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Vektorrechnung Lernzettel

10.6.2023

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Definition (geometrisch)
Die Menge aller Pfeile, die in Länge, Richtung (parallel) und Orientierung
(Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vekt
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(Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vekt
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Die Menge aller Pfeile, die in Länge, Richtung (parallel) und Orientierung
(Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vekt

Definition (geometrisch) Die Menge aller Pfeile, die in Länge, Richtung (parallel) und Orientierung (Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vektor. Ein Vektor kann durch unendlich viele Pfeile angegeben werden, die von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt führen. Man benötigt aber lediglich einen Repräsentanten. Definition (algebraisch) Jedes n-Tupel reeller Zahlen (im IR ein Zahlenpaar, im IR³ ein Zahlentripel) bildet einen Vektor Z.B. im IR²: a = (5) im IR³ : a = ( ² ) Stimmen 2 n-Tupel in allen reellen Zahlen deren Reihenfolge überein, so sind sie gleich (3)-(3) aber (3) + (3) ď = ( 3 ) VEKTORRECHNUNG ) ⇒ -♂ · - ( 3 ) = ( ² ) Koordinatenebenen In der x,x₂-Ebene, wenn x3=0 ist In der X2 X3-Ebene, wenn x₁=0 ist In der x,x₂-Ebene, wenn x₂=0 ist AB = Allgemein gilt mit A (a₁l a₂l az) und B ( b₁l b₂l b₂) b₁-a₂ b₁-a₂ 1b₂-a₂ OB-OA = Unterscheiden sich 2 n-Tupel lediglich in den Vorzeichen aller Koordinaten, so handelt es sich um Vektor a und Gegenvektor - @ipadhacks_and_more P (P₁1 P₂10) P (01 P₂ P₂) P (P₁101P) hinten minus vorne' -2 Spiegelung -₁ an der KO-Ebene *A (21314) 2 X₁12 (Bodenebene) 1. -1- 1 XA (2131-4). Z.B. an der x,x₂-Ebene →X-Koordinate ändert das Vorzeichen Arten von Vektoren o Nullvektor: Der Vektor der Länge 0 heißt Nullvektor 0 und besitzt keine Richtung und Orientierung. Gegenvektor: Der Vektor, der mit a in Länge und Richtung übereinstimmt, aber eine entgegengesetzte Orientierung hat, heißt Gegenvektor zu d-d Ortsvektor: Der Vektor (2), mit dem man vom Ausgangspunkt...

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0 (010) zum Endpunkt A (212) gelangt, heißt Ortsvektor OA = (2) zum Punkt A -a 77 Vektor Gegenvektor 2 X₂ 1) Vektoraddition B AB ď b A BC A a+b Die Vektoren werden ,,aneinander gehängt. Der Summenvektor läuft vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b Es gilt: +5 →Koordinatenweise addieren 2) Vektorsubtraktion a₁ a₂b₂ 193 - 0₂/ a₁ +0₂\ Q₁ + b₂ C a-b ==b+a Ok....?. Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz Der Differenzvektor verläuft vom Ende von b von bzw. Vom Anfang von - zum Ende von ⇒d-b = b + a ra + s. b + tc S 2.a + 4.C 25-30 etc. Kommutativgesetz Assoziativgesetz @ipadhacks_and_more a 'C RECHNEN MIT VEKTOREN a + b² = = + 11 + a zum Ende 3) Skalar- Multiplikation (Multiplikation mit dem Faktor r ≤ IR) -(F) (6+2) -(06) 7 = + Es gilt: r LINEARKOMBINATION Eine Summe bzw. Differenz von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination Z.B. Z.B. r 3 a D = Koeffizienten r. (sd) =(r.s) a r. (a + b)=ra + r·b; (r + s) a= r·a+sa a D a 3. a Der Vektor a wird hier mit r=3 vervielfacht. Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar (mit r € IR), so erhält man einen Vektor, der in Richtung und Orientierung übereinstimmt, oder r-mal so lang ist. D 2 Vektoren sind dann parallel zueinander, wenn gilt: T= r V mit re R & sind vielfache voneinander! = V Man sagt auch und sind linear abhängig oder kollinear oder: +rv d.h. gleiche Richtung PARALLELITÄT VON VEKTOREN Drei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn ein Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. d.h. wenn: drb² + s. c² = U=r.V D -_0 = k·a² + r b ² + sc Nullvektor mit k, r, se IR, nicht alle = 0 Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn: = k·a+r·b²+s· c'nur erfüllt für k= r = s = 0 @ipadhacks_and_more =a+2b 2 Vektoren heißen kollinear, wenn sie linear abhängig sind. Sie sind parallel zueinander. ū Geometrisch 3 Vektoren heißen komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Sie liegen in einer Ebene. Bsp: -(2) - () - (2) W² -> linear abhängig? (8) - k- (â) +r (9) + s (á) } gesucht sind k, r & s Zeilenweise LGS = k·1+r0+ s. 1 0 = k·1+r1 + s. 1 0= k1+r1+s·0 umstellen: 0=k+s T-s 0=k+r+s k = -S 0=k+r+s 0 = k - 2r k = 2r →abhängig S = r 1+2r und k= 2s 0= k + r k = -r Zeige, dass jeder dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist (³), (4), (3) In Gleichung einsetzen Vektor 1 a Vektor 2 + b Vektor 3 (³₁) = a (-1) + b・ (²) 2. Reihenweise rechnen I 13 a (-1) + 2b| I 1 = a II in I (³)=1-(-1)+2-(3) allb wenn: der b also wenn a ein Vielfaches von b ist 3= 1 (-1) +2b I+A 4= 2b 12 2=b Aufgabe:) soll kollinear zu (š) sein. Berechne x. 1.Möglichkeit -Reihenweise rechnen (untere zuerst) -r ausrechnen -r in oberste Reihe einsetzen (9) - r. (5) ·r I -1 5r ==== →→in I @ipadhacks_and_more → 0--x X=0 2. Möglichkeit -Reihenweise rechnen. -oberste Reihe nach x umstellen J = r. (1) + s (5) O-r.O+Sx x = 0 Orthogonalitätskriterium für Vektoren TV, wenn gilt: U₁ V₁ + U₂° V₂ + U₂ V₂ = 0 A Ex=r EBENE: Beide Spannvektoren einzeln berechnen. 2 + S -2 +3 (-2) + 4.2=0 -2-6+8 4 - 6 ¡gix-t @ipadhacks_and_more -O 4+3 (-2) +32-0 0-0 + 6 "O -- (3) - 2 +0 -Skalarprodukt- • V = 0 oder = 0 Skalarprodukt Die Gerade ist nicht orthogonal zu der Ebene. Bsp ū -(3), ✓-(3) ulv? 1-(-1) +2·2+3.5 18 0 => XV A (2111-2); B(-51 119) A OM-OA = AB=OB - OA =) OMOA AB = M + + a oder: M(a+ba+ba+₂) 2 B →M (-1,5 1 1 1 3,5) AB=() M (2+(5) 4+1 2+9) | | 2 M (-1,5 1 11 3,5) oder: OM = (OA+ OB) + 2 geometrisch: ,,Laufe Vektor OA und AB zu M"! OMOA AB EINHEITSVEKTOR =OA+ (OB-OA) =0A+08-20A = 10A + OB² (OA+OB) @ipadhacks_and_more MITTELPUNKT EINER STRECKE oder lai Formeln OMOA AB AB M (a₂ + b₂ a₂ + b₂ a ₂ + b₂) 2 2 + OM- (OA OB) + X₂4 QA AB AB B DX₂ Der Vektor a heißt Einheitsvektor zum Vektor a, wenn | |= 1 und aunda dieselbe Richtung haben. I t Man erhält Punkte einer Geraden bestimmen 1. Irgendeinen Wert für t einsetzen. 2. Den Vektor als Punkt aufschreiben. 9 Aufgabe Geben Sie 3 Punkte an, die auf der Geraden 9 9 @ipadhacks_and_more ·* · (³) + 3+ t 5-7 1-3 ts=10 1:5 t-2 + t Werte: 0; 1; -^ GERADEN IM RAUM -(-3) Punktprobe 1. Punkt für einsetzen 2. Reihenweise addieren 3. Gucken ob die selben Werte für t rauskommen wenn ja der Punkt liegt auf der Geraden, wenn nein: der Punkt liegt nicht auf der Geraden Aufgabe überprüfen Sie, ob der Punkt A (-71-518) auf 9:x + t x - (3) + 0 (²2) = (3) → Die Punkte x。 (21113), X₁ (11415) una x(31-211) liegen auf der Geraden g. II → Der Punkt liegt auf der Geraden g (Aeg) +^ -1+t·2=-5 1+1 t. 2-4 1:2 t-2 X-₁ -0)-(1)-( + (-1) 2+(-3) = 8 t-(-3) = 6 (3) + t (2) liegen t-2 + t Gleichung einer Geraden bestimmen 1. Einen der Punkte auswählen, dieser ist dann der Stützvektor. 2. AB ausrechnen (AB=0B-OA). Dieser wird zum Richtungsvektor. 3. In Gleichung einsetzen.(g: x=SV+RV) Aufgabe: Die Punkte A(11-215) und B(4161-2) liegen auf der Geraden 9. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g pa A auf g liegt, ist der vektor = (3) ein möglicher Stützvektor von g. Da A und & auf 9 liegen, ist der vektor AB - (32)-(2) (3) ein möglicher Richtung Svektor von 9. 