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3
Zeze
14.7.2025
Mathe
Vektoren Rechenregeln
2.879
•
14. Juli 2025
•
Zeze
@zeze1009
Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen in der... Mehr anzeigen
Die Subtraktion von Vektoren ist eine wichtige Operation, die eng mit der Addition verknüpft ist. Sie wird definiert als die Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten.
Definition: Die Differenz a - b zweier Vektoren a und b ist die Summe aus dem Vektor a und dem Gegenvektor von b: a - b = a +
Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor, der eine zentrale Rolle in der Vektoralgebra spielt.
Definition: Der Nullvektor o ist der einzige Vektor, für den gilt: a + o = a für alle Vektoren a. Geometrisch wird er als Pfeil der Länge 0 ohne bestimmte Richtung interpretiert.
In der Ebene wird der Nullvektor als o² = dargestellt, im Raum als o³ = .
Der Gegenvektor ist ein weiteres wichtiges Konzept:
Definition: Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Gegenvektor -a, so dass a + = o gilt. Geometrisch hat -a die gleiche Länge wie a, aber die entgegengesetzte Richtung.
Die Darstellung des Gegenvektors erfolgt durch Negation aller Koordinaten:
Example: Für a² = ist der Gegenvektor -a² = Im Raum: Für a³ = ist der Gegenvektor -a³ =
Ein fortgeschrittenes Konzept in der Vektoralgebra ist die Linearkombination:
Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe der Form r₁a₁ + r₂a₂ + ... + rₙaₙ, wobei r₁, r₂, ..., rₙ reelle Zahlen sind und a₁, a₂, ..., aₙ Vektoren.
Example: Eine Linearkombination könnte so aussehen: v = 2a + 3b - c
Linearkombinationen sind fundamental für das Verständnis von Vektorräumen und linearen Abhängigkeiten. Sie ermöglichen es, komplexe Vektorbeziehungen auszudrücken und zu analysieren.
Diese Konzepte bilden die Grundlage für weiterführende Themen in der linearen Algebra und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.
Vektoren sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik und Physik. Sie repräsentieren gerichtete Größen und werden als Pfeilklassen definiert.
Definition: Vektoren sind alle Verschiebungspfeile in der Ebene oder im Raum, die die gleiche Länge und Richtung haben und zu einer Pfeilklasse zusammengefasst werden.
Die Notation von Vektoren erfolgt üblicherweise als AB, BC oder C₁C₂. Eine präzisere Darstellung bieten Spaltenvektoren, die die Koordinaten eines Vektors angeben.
Example: Ein Spaltenvektor in der Ebene wird als v² = dargestellt, wobei v₁ und v₂ die Koordinaten sind.
Für Vektoren im dreidimensionalen Raum erweitert sich die Darstellung um eine dritte Koordinate: v³ = .
Die Addition von Vektoren ist eine grundlegende Operation. Sie kann sowohl geometrisch als auch rechnerisch durchgeführt werden.
Highlight: Bei der rechnerischen Addition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
Geometrisch wird die Addition durch die Dreiecksregel veranschaulicht:
Example: Zur Addition von Vektoren graphisch legt man den Anfangspunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten. Der resultierende Vektor führt vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.
Der Verschiebungsvektor PQ beschreibt die Verschiebung von einem Punkt P zu einem Punkt Q. Seine Berechnung erfolgt durch Subtraktion der Koordinaten:
Example: In der Ebene: PQ = Im Raum: PQ =
Diese Konzepte bilden die Grundlage für komplexere Vektoroperationen und -anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Lena M
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Zeze
@zeze1009
Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen in der Geometrie und Physik. Sie repräsentieren gerichtete Größen und ermöglichen präzise Berechnungen in der Ebene und im Raum. Die wichtigsten Operationen umfassen Addition von Vektoren, Subtraktion von Vektorenund die... Mehr anzeigen
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Die Subtraktion von Vektoren ist eine wichtige Operation, die eng mit der Addition verknüpft ist. Sie wird definiert als die Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten.
Definition: Die Differenz a - b zweier Vektoren a und b ist die Summe aus dem Vektor a und dem Gegenvektor von b: a - b = a +
Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor, der eine zentrale Rolle in der Vektoralgebra spielt.
Definition: Der Nullvektor o ist der einzige Vektor, für den gilt: a + o = a für alle Vektoren a. Geometrisch wird er als Pfeil der Länge 0 ohne bestimmte Richtung interpretiert.
In der Ebene wird der Nullvektor als o² = dargestellt, im Raum als o³ = .
Der Gegenvektor ist ein weiteres wichtiges Konzept:
Definition: Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Gegenvektor -a, so dass a + = o gilt. Geometrisch hat -a die gleiche Länge wie a, aber die entgegengesetzte Richtung.
Die Darstellung des Gegenvektors erfolgt durch Negation aller Koordinaten:
Example: Für a² = ist der Gegenvektor -a² = Im Raum: Für a³ = ist der Gegenvektor -a³ =
Ein fortgeschrittenes Konzept in der Vektoralgebra ist die Linearkombination:
Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe der Form r₁a₁ + r₂a₂ + ... + rₙaₙ, wobei r₁, r₂, ..., rₙ reelle Zahlen sind und a₁, a₂, ..., aₙ Vektoren.
Example: Eine Linearkombination könnte so aussehen: v = 2a + 3b - c
Linearkombinationen sind fundamental für das Verständnis von Vektorräumen und linearen Abhängigkeiten. Sie ermöglichen es, komplexe Vektorbeziehungen auszudrücken und zu analysieren.
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Vektoren sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik und Physik. Sie repräsentieren gerichtete Größen und werden als Pfeilklassen definiert.
Definition: Vektoren sind alle Verschiebungspfeile in der Ebene oder im Raum, die die gleiche Länge und Richtung haben und zu einer Pfeilklasse zusammengefasst werden.
Die Notation von Vektoren erfolgt üblicherweise als AB, BC oder C₁C₂. Eine präzisere Darstellung bieten Spaltenvektoren, die die Koordinaten eines Vektors angeben.
Example: Ein Spaltenvektor in der Ebene wird als v² = dargestellt, wobei v₁ und v₂ die Koordinaten sind.
Für Vektoren im dreidimensionalen Raum erweitert sich die Darstellung um eine dritte Koordinate: v³ = .
Die Addition von Vektoren ist eine grundlegende Operation. Sie kann sowohl geometrisch als auch rechnerisch durchgeführt werden.
Highlight: Bei der rechnerischen Addition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
Geometrisch wird die Addition durch die Dreiecksregel veranschaulicht:
Example: Zur Addition von Vektoren graphisch legt man den Anfangspunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten. Der resultierende Vektor führt vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.
Der Verschiebungsvektor PQ beschreibt die Verschiebung von einem Punkt P zu einem Punkt Q. Seine Berechnung erfolgt durch Subtraktion der Koordinaten:
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Anna
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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