Zueinander orthogonale Geraden im Baum: In der Ebene haben zueinander orthogonale Geraden immer einen Schnittpunkt. Im Raum kann es zueinander windschiefe Geraden geben, deren Richtungsvektoren zueinander orthogonal sind. Solche Geraden nennt man ebenfalls zueinander orthogonal, sie keinen Schnittpunkt auch wenn besitzen. Skalarprodukt und Länge eines Vektors: Berechnen Sie das Skalarprodukt des Vektors J = mit sich selbst und zeigen. E 42 из Sie: Für die Länge (den Betrag! eines Vektors. gilt: 11 = √üxü Bezeichnung Skalarprodukt: Wie Vektoren addiert bzw. Subtrahiert werden, ist bereits bekannt. Der Namensteil"-produkt". legt nahe, dass nun über das Skalarprodukt die Multiplikation von Vektoren definiert sei, wie man sie von den reellen Zahlen her kennt. Das ist aber nicht der Fall, weil das Skalar produkt sich in einer zentralen. Eigenschaft vom Produkt zweier reeller unterscheidet: Zahlen zweier reeller Zahlen Liefert wieder eine reelle Zahi. Das Skalar produkt zweier Vektoren Tiefert hingegen wieder einen > Das Produkt. nicht Vektor, sondern eine reelle Zahl, also genau einen der Bausteine, aus denen die Vektoren zusammengesetzt sind. Diese Bausteine nennt man in der Mathe- matik Skalare daher der Name 1 Skalarprodukt. Der Name Skalarprodukt rührt daher, dass für clas Skalarprodukt und die Addition. von Vektoren das Distributivgesetz gilt, wie Multiplikation und Addition von bei der reelen Zahlen. Winkel zwischen Vektoren und Geraden: Skalarprodukt beliebiger Vektoren u und mit u + 8 und ✓ +0. Die Gleichung für alle Vektoren im Raum. WITT Diesen Sachverhalt kann man beweisen. Dazu betrachtet man zunächst das Skalarprodukt * v=1u1.1V1. cos (x) gilt, zueinander paralleler Vektoren. 1) Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren und : Bei zueinander parallelen Vektoren und ✓ gilt: > sind & und > Sind & und u v = - gleichgerichtet, so ist u* v= 1u|-|V1. einander entgegengesetzt gerichtet, so ist VI 2) Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren u und ✓ mit u + o und √ +0: Für je zwei Vektoren +0 und ✓ +0 eingeschlossenen Winkel & gilt: u * v = 1.11. (a) mit dem Winkel zwischen zwei Vektoren im Raum berechnen: Da man die Gleichung *√ = 11.1V1.COS LO) stehts nach x umformen kann, erhält man damit auch eine Gleichung, mit der man den Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren berechnen kann. Satz: Für den Winkel & Zwischen zwei Vektoren I und I mit u to und 3 to gilt: mit 0⁰sxs 1800 Cos (a) U + V 17.17 ū Winkel zwischen zwei Geraden: Gegeben sind die beiden Geraden g und h. mit den Parameter darstellungen 2 9: x² - ( ²³ ) + ✓ · ( 2² ) und h: x = ( 3³ ) + S. ( 101 ) mit ris ETR. Die beiden Geraden schneiden einander im Punkt S(31-514) und schließen dort Winkel miteinander ein. Rechenweg: h 1 Koordinaten- system Vektoren Betrag eines Vektors Abstand zweier Punkte Addition und Subtraktion von Vektoren Vervielfachen eines Vektors Das Wichtigste im Überblick Ein räumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus drei Koordinatenachsen, die als x,-Achse, x,-Achse und x-Achse bezeichnet werden. Diese Achsen sind paarweise orthogonal