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Vektoren Lernblatt
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luisa
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Vektoren, Anwendung, Punktprobe, Geraden aufstellen, Schnittgeraden, Winkelberechnung der Schnittgeraden
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VEKTOREN matheklauzur- bernblatt Vektoren Punkte im dreidimensionalem Raum geben verschiebungen an allgemein Rechnen mit Vektoren: A haben Richtung und und lange sind nicht am Koordinatensystem gebunden Ortsvektor AC4171-3) B (-21510). AB= OB-OR (Ⓒ)-() =) → zwei Verschiebungen hintereinander ergeben eine neue verschiebung RC51010) PR= PQ + QR = [(*)- (*)] + [(4)-(8)] PR = 1 ) + ( ¹³ ) = Beispiel PC11-512) Q(21419) → Eine mehrfach hintereinander angeführte Verschiebung ergibt wieder eine neue Verschiebung Linearkombination Vektoren: → Ausdruck wie r·2+ 8.1 +t. 2 sind Linear- kombination; r₁ s₁ t = koeffiziente Vektoren 3.A 3 (1) + 2 (8) ²) + (1)-(3) 3.2 Koeffiziente 3 Kollineasitāt: ⇒ Wenn zwei Vektoren Vielfache voneinander sind = kollinear Die zugehörigen Geraden sind parallel oder identisch G 2 = (3), B (1²³) sind Rollinear → 3. 2-b Cricht gleich lang aber gleiche Verhältnisse) дейси : Langenberechnung Beispiel → AB (3) √√3² + 2² +6² ¹ = √9+4+36 ¹ = √49² = 4 vektor beträgt 7 LECCärgeneinheit) matheklauzur - lernblatt geraden Geradendarstellung: ↳ jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form X = 3 + r.3 VEKTOREN beschreiben. 23 ist hierbei der Vektor, der die Gleichung im Raum hält : vektors des Ortsvektors eines Punktes der Geraden. 3 ist der Richtungsvektor der Geraden: gibt Richtung an r = reele beliebige zahl 8 Ž = ($) + ↳ t. (13) = (-1) ++ · (²3) einsetzen +6 = Punktprobe: → Prüfen ob ein Punkt auf einer Gerade liegt 3 = (²2²2) + t ⋅ ( ²³3 ) A(-71-518) 8. A(-71-518) -10 =...
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St -4 2t 6 = -3t (3) ( 3 ) = ( 2 ) + + ( ? ) ⇓ -7 = 3 + St 1-3 - S = -1 + 2t +1 8 = 2 3t 1-2 geeichsetze 1:5 1:2 1:(-3) weitere Punkte der Gerade • Zahlen einsetzt: <= 2 Gerade g -2=t -2=t -2=t Geradengleichung aufstellen →anhand von 2 Punkten Punkt A (51-211) 8(7131-9) X = OA + t (AB = OB-OA) z = ( ²³ ) + t · ( ³0 ) (33) = (-2) -² · (§) -2 't einsetzen 8 können bestimmt werden, indem man für X = ( ³ ) + 2 · (³) Punkt Q (³) liegt auf der Punkt A ? 2 Gerade g A liegt auf Gerade, da t immer gleich bleibend ist 3= Stütz- oder X = OB + £. (BA = OA-OB) oder x = ( ²³ ) ++. (18) matheklausur - bernblatt VEKTOREN 4 ja lagebeziehung ja parallel identisch Schnittpunkt rein Selnikt punkt îão Ĵ •nein ← parallel ја/ parallel windschief Parallelität nachweisen: ⇒ Wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (kollinear) nein (1) = R(22) 1 2 → 21 Schnittpunkt. → Gleichsetzen beider Geraden gx = ( 3 ) + r. (²7) h₁²²= ( 3 ) + +· (3) Punktprobe um sicher zustellen, dass keine casing worlingt → S+ 75 = 1+ 2t| TR : t = 1₁5 r=3 3 + 5 = 4t 8 + r = 3 + t einsetzen Ausrechnen: an diesem Punkt treffen sich beide Identität nachweisen: → Kollinialität beweisen, wie bei parallelen Geraden + Punktprobe sicherstellen, dass mindestens ein Punkt auf der Gerade light identisch, weil alle Punkte der Gerade auf anderer liegen : windschief: Gleichsetzen, wie bei schnittpunkt → darf keine Lösung erfolgen Kollinearitat nachweiser, wie parallel darf keine căsung orfoggen matheklauzur-bernblatt VEKTOREN schnittwinkel Orthogonalitat prüfen. Orthogonal sind zwei Geraden, wenn sie im rechten winkel zueinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren entscheidet Orthogonalität. Winkel zwischen Vektoren: -28 Beträge ausrechnen: |a|=√√ 1²+(-3)² + 2² 1²+(-3)² + | B| = √√(-2)² +6² +6-47²²¹ = √56² 14.56 2² = √14² = -1 Skalarprodukt Das Produkt zweier Vektoren. ( ) ( ) → zooischen 0°-180° 3.8 + 3.1 + (-5)·5 = 0 -25 24 + 3 2 Pol cos (α) = |a| #1 Beispiel: a² = (²2³) B=(²) (3) * (3³²) |(2)| * |( )| für rechten winkel muss das Ergebnis immer 0 sein = -28 TR liefert cos (d). = -1 =180° Skalarprodukt 2 *b = (²) * (³7) = 1. (-2) + (-3)·6+ 2.(-4) -2-18-8 ausrecknen:
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