Subtraktion von Vektoren und spezielle Vektoren

Die Subtraktion von Vektoren ist eine wichtige Operation, die eng mit der Addition verknüpft ist. Sie wird definiert als die Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten.

Definition: Die Differenz a - b zweier Vektoren a und b ist die Summe aus dem Vektor a und dem Gegenvektor von b: a - b = a + (-b)

Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor, der eine zentrale Rolle in der Vektoralgebra spielt.

Definition: Der Nullvektor o ist der einzige Vektor, für den gilt: a + o = a für alle Vektoren a. Geometrisch wird er als Pfeil der Länge 0 ohne bestimmte Richtung interpretiert.

In der Ebene wird der Nullvektor als o² = (0, 0) dargestellt, im Raum als o³ = (0, 0, 0).

Der Gegenvektor ist ein weiteres wichtiges Konzept:

Definition: Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Gegenvektor -a, so dass a + (-a) = o gilt. Geometrisch hat -a die gleiche Länge wie a, aber die entgegengesetzte Richtung.

Die Darstellung des Gegenvektors erfolgt durch Negation aller Koordinaten:

Example: Für a² = (a₁, a₂) ist der Gegenvektor -a² = (-a₁, -a₂) Im Raum: Für a³ = (a₁, a₂, a₃) ist der Gegenvektor -a³ = (-a₁, -a₂, -a₃)

Ein fortgeschrittenes Konzept in der Vektoralgebra ist die Linearkombination:

Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe der Form r₁a₁ + r₂a₂ + ... + rₙaₙ, wobei r₁, r₂, ..., rₙ reelle Zahlen sind und a₁, a₂, ..., aₙ Vektoren.

Example: Eine Linearkombination könnte so aussehen: v = 2a + 3b - c

Linearkombinationen sind fundamental für das Verständnis von Vektorräumen und linearen Abhängigkeiten. Sie ermöglichen es, komplexe Vektorbeziehungen auszudrücken und zu analysieren.

Diese Konzepte bilden die Grundlage für weiterführende Themen in der linearen Algebra und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.