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Vektorgeometrie Abiturzusammenfassung

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Vektorgeometrie X₂X₂-Ebene X₁ Achse x1x3- Ebene 4X3-Achse x₁x₂-Ebene X₂-Achse Grundlagen Kartesisches Koordinatensystem Lagebeziehungen Anwendungen Inhaltsverzeichnis Winkelbestimmungen Thema Abstände zwischen geometrischen Objekten Seite 1 3 8 10 11 12 x₂x₂-Ebene X₁Xg- Ebene 4X3-Achse A x₁ Achse x₂x₂-Ebene 1 Kartesisches Koordinatensystem X₂-Achse 1.0 Punkte in ein räumliches Koordinatensystem einzeichnen Zu jedem Zahlentripel, z.B. (3/4/2), gehört ein Punkt mit diesen Koordinaten. Man findet ihn als Endpunkt eines Koordinatenzuges. - Die Achsen besitzen einen gemeinsamen Nullpunkt 0. Er heißt Ursprung des Koordinatensystem. - Die Achsen sind paarweise orthogonal zueinander. - Auf den Achsen werden Einheitsstrecken derselben Länge festgelegt. Diese Länge nennt man Einheit des Koordinatensystems. Die erste, zweite und dritte Koordinatenachse werden auch x1-Achse, x2-Achse und x3-Achse (oder auch x,y,z) genannt. - 3 Einheiten in Richtung der x1-Achse, - dann 4 Einheiten in Richtung der x2-Achse, - schließlich 2 Einheiten in Richtung der x3-Achse. Man schreibt dafür P(3/4/2) und liest: Punkt P mit den Koordinaten 3,4,2. 1.1 Ablesen von Koordinaten im Schrägbild Koordinatenzug Sind Punkte im Schrägbild eines Koordinatensystems eingezeichnet, kann man die Koordinaten der Punkte im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmen. Erst wenn weitere Angaben vorliegen, wie z. B. eingezeichnete Koordinatenzüge oder Lagebeschreibungen, kann man eindeutige Koordinaten angeben. Hier können die Punkte genau abgelesen werden, da man weiß, dass es sich um einen Quader handelt. 1 1.2 senkrechte Spiegelung von Punkten Spiegelung an einer Koordinatenachse - x1-Achse: x2-,x3-Koordinaten werden verändert - x2-Achse: x1-,x3-Koordinaten werden verändert -x3-Achse: x1-,x2-Koordinaten werden verändert Spiegelung an einer Koordinatenebene -x1x2-Ebene: x3-Koordinaten werden verändert - x1x3-Ebene: x2-Koordinaten werden verändert - x2x3-Ebene: x1-Koordinaten werden verändert Spiegelung am Ursprung - alle Koordinaten werden verändert 2 2.0 Abstand von zwei...