zuein- ander. Je zwei Koordinatenachsen spannen eine Koordinatenebene auf: die x, x₂-Ebene, die x₂x3-Ebene und die x₁x₂-Ebene. Zu jedem Zahlentripel (x, x₂|x₂) gehört ein Punkt P(x,|x₂|x₂) im Koordinatensystem. Ein Vektor v mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das man als Spalte schreibt: V = V₂ *-(3) Durch einen Vektor wird ein Verschiebung im Raum beschrieben. Der Vektor-V ist der Gegenvektor des Vektors V. Den Vektor p, der den Koordinatenursprung O in den Punkt P ver- schiebt, bezeichnet man als Ortsvektor des Punktes P: p = OP. Unter der Länge oder dem Betrag eines Vektors V versteht man die Länge der Pfeile, die zu dem Vektor gehören. V₁ Man schreibt: V. Für die Länge || eines Vektors V=V₂ gilt: |V |=- = √ √V² + V² + v². Der Abstand zweier Punkte A (a, la, la,) und B (b, | b₂ | b) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors AB. Es gilt also: IABI=AB=√(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-a3)² Die Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen entspricht der Addition der zugehörigen Vektoren a und b. Es gilt: a, + b, 5=a+b=a₂ + =a₂ + b₂ D₂ a3 + b3 Für die Subtraktion zweier Vektoren a und b gilt: a, -b₁ a, b₁ d=a-b=a₂b₂=a₂-b₂ a b₂ a3-b3 Ein Vektor V=V₂ --(3) b 3-3+b 6 r.v₁ vervielfacht. Es gilt: r-v=rV₂ r.v₂ Die Pfeile der Vektoren und r-V sind parallel zueinander. d-a-b wird koordinatenweise mit einer reellen Zahlr x₂ 4x3-Achse V: 2+ 1+ A(-11415); B (3|-2|6) Verschiebung von A nach B mit dem Vektor: |AB| = 45° 3-(-1) V=AB= -2-4= -6 6-5 1 Gegenvektor: -V= 6 Ortsvektoren: a = OA = 0 پر پر | |-- ( 5-6-|-| 4 = ||=√4²+(-6)² + 1² = √53 = 7,28 -3. 3-(-1)) -2-4 = √53 6-5 7,28 b = 6 -4 4+(-7) a+b= -3+6 = 2+(-4) P(132) www [4-(-7) a-b-3-6-9 2-(-4) 3-4 3-(-6) 3.1 X2-Achse 3 11 6 12 1,5-V Parameter- darstellung einer Geraden Gerade durch zwei Punkte Lagebeziehun- gen von Geraden Skalaprodukt Eine Gerade g durch einen Punkt A mit einem Richtungsvektor vo kann durch eine Parametergleichung mit dem Parameter k beschrieben werden: g: OX = OA+k-v mit ke R. Eine Gerade kann durch verschiedene Parameter- darstellungen beschrieben werden. Eine Gerade g durch die Punkte A und B hat die Parameterdarstellung g: OX-OA+k-(OB - OA) mit KER. (1) g und h sind identisch: g = h Strategie zum Ermitteln der Lagebeziehung 1. Schritt 2. Schritt g-h g: x = (3) h: X = +S Für die Lagebeziehung zweier Geraden g und h im Raum sind folgende Fälle möglich: (2) g und h sind zueinander parallel, aber verschieden: gh mit g h + r. u = 1 gih Liegt ein Punkt von g auf h? g und h sind identisch. U₁ V₁ U V=U₂ g: x = U3 V3 (3³). h: X = + r. Sind die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander? nein +S- h Für das Skalarprodukt der Vektoren u, V₁ U₂ und V=V₂ gilt: U₂ -1 0 g und h sind zueinan- der parallel und nicht identisch. A(616-1), V= V₂ = U₁ V₁ + U₂ V₂ + U3 V3 ¹x. ~- (-:-) COX-1)+(23) g: Ox k ja XXX A(6 6-1), B(0|2|1) g: Ox= + k. (3) g und h schneiden sich in einem Punkt S. k-v Richtungsvektor V g: x = Stützvektor h: x = S(1|1|5) nein (4) g und h sind zu- einander windschief. g und h sind nicht zueinander parallel: gih 0 Haben g und h einen