Bewegungsaufgaben mit Vektoren im dreidimensionalen Raum
Die Vektorrechnung Grundlagen sind besonders wichtig bei der Lösung von Bewegungsaufgaben im dreidimensionalen Raum. Am Beispiel zweier Schiffe lässt sich die praktische Anwendung der Vektoren im dreidimensionalen Raum anschaulich demonstrieren.
Definition: Die Bewegung von Objekten im Raum wird durch Ortsvektoren und Richtungsvektoren beschrieben. Der Ortsvektor gibt die Position an, während der Richtungsvektor die Bewegungsrichtung anzeigt.
Bei der Modellierung von Bewegungen mit Vektoren ist die systematische Vorgehensweise entscheidend. Zunächst werden die Geradengleichungen für beide Bewegungen aufgestellt. Wenn die Geschwindigkeit gegeben ist, muss der Einheitsvektor berechnet werden. Dieser wird mit der Geschwindigkeit multipliziert, um den tatsächlichen Bewegungsvektor zu erhalten. Falls keine Geschwindigkeit direkt angegeben ist, lässt sich diese aus zwei bekannten Positionen zu verschiedenen Zeitpunkten berechnen.
Die Linearkombination Vektoren spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Abständen zwischen bewegten Objekten. Die Distanzfunktion dt beschreibt den Abstand zwischen zwei Punkten zu jedem Zeitpunkt t. Um den minimalen Abstand zu finden, wird die Ableitung der Distanzfunktion gebildet und null gesetzt. Der resultierende Zeitpunkt wird dann in die ursprüngliche Distanzfunktion eingesetzt.
Beispiel: Ein Schiff bewegt sich mit 15 km/h vom Punkt A−3,1,1 aus. Ein zweites Schiff startet von B2,1,3 und erreicht nach einer halben Stunde die Position −8,1,3. Der minimale Abstand zwischen den Schiffen beträgt 0,57 km.