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Punkten Der Abstand d(A; B) zweier Punkte A(a1/a2/a3) und B(b1/b2/b3) im Raum berechnet sich nach folgender Formel: d(A; B)= √(b₁-a)+(b₂-a₂)² + (b₂-a3)² 2.1 Vektoren Verschiebungen können durch drei Zahlenangaben beschrieben werde: Wird z.B. ein Punkt auf seinen Bildpunkt um 5 Einheiten in x1-Richtung, 2 Einheiten in x2-Richtung ind -3 Einheiten in x3-Richtung verschoben so fast man diese Angaben in einer Spalte mit Klammern zusammen: 5 2 -3 Damit wird eine Verschiebung vollständig beschrieben. Definition (1) Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das wir als Spalte schreiben. Zur Abkürzung bezeichnen wir Vektoren mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetzten Pfeil, 12 -(16). 5.- (1) zum Beispiel a 2 Grundlagen 5- (6) (2) Der Vektor o= 2.2 Ortsvektor eines Punktes oder allgemein = 1 heißt Nullvektor. Verschiebt man den Koordinatenursprung (0/0/0) mit einem Vektor p, z. B. dem Vektor p= so hat der Bildpunkt P dieselben Koordinaten wie der Vektor p, nämlich P(4/5/6). Somit kann man die Lage von Punkten in einem Koordinatensystem auch mithilfe von Vektoren beschreiben. Bei dieser Verwendungsweise bezeichnet man deshalb den Vektor p-OP als Ortsvektor des Punktes P. 2.3 Gegenvektor eines Vektors Zu jeder Verschiebung mit einem Vektor v gibt es eine Verschiebung, mit der die erste Verschiebung rückgängig gemacht werden kann. Die Vektoren dieser beiden Verbindungen unterscheiden sich nur im Vorzeichen der einzelnen Koordinaten. Definition: Gegenvektor eines Vektors Zu einem Vektor V=₂ gibt es den Gegenvektor -v=-V₂ Der Gegenvektor -V macht die Verschiebung durch den Vektor Vrückgängig. 3 2.4 Länge eines Vektors Definition (1) Unter der Länge eines Vektors V versteht man die Länge der Pfeile, die im Koordinatensystem zu dem Vektor gehören. Statt die Länge sagt man auch der Betrag von V. Die Länge eines Vektors V wird mit V bezeichnet. (2) Der Nullvektor o'hat die Länge 0. Satz: Für die Länge |v| eines dreidimensionalen Vektors v= (3) 2 |v|=√√√√₁² + √²² + √₂² 2.5 Addieren/ Subtrahieren von Vektoren Definition: Summe zweier Vektoren /6₁ Zwei Vektoren a= ₂ b=b₂ werden koordinatenweise addiert. Man nennt den Vektor s-a+b= az | b₂ oder auch den Summenvektor von a und 5. Definition: Differenz zweier Vektoren 2.6 Dreiecksregel + b₁ + b₂ 93 + b3. a₁ /6₁ Zwei Vektoren a= ₂ b=b₂ werden koordinatenweise subtrahiert. 163 Man nennt den Vektor d-a-b= oder auch den Differenzvektor von a und b. b₁ an ABOBOA = b₂ - 0₂ 63 - 03/ an - b₁ a₂ b₂ gilt: b3/ Im Koordinatensystem gilt für alle Punkte P,Q und R: PQ+QR = PR die Summe der Vektoren a und b die Differenz der Vektoren a' und b P Nach der Dreiecksregel gilt für zwei Punkte A und B in einem Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung 0: OA + AB = OB Daraus folgt der Verbindungsvektor AB zweier Punkte A(a1/a2/a3) und B(b1/b2/b3): 0 OA A Q B AB=0B-OA 4 2.7 Vervielfachen eines Vektors Definition: Vielfache eines Vektors V₁ Ein Vektor ✓= V₂ wird koordinatenweise mit einer reellen Zahl r vervielfacht. V3 Man nennt den Vektor r xv=rx ₂ 2.8 Kollinearität von Vektoren Definition Zwei Vektoren u‡ und Vo heißen parallel zueinander, wenn sie Vielfache voneinander sind. Man sagt dann auch: die beiden Vektoren sind kollinear zueinander. 