gemeinsamen Punkt S? nein g: x = h: x = OX-OA+K-V V +r. +S g und h sind wind- schief zueinander. = (-2)-4+3 (-1) +1-8=-3 Orthogonalität von Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren Zwei Vektoren u und V mit u #0 und VO sind genau dann zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null hat. Für je zwei Vektoren u #0 und V#0 mit dem eingeschlossenen Winkel a gilt: UV-V-cos(a). Für den Winkel zwischen diesen Vektoren gilt also: mit 0° sas 180°. cos (a) = U.V M A Winkel im Raum Buch S. 250-264 Ebenen im Raum V us. 265-282 Buch ū= (2)-4+3.0+1-8=0, also uv ū= V = u=√14, V-9, U*V = -3 -3 √14.9 cos(a)= a=cos-¹ " (√14³-9) " = 95° & Zusammenfassung / überblick (Buch) (noch weiter, aber nur bis da für Klausur D₁, 3) Ebenen im Raum Parameter darstellung einer Ebene - Punktprobe: Satz: Parameter darstellung einer Ebene Durch einen Punkt A und zwei Vektoren uto und P+ die nicht parallel zueinand sind, ist eine Ebene E bestimmt. Die Ebene E bestimmt. Die Ebene E kann wie folgt beschrieben werden : E: X = OX + su+t. V mit sit ER Diese Vektorengleichung bezeichnet man als Parameter darstellung der Ebene E mit den Parametern. und t. Es gilt: 1) Setzt man für s und & zwei belibiege zahlen in die Parameter darstellung der Ebene E ein, so ergibt sich der Ortsvektor OX Ebene E. eines Punktes X der 21 Für jeden Punkt P der Ebene & gibt E es zwei Zahlen sit €RR, Sodass - OAT S u + t. v = gilt. Liegt ein Punkt nicht in der Ebene, gibt es solche Zahlen nicht. Parameter darstellungen bestimmen: 1) 3 Punkte angegeben: Alanlaz a3 B (bilbil b3) Clc₁ C₂1C3) F E: x = E: X 2) 4 Punkte al 912 + S. OA Alanlaz 1 a3) : Bibilb₂1b3) C(clc21 C3) D (di 10₂ | ds) 4 angegeben: AB b₁ - an bz - az b3a3 182 Zeile s & t E: X= صلہ E: X 4x 47 = 5 4x = a E (8) (8) ( ) ( ) саат + S. b2 + D3 - 0² C3-03 D SAB t. c = d₂ = 92 аз - + t. AC in GTR 3. Zeile *** a + s (b₁-a₁) ++ (0₁-0₁), + s (b2-az ++ (C²-C₁2²) 03 + s (b3-93) + + (cz - 93) Lineares Gleichungssysten (zani Variablen Zahl) Variablen 81-3 C2 az C3 03 AC S.... t = in einsetzen. Zahl (gleiche) zahl LF alle Punkle liegen auf niner Ebene (3) Geradengleichung, 1 Punkt angegeben Geraden T → Bildet der Punkt mit der eine Ebene D EX E: X = E: 91 az a3/ a1 E: x = ( 9² ) X az Q3 gleiches Verfahren 4 t a1 912 03 AG +S ts. b₁-a1 Sb2-az b3-a3 SAB /b₁-a₁ Dz-az D3-a3 AB +S. ai 4 Ebenengleichung, 1 Punkt angegeben. -P befindet sich der Punkt auf der az a3 P (01 102 103) (82) - ( bi + t 01 az b3-03 +S. + t. ) P (p₁|pz|p3) AP + t b1-a1 b2-a2 b3-03 0₁-01 02 az ·03 - 03/ . Co cz-az C3-a3 tt. C1 C1 CR 03- 02 a3 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene: Die gemeinsamen Punkte einer Gerade mit einer Ebene bestimmen. Das Bestimmen der gemeinsamen Punkte einer Gerade und einer Ebene führt auf die Aufgabe, ein 3 x 3 - Gleichungssystem zu lösen. Es gibt genau drei verschiedene Falle > Das Lineare Gleichungssystem hat genau eine. Lösung, d. h. die Gerade schneidet die Ebene einem Punkt S. in > Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h die Gerade verläuft parallel zur Ebene und mit dieser keinen hat gemeinsamen