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Vektorgeometrie Zusammenfassung für das Mathe-Abitur 2023 GK

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Lukas Wiebold

28.11.2025

Mathe

Vektorgeometrie-Lernzettel

Mathematik

Vektorraumoperationen

parallele Vektoren

359

•

28. Nov. 2025

•

3 Seiten

Vektorgeometrie Zusammenfassung für das Mathe-Abitur 2023 GK

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Lukas Wiebold

@lukaswiebold

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in der 11. Klasse... Mehr anzeigen

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Vektor: Ortsvektor: Vektor vom ±.B:: A(3|4|7) → 1, Z. B. AB = ( 1 ) Winkel sind hollinear, wenn: AB 4 Kollinearität Beträge Bsp: Ursprung OF

Vektor-Basics: Die Grundlagen

Stell dir Vektoren wie Pfeile vor, die eine Richtung und Länge haben. Sie werden als (x y)\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} oder (x y z)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} geschrieben.

Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung (0|0|0) zu einem Punkt. Hast du den Punkt A(3|4|7), dann ist OA→=(3 4 7)\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 7 \end{pmatrix}. Super einfach!

Kollineare Vektoren sind parallel zueinander. Das erkennst du daran, dass einer ein Vielfaches des anderen ist: AB→=r⋅CD→\overrightarrow{AB} = r \cdot \overrightarrow{CD}. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit OM→=OA→+12AB→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 verrät dir den Winkel zwischen Vektoren. Ist das Ergebnis positiv = spitzer Winkel, negativ = stumpfer Winkel, null = rechter Winkel. Den genauen Winkel berechnest du mit cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}.

Tipp: Der GTR macht vieles einfacher! Verwende dotP(a,b) für das Skalarprodukt und norm(a) für die Länge.

Vektor: Ortsvektor: Vektor vom ±.B:: A(3|4|7) → 1, Z. B. AB = ( 1 ) Winkel sind hollinear, wenn: AB 4 Kollinearität Beträge Bsp: Ursprung OF

Geraden im Raum verstehen

Eine Gerade beschreibst du mit g:x⃗=OP⃗+t⋅PQ⃗g: \vec{x} = \vec{OP} + t \cdot \vec{PQ}. Dabei ist OP⃗\vec{OP} der Stützvektor (ein fester Punkt) und PQ⃗\vec{PQ} der Richtungsvektor (zeigt die Richtung an).

Um Lagebeziehungen zwischen Geraden zu finden, hast du zwei Methoden. Variante 1: Prüfe erst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, mache eine Punktprobe - liegt ein Punkt der ersten Gerade auf der zweiten? Dann sind sie identisch, sonst parallel.

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, setzt du die Geraden gleich und löst das Gleichungssystem. Eine eindeutige Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = windschief im3D−Raummo¨glich!im 3D-Raum möglich!.

Die Koordinatenachsen sind spezielle Geraden: x1x_1-Achse, x2x_2-Achse und x3x_3-Achse. Sie helfen dir bei der Orientierung im dreidimensionalen Raum.

Merke: Windschief gibt es nur im 3D-Raum - zwei Geraden, die sich nicht schneiden und nicht parallel sind!

Vektor: Ortsvektor: Vektor vom ±.B:: A(3|4|7) → 1, Z. B. AB = ( 1 ) Winkel sind hollinear, wenn: AB 4 Kollinearität Beträge Bsp: Ursprung OF

Ebenen und ihre Beziehungen zu Geraden

Eine Ebene beschreibst du mit E:x⃗=OA⃗+ru⃗+sv⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + r\vec{u} + s\vec{v}. Du brauchst einen Stützvektor OA⃗\vec{OA} und zwei Spannvektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}, die nicht kollinear sein dürfen. Drei Punkte definieren eindeutig eine Ebene.

Die Koordinatenebenen sind besonders wichtig: x1x2x_1x_2-Ebene, x1x3x_1x_3-Ebene und x2x3x_2x_3-Ebene. Sie teilen den Raum in acht Bereiche auf.

Für die Lagebeziehung Gerade-Ebene setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein. Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Eine eindeutige Lösung bedeutet: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Durchstoßpunkt.

Keine Lösung heißt: Gerade ist parallel zur Ebene. Unendlich viele Lösungen bedeuten: Die Gerade liegt komplett in der Ebene. Mit dem GTR erkennst du das schnell an den Ausgaben: eindeutige Lösung, "keine Lösung" oder "{...}".