2.9 Mittelpunkt einer Strecke bestimmen Für den Mittelpunkt M einer Strecke AB gilt: OM = x (OA+OB) 1 2 X 2.1.1 Geraden im Raum r. V₁ = r. Vz V3 g: OX = OA + Satz: Parameterdarstellung einer Geraden Durch einen Punkt A und einen Vektor ist eine Gerade g bestimmt. Die Gerade g kann wie folgt beschrieben werden: + KxVmit kEIR das r-fache des Vektors V. Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung der Geraden g mit dem Parameter k. Es gilt: (1) Setzt man k irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden g ein, so ergibt sich der Ortsvektor OX eines Punktes X der Geraden g. Aufpunkt (2) Für jeden Punkt P der Geraden g gibt es eine Zahl k€IR,sodass OP = OA+KxV. Für Punkte außerhalb der Geraden g gibt es eine solche Zahl k nicht. Richtungsvektor 1 Stützvektor O X 9 OX=OA+k-V Punktprobe LO 5 2.1.2 Spurpunkte einer Geraden Spurpunkte: Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen - S12: Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene X3-Koordinate = 0 - S13: Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene X2-Koordinate =0 - S23: Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene X1-Koordinate = 0 2.1.3 Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen Beispiel: A (-7/4/3) B (1/10/-5) - OA als Stützvektor wählen: OA = AB'als Richtungsvektor wählen: 1 - (-7) AB=104 -5 - 3 Parameterdarstellung der Geraden durch A und B: OX 4+k 8 6 2.1.4 Skalarprodukt Definition Skalarprodukt /u₁ V₁ Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren u=u₂ und V = V₂ 143/ versteht man die reelle Zahl u1v1+u2v2+u3v3. Das Skalarprodukt der Vektoren u und v wird mit uv bezeichnet: U₁ *V=U₂ * V₂ V3 U₁ V₂ + Uz V₂ + U3 V3 6 2.1.5 Orthogonalitätskriterium für Vektoren Zwei Vektoren u und mit uo und Vosind genau dann zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null hat. Für zwei Vektoren und gilt also genau dann, wenn * = 0. 2.1.6 Skalarprodukt bei zueinander parallelen Vektoren Bei zueinander parallelen Vektoren und gilt: - Sind u und gleichgerichtet, so ist u* = lulx IVI. - Sind u und Veinander entgegengesetzt gerichtet, so ist u*V = -lux|VI. 2.1.7 Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Ebene Durch einen Punkt A und zwei Vektoren und Vo, die nicht parallel zueinander sind, ist eine Ebene E bestimmt. Die Ebene E kann wie folgt beschrieben werden: E: OXOÀ+sxu+txvmits, t Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung der Ebene E mit den Parametern s und t. Es gilt: (1) Setzt man für s und t zwei beliebige Zahlen in die Parameterdarstellung der Ebene E ein, so ergibt sich der Ortsvektor OX eines Punktes P der Ebene E. (2) Für jeden Punkt P der Ebene E gibt es es zwei Zahlen s, t sodass OP=OÀ+sxu+txvgilt. Liegt ein Punkt nicht in der Ebene, gibt es solche Zahlen nicht. 2.1.8 Normalenvektor der Ebene Der Normalenvektor einer Ebene wird durch das Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren bestimmt. 2.1.9 Koordinatenform der Ebene Die Koordinatenform schreibt den Normalenvektor als Koordinatengleichung auf. Die Gleichung wird gleich d gesetzt. D ist das Skalarprodukt des Normalenvektors und Stützvektors der Ebene. 