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Vektorrechnung
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Nina
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11/12/13
Lernzettel
Wichtige Aspekte der Vektorrechnung
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Vektordefinition In der Mathematik ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen mit gleicher Länge, gleicher Richtung und gleichem Richtungssinn Schreibweise: ● V ● = Orts- & Gegenvektoren Gegenvektoren unterscheiden sich nur im Richtungssinn X y z a = 1 -a = 4 Einen im Nullpunkt startenden Vektor nennt man Ortsvektor Der Ortsvektor zum Punkt B B(-2|0|3) als Vektor: --0-0-6) á + b = Ya + Yb = Ya + Yb zb à-b= -1 Addition & Subtraktion Die Summe zweier Vektoren wird gebildet durch: Za Ya A. v = A. -- ()-() = xa +Xb Die Differenz zweier Vektoren wird gebildet durch: -0-0-0) Yb = (+)- 0 3 Za + = OB Skalarmultiplikation Wird ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert, wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert Betrag (Länge) des Vektors Der Betrag berechnet sich durch: |v²| = √√√x² + y² + z² 1 von 3 Skalarprodukt Das Skalarprodukt erhält man, indem man die jeweiligen Komponenten multipliziert und anschließend addiert ● dob= Winkel zweier Vektoren bestimmen 1. Skalarprodukt berechnen 2. Längen der Vektoren berechnen 4 a1 b₁ -0-0- a2 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen 4. Formel auflösen (Taschenrechner) cos= 3 2 τοῦ |ū|- |v| 1 Zeichnungen im kartesischem Koordinatensystem Erst wird die x-, dann die y- und die z-Koordinate abgegangen Z 4 3 2 = a₁.b₁ + a₂ · b₂ + a3 • b3 1 1 2 4= cos -1 A (3|4|5) 3 • a ist der Hilfsvektor ● u ist der Richtungsvektor (₁ 4 τοῦ uv 5 6 y Vektorielle Geradengleichungen g: x = a + λ u 2 von 3 Lagebeziehungen Vektoren ● • Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)? beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander, Geraden entweder parallel oder identisch ansonsten schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief ● Die Richtungsvektoren sind Vielfache...
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voneinander: setzt man einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch Andernfalls sind die Geraden echt parallel. Die Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander: Versuchen einen Schnittpunkt zu berechnen Lässt sich ein Schnittpunkt berechnen, schneiden sich die Geraden Andernfalls sind die Geraden windschief. Ebenengleichungen Die Vektoren AB und AC können eine Ebene E aufspannen ● ● x₁ x3 E: x= A(2|3|4) (₁) Vorgehen 3 +r. oÅ=a E C(7|7|10) AB B(4|5|1) x2 2 5 2 +8. 4 -3 6 Lagebeziehungen zwischen Ebene & Geraden Für die Lage der Gerade g und der Ebene E gibt es drei Möglichkeiten - g und E schneiden sich g und E sind parallel g liegt in E AC Parameterform der Gerade umschreiben • x1, x2 und x3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen Nach Parameter der Gerade umstellen Ergebnis interpretieren 3 von 3
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