Punkt Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich Lösungen, d. h. die Gerade liegt Ebene. viele in der Normalenvektor einer Ebene : Normalenvektor, Normalenform und Koordinatenform einer Ebene: Man bezeichnet einen Vektor n+ð als der Ebene, wenn er Normalenvektor Orthogonal zu der Ebene ist. Dies bedeutet, orthogonal zu zu allen Richtungs vektoren. ist. Alle Normalen vektoren einer dass der sind Vielfache Voneinander. F Ebene Ebene a 3 Satz: Normalenform und Koordinaten form einer Ebene Gegeben sind ein Punkt Alailazla3) einer Ebene E und ein Normalenvektor n=1 n₁ = n² n3 3 von E. Ein Punkt X (x₁\x²)x3) liegt genau dann sein Ortsvektor Ox = in dieser Ebene, wenn *-(*) die folgende Gleichung erfüllt: 3 n* (OX - OX) = 0₁ also: ส *OA Mit d = n²³² * Dà ergibt sich daraus eine Lineare Gleichung (Koordinaten form) der Ebene E: n + D₂ X₂ + 13. d Eine Lineare Gleichung geometrisch deuten - Koordinatenform 3 einer Ebene: Jede Ebene kann durch einen Punkt und einen Normalenvektor der Ebene eindeutig bestimmt kann somit Ebenen auch durch werden. eine OX • für eine - ҳ1 Koordinaterform beschreiben. = Umgekehrt gehört zu jeder Linearen Gleichung die Variablen xz und x3 auch Ebene. Man X3 X1 Lage zweier Ebenen zueinander : Gegeben sind zwei den Normalenvektoren n. und nz. 1) Ex und Geraden g. DA 2) E₁ und und E2 schneiden einander in der 3) E₁ und Ebenen E und Ez mit #n² verschieden E2 sind parallel \\ nz Koordinatenform: ( keine Vielfachen) + A1 11 nz zueinander Koordinatenform: n₁x₁ +h²x² +n3x3 Vielfache = d unterschiedlich. Ez sind identisch. Koordinatenform: (vielfache) Mathe Referat: Schnittwinkel → Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden - & (E; 9) Um den Schnittwinkel Zwischen einer Geraden einer Ebene zu berechnet, und man die Formel: Sin (x) = Bsp: E: Dazu benötigt man also den Richtungs vektor Geraden und den Normalenvekton n der der Ebene. 9₁ 2x1 Ln X BRIANEN IL = Ower J Sin (x) = 2x2 + 5x3 LV. + = NNIO 2 * -2 GE t (3) 11 Schneidet sich die Gerade mit der Ebene ? ✓ *V = - 18 = 0 2) Berechnung des Schnittwinkels -→ Einsetzen in clie Formel 4 (3) -4 (B+C)- 3 = -19 +0 -2 * 5 benutzt 22522 S Gerade & Ebene Schneiden sich! 90° 19 1 126 133 Xx 40, 4° Sin-1 1 Schnittwinkel zweier Ebenen x (Ex ; E₂) Unter dem Schnittwinkel zweier Ebenen versteht man den spitzen Winkel & zwischen zwei Geraden (g&h). Diese liegen auf demselben Punkt der Schnittgerade (s) und liegen auch senkrecht in beiden Ebenen. Den Schnittwinkel von den Ebenen E₁ und Ez ist gleich den die Normalenvektoren festlegen: COS (x) = 0° ≤ x ≤ 90° Bsp: Schneiden sich, wenn wenigstens ein Richtungsvektor der Ebene E und NE₂ nicht orthogonal zueinander oder NEZ Linear unabhängig sind. NEA 5 En: E 2= 1) NEA und 2) Lineare Ez 4 NE₁ * NE₂ IDEAL · INE₂1 -X1 -X₁ ermittein: 3 2 +- ( ²2² ) ~ - ( ² ) -2 1 2 BRUNNEN T X 6 2 3 tro -2 2 + 2x2 184 ū 3x3 + So * ग्रुप xx 57, 430 ✓ 1 3) Schnitt winkel & Cos (α) = (-6)· (-1) + (-2) - 2 T 2 - 1 2 AO O von E₁ und E₂: (9) -2 unabhängigkeit prüfen:/ +2x2-3x3 10 O NE₂ (3) k. (3) → Sind Linear unabhängig Schneiden sich r₁ st R a - (2) ne₁ 7.(-3) 1 √(-6)² + (-2)² +7²¹ √(-1)² +2²+(-3)²¹ 19 | Cos 1