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Einfach und lustig: Vektoren addieren und subtrahieren lernen!

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Zeze

1.12.2022

Mathe

Vektoren Rechenregeln

Einfach und lustig: Vektoren addieren und subtrahieren lernen!

Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen in der Geometrie und Physik. Sie repräsentieren gerichtete Größen und ermöglichen präzise Berechnungen in der Ebene und im Raum. Die wichtigsten Operationen umfassen Addition von Vektoren, Subtraktion von Vektoren und die Bildung von Linearkombinationen.

  • Vektoren werden als Pfeilklassen mit gleicher Länge und Richtung definiert
  • Darstellung erfolgt als Spaltenvektoren mit Koordinaten in der Ebene oder im Raum
  • Grundlegende Operationen: Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation
  • Wichtige Konzepte: Nullvektor, Gegenvektor, Linearkombination
  • Geometrische Interpretation und rechnerische Methoden ergänzen sich
...

1.12.2022

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<p>Alle (Verschiebungs-) Pfeile der Ebene oder des Raums, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, werden zu einer Pfeilklasse

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Subtraktion von Vektoren und spezielle Vektoren

Die Subtraktion von Vektoren ist eine wichtige Operation, die eng mit der Addition verknüpft ist. Sie wird definiert als die Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten.

Definition: Die Differenz a - b zweier Vektoren a und b ist die Summe aus dem Vektor a und dem Gegenvektor von b: a - b = a + b-b

Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor, der eine zentrale Rolle in der Vektoralgebra spielt.

Definition: Der Nullvektor o ist der einzige Vektor, für den gilt: a + o = a für alle Vektoren a. Geometrisch wird er als Pfeil der Länge 0 ohne bestimmte Richtung interpretiert.

In der Ebene wird der Nullvektor als o² = 0,00, 0 dargestellt, im Raum als o³ = 0,0,00, 0, 0.

Der Gegenvektor ist ein weiteres wichtiges Konzept:

Definition: Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Gegenvektor -a, so dass a + a-a = o gilt. Geometrisch hat -a die gleiche Länge wie a, aber die entgegengesetzte Richtung.

Die Darstellung des Gegenvektors erfolgt durch Negation aller Koordinaten:

Example: Für a² = a1,a2a₁, a₂ ist der Gegenvektor -a² = a1,a2-a₁, -a₂ Im Raum: Für a³ = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ ist der Gegenvektor -a³ = a1,a2,a3-a₁, -a₂, -a₃

Ein fortgeschrittenes Konzept in der Vektoralgebra ist die Linearkombination:

Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe der Form r₁a₁ + r₂a₂ + ... + rₙaₙ, wobei r₁, r₂, ..., rₙ reelle Zahlen sind und a₁, a₂, ..., aₙ Vektoren.

Example: Eine Linearkombination könnte so aussehen: v = 2a + 3b - c

Linearkombinationen sind fundamental für das Verständnis von Vektorräumen und linearen Abhängigkeiten. Sie ermöglichen es, komplexe Vektorbeziehungen auszudrücken und zu analysieren.

Diese Konzepte bilden die Grundlage für weiterführende Themen in der linearen Algebra und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

2.874

1. Dez. 2022

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Einfach und lustig: Vektoren addieren und subtrahieren lernen!

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Zeze

@zeze1009

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Subtraktion von Vektoren und spezielle Vektoren

Die Subtraktion von Vektoren ist eine wichtige Operation, die eng mit der Addition verknüpft ist. Sie wird definiert als die Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten.

Definition: Die Differenz a - b zweier Vektoren a und b ist die Summe aus dem Vektor a und dem Gegenvektor von b: a - b = a + b-b

Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor, der eine zentrale Rolle in der Vektoralgebra spielt.

Definition: Der Nullvektor o ist der einzige Vektor, für den gilt: a + o = a für alle Vektoren a. Geometrisch wird er als Pfeil der Länge 0 ohne bestimmte Richtung interpretiert.

In der Ebene wird der Nullvektor als o² = 0,00, 0 dargestellt, im Raum als o³ = 0,0,00, 0, 0.

Der Gegenvektor ist ein weiteres wichtiges Konzept:

Definition: Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Gegenvektor -a, so dass a + a-a = o gilt. Geometrisch hat -a die gleiche Länge wie a, aber die entgegengesetzte Richtung.

Die Darstellung des Gegenvektors erfolgt durch Negation aller Koordinaten:

Example: Für a² = a1,a2a₁, a₂ ist der Gegenvektor -a² = a1,a2-a₁, -a₂ Im Raum: Für a³ = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ ist der Gegenvektor -a³ = a1,a2,a3-a₁, -a₂, -a₃

Ein fortgeschrittenes Konzept in der Vektoralgebra ist die Linearkombination:

Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe der Form r₁a₁ + r₂a₂ + ... + rₙaₙ, wobei r₁, r₂, ..., rₙ reelle Zahlen sind und a₁, a₂, ..., aₙ Vektoren.

Example: Eine Linearkombination könnte so aussehen: v = 2a + 3b - c

Linearkombinationen sind fundamental für das Verständnis von Vektorräumen und linearen Abhängigkeiten. Sie ermöglichen es, komplexe Vektorbeziehungen auszudrücken und zu analysieren.

Diese Konzepte bilden die Grundlage für weiterführende Themen in der linearen Algebra und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.


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Vektoren als Pfeilklassen und ihre Darstellung

Vektoren sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik und Physik. Sie repräsentieren gerichtete Größen und werden als Pfeilklassen definiert.

Definition: Vektoren sind alle Verschiebungspfeile in der Ebene oder im Raum, die die gleiche Länge und Richtung haben und zu einer Pfeilklasse zusammengefasst werden.

Die Notation von Vektoren erfolgt üblicherweise als AB, BC oder C₁C₂. Eine präzisere Darstellung bieten Spaltenvektoren, die die Koordinaten eines Vektors angeben.

Example: Ein Spaltenvektor in der Ebene wird als v² = v1,v2v₁, v₂ dargestellt, wobei v₁ und v₂ die Koordinaten sind.

Für Vektoren im dreidimensionalen Raum erweitert sich die Darstellung um eine dritte Koordinate: v³ = v1,v2,v3v₁, v₂, v₃.

Die Addition von Vektoren ist eine grundlegende Operation. Sie kann sowohl geometrisch als auch rechnerisch durchgeführt werden.

Highlight: Bei der rechnerischen Addition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.

Geometrisch wird die Addition durch die Dreiecksregel veranschaulicht:

Example: Zur Addition von Vektoren graphisch legt man den Anfangspunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten. Der resultierende Vektor führt vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.

Der Verschiebungsvektor PQ beschreibt die Verschiebung von einem Punkt P zu einem Punkt Q. Seine Berechnung erfolgt durch Subtraktion der Koordinaten:

Example: In der Ebene: PQ = q1p1,q2p2q₁ - p₁, q₂ - p₂ Im Raum: PQ = q1p1,q2p2,q3p3q₁ - p₁, q₂ - p₂, q₃ - p₃

Diese Konzepte bilden die Grundlage für komplexere Vektoroperationen und -anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Marcus B

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