7 3.0 Schnittpunkt zweier Geraden gh > lineras Gleichungssystem 3.1 Lage zweier Geraden Lageuntersuchung g: X=a+r* u und h: x=b+s*V Punktprobe (Stützpunkt von g in h) Ja identisch eindeutige Lösung Nein echt parallel g und E schneiden sich Ja Ja g liegt in E 3.2 Lage einer Gerade zu einer Ebene (in Parameterform) 3 Lagebeziehungen Ja g||E Richtungsvektoren kollinear? Punktprobe 3.3 Lage einer Gerade zu einer Ebene (in Koordinatenform) Lösung Gleichsetzen g=E keine Lösung Nein g verläuft echt parallel zu E Schnittpunkt parallel Skalarprodukt n und u =0 ? Nein g, h gleichsetzen Widerspruch windschief unendlich viele Lösungen Nein g und E schneiden sich g liegt in E 8 3.4 Lagebeziehung zweier Ebenen (E1 in Parameterform, E2 in Koordinatenform) Ja Ja E und F sind identisch E|| F Prüfen ob das Skalarprodukt von n und beiden Richtungsvektoren null ist Punktprobe Nein E und F sind echt parallel Nein E und F schneiden sich S LO 4.0 Schattenwurf wenn die Lichtquelle punktförmig ist Zentralprojektion: A 4 Anwendungen D Parallelprojektion: 4.1 Schattenwurf wenn die Lichtquelle die Sonne ist YD' D XA D? D' 4.3 Ein Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzen D=B+ AC v C + AB 1. Hilfsgerade mit Lichtquelle L als Stützvektor und LA als Richtungsvektor (für jeden Punkt anders) 2. X3= 0 3. Gleichung von x3 lösen und in Geradengleichung einstetzen 1. Hilfsgerade mit Punkt A als Stützvektor und Vektor v (Richtungsvektor der Sonnenstrahlen) als Richtungsvektor aufstellen 2. x3=0 (Schatten trifft auf Boden auf) 3. Gleichung von x3 lösen und in Geradengleichung einsetzen 10 5.0 Winkel zwischen zwei Vektoren u* V VI cos(x): = 5.1 Schnittwinkel zweier Geraden Der Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. cos(x) = cos(x) = 5 Winkelbestimmungen * V TIIVI 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebenen (beide in Koordinatenform/Normalenform) ₁1₂ In 1.17₂1 sin(x) = 5.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden, entspricht dem Komplementärwinkel des spitzen Winkels zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor. n* u In 1·lul 11 6 Abstände zwischen geometrischen Objekten 6.1 Abstand zweier Punkte 1. Verbindungsvektor aufstellen AB 2. Länge des Verbindungsvektors bestimmen 6.2 Abstand zwischen Punkt - Ebene Lotfußpunktverfahren 1. Gleichung der Lotgerade I aufstelle (Stützvektor P, Richtungsvektor n) 2. Lotfußpunkt L als Schnittpunkt von I und E bestimmen 3. Abstand von P zu E als Abstand von P zu L berechnen d(P;E) = d(P;L) = |PL| 6.3 Abstand Punkt - Gerade Der Abstand d(A,g) eines Punktes A von einer Geraden g mit g: x = p + su wird berechnet mit: lux (2-p²) d(A,g) = है। 6.4 Abstand Gerade - Ebene Der Abstand einer zur Ebene E parallel verlaufenden Ge den g zur Ebene E entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes P der Geraden zur Ebene: d(g;E) = d(P;E) mit P aus g beliebig 6.5 Abstand Ebene - Ebene Der Abstand einer zur Ebene E parallel verlaufenden Ebene F zur Ebene E entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes P der Ebene F zur Ebene E: d(F;E) = d(P;E) mit P aus F beliebig 6.6 Abstand paralleler Geraden Der Abstand zweier parallel verlaufender Geraden g und h entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes P und der Geraden h zur Geraden g.: d(h;g) d(P;g) mit P aus h beliebig = 12 6.7 Punkt an einer Ebene spiegeln 1. Hilfsgerade h aufstellen mit dem P als Stützvektor und n'als Richtungsvektor 2. Schnittpunkt S der Gerade h mit der Ebene E bestimmen. 3. Vektor PS berechnen. 4. Vektor PS zu OS addieren, um den gesuchten Punkt P' zu erhalten. 6.8 Punkt an einer Geraden spiegeln 1. Hilfseben E mit Richtungsvektor von g als Normalenvektor 2. P in Koordinatenform einsetzen und so d erhalten. 3. Schnittpunkt S von E und g bestimmen. 4. Vektor PS berechnen. 5. Vektor PS zu OS addieren, um den gesuchten Punkt P' zu erhalten. 6.9 Punkt an einem Punkt spiegeln Wird der Punkt P an einem Punkt S gespiegelt, so gilt für den Bildpunkt B: OB = OP + 2x PS 13