Praxis-Tipp: Der Durchstoßpunkt ist der Schnittpunkt - setze einfach den gefundenen Parameter in die Geradengleichung ein!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathematik

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parallele Vektoren

 

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•

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•

28. Nov. 2025

•

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Vektorgeometrie Zusammenfassung für das Mathe-Abitur 2023 GK

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Lukas Wiebold

@lukaswiebold

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in der 11. Klasse - sie helfen dir, Punkte, Geraden und Ebenen im Raum zu verstehen. Mit ein paar Grundregeln kannst du schon bald komplexe geometrische Probleme lösen!

Vektor: Ortsvektor: Vektor vom ±.B:: A(3|4|7) → 1, Z. B. AB = ( 1 ) Winkel sind hollinear, wenn: AB 4 Kollinearität Beträge Bsp: Ursprung OF

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Vektor-Basics: Die Grundlagen

Stell dir Vektoren wie Pfeile vor, die eine Richtung und Länge haben. Sie werden als (x y)\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} oder (x y z)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} geschrieben.

Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung (0|0|0) zu einem Punkt. Hast du den Punkt A(3|4|7), dann ist OA→=(3 4 7)\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 7 \end{pmatrix}. Super einfach!

Kollineare Vektoren sind parallel zueinander. Das erkennst du daran, dass einer ein Vielfaches des anderen ist: AB→=r⋅CD→\overrightarrow{AB} = r \cdot \overrightarrow{CD}. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit OM→=OA→+12AB→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 verrät dir den Winkel zwischen Vektoren. Ist das Ergebnis positiv = spitzer Winkel, negativ = stumpfer Winkel, null = rechter Winkel. Den genauen Winkel berechnest du mit cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}.

Tipp: Der GTR macht vieles einfacher! Verwende dotP(a,b) für das Skalarprodukt und norm(a) für die Länge.

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Geraden im Raum verstehen

Eine Gerade beschreibst du mit g:x⃗=OP⃗+t⋅PQ⃗g: \vec{x} = \vec{OP} + t \cdot \vec{PQ}. Dabei ist OP⃗\vec{OP} der Stützvektor (ein fester Punkt) und PQ⃗\vec{PQ} der Richtungsvektor (zeigt die Richtung an).

Um Lagebeziehungen zwischen Geraden zu finden, hast du zwei Methoden. Variante 1: Prüfe erst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, mache eine Punktprobe - liegt ein Punkt der ersten Gerade auf der zweiten? Dann sind sie identisch, sonst parallel.

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, setzt du die Geraden gleich und löst das Gleichungssystem. Eine eindeutige Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = windschief im3D−Raummo¨glich!im 3D-Raum möglich!.

Die Koordinatenachsen sind spezielle Geraden: x1x_1-Achse, x2x_2-Achse und x3x_3-Achse. Sie helfen dir bei der Orientierung im dreidimensionalen Raum.

Merke: Windschief gibt es nur im 3D-Raum - zwei Geraden, die sich nicht schneiden und nicht parallel sind!

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Ebenen und ihre Beziehungen zu Geraden

Eine Ebene beschreibst du mit E:x⃗=OA⃗+ru⃗+sv⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + r\vec{u} + s\vec{v}. Du brauchst einen Stützvektor OA⃗\vec{OA} und zwei Spannvektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}, die nicht kollinear sein dürfen. Drei Punkte definieren eindeutig eine Ebene.

Die Koordinatenebenen sind besonders wichtig: x1x2x_1x_2-Ebene, x1x3x_1x_3-Ebene und x2x3x_2x_3-Ebene. Sie teilen den Raum in acht Bereiche auf.

Für die Lagebeziehung Gerade-Ebene setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein. Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Eine eindeutige Lösung bedeutet: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Durchstoßpunkt.

Keine Lösung heißt: Gerade ist parallel zur Ebene. Unendlich viele Lösungen bedeuten: Die Gerade liegt komplett in der Ebene. Mit dem GTR erkennst du das schnell an den Ausgaben: eindeutige Lösung, "keine Lösung" oder "{...}".

Praxis-Tipp: Der Durchstoßpunkt ist der Schnittpunkt - setze einfach den gefundenen Parameter in die Geradengleichung ein!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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