1-2 1: (-3) liegt. @ipadhacks_and_more PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN X₂A Stützvektor ,,Stützvektor" Aufpunkt POR ru 74 g: x=0A + ru Richtungsvektor Stützvektor Richtungsvektor + P Bsp. Gegeben: A(21 314) auf g und Richtung von g Gegeben: 2 Punkte A & B g: x=0A + r AB oder: 9 x² = OB + 7 BA gegeben: A(31 21-2); B(-11013) = h identisch Lagebeziehung zweier Geraden @ipadhacks_and_more LAGEBEZIEHUNG ZWEIER GERADEN im IR ²: -parallel zueinander Ja Sonderfall: identisch -schneiden sich →→Sonderfall: orthogonal im IR ³: -parallel zueinander Sonderfall: identisch -schneiden sich -Sonderfall: orthogonal -schneiden sich nicht und sind nicht parallel →windschief zueinander 1. Parallelität überprüfen also t-V? gll h 2. Überprüfe auf Identität A € h ? oder B g? OA = OB + SV oder OB = OA + r₁u² Nein gl|h 4 echt parallel Nein 2. Überprüfen auf Schnitt durch Gleichsetzen: X = Xn lösen des LGS LGS hat Lsg g & h schneiden sich Schnittpunkt bestimmen LGS hat keine Lsg g & h sind windschief zueinander fertig gegeben: Schiff 1: -15 km/h -bei t-0 befindet es sich in Position A(-311) -fährt in Richtung u= Schiff 2 -bei t=0 im Punkt B(213) -nach einer halben Stunde bei ((-8 1 3) Schiff 1: Geradengleichung 9 * = (-²) + + √(3) t Uneu berechnen Einheitsvektor berechnen 101-√4²+ 3² - ŝ (3) - 5 (Geschw. Einneitsvektor) neue Geradengleichung Modellieren mit Vektoren (Bewegungsaufgaben) Distanzfunktion Ableitungo setzen Uneu 15 [km/h]. U It in Gleichung einsetzen @ipadhacks_and_more 15- (0.6) (2²) 9. **- (²³) + + - (1²) OP (-3++-12) - (2-20€) - (-3+12+) . (52:338) OQ-OP ³ d'(t) .0 t = 0,16 d(0,16) = 0,57 1. Geradengleichungen aufstellen I) wenn Geschwindigkeit gegeben: Une berechnen →Geschwindigkeit (Einheitsvektor) II) wenn keine Geschw. gegeben: IBC Jausrechnen 2. neue Geradengleichung aufstellen mit neu 3. Ortsvektor von Position P und Q berechnen Uneu berechnen 4. Distanzfunktion aufstellen d(t) = | OQ- OP₂1= √ 5. Ableitung bilden und gleich 0 setzen 6. Ergebnis in Gleichung einsetzen Geradengleichung h=x√(3) + tu - (3) + t (10) 11 √(-10)² = 10 Das Schiff ist 20km/h schnell, da es in einer halben Stunde 10 km gefahren ist. (6). (6) Geschwindigkeit berechnen Einneitsvektor berechnen (Geschw. Einneitsvektor) Schiff 2: neue Geradengleichung Uney 20 (0) . (20) h. x. (3) + (-20) 08.(2.20) a(t) 100-OP-√(S-32t)²+(2-9t)² •√MOS x²-356x+29 Der minimale Abstand ist 0,57 km. Dementsprechend kollidieren die Schiffe nicht. uoc-08-(0) 10:2=20 Abstand windschiefer Geraden 1. Allgemeine Punkte für die Geraden aufstellen 2. Einen gemeinsamen Vektor aus den beiden Punkten aufstellen 3. Das Skalarprodukt aus dem Vektor und den jeweiligen RV bilden 4. LGS lösen 5. Werte für Parameter jeweils in Geradengleichungen einsetzen >2 Punkte 6. Vektor aus beiden Punkten aufstellen 7. Betrag vom Vektor ausrechnen >Abstand @ipadhacks_and_more 2. 3. Die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von g und h b + 9 x. Gs(-1+S1111+ 2s) (1) (2) (8-t-(-1+S) -6+4t-1 GsH₂ = 1-5-t-(1+2s) / -5-t-1-25/ => ts 19-s-t -7+45 9-s-t GH -4-2s-t/ (1) -55-3t = -1 (2) 35+ 18t.33 -) • ( 21 ) - 0 1 -0 h⋅ x = +t 18-t+1-S =-6+4t-1 S-1 ; t.2 H₂(8-t1-6+4tl -s-t) Einsetzen von s..1 in g G(-2111-3) 9-s-t -7+45 -4-25-E h Einsetzen von t = 2 in h H(6121-7) (4)-(3) - (4) d(gin) (GH)√8² + 1² + (-4)²² -√√81-9 => Der Abstand der beiden windschiefen Geraden g und h beträgt 9 LE Abstand zweier Punkte Die Länge eines Vektors entspricht dem Abstand des zugehörigen Punktes zum Ursprung. 2-dimensional d(0; A) = 10A = √√²+ a₂² Allgemein: d (P; Q) = IPQI = √√(a₁ -Pp₁ )² + (9₂ -P₂) ² 3-dimensional d(0, A) = 10AI mit OA = Allgemein @ipadhacks_and_more a₂ 2 = √/0,² +0₂² + ax d(P; Q) = IPQI = = √(a₁-P₁) ² + (a₁₂- P₂²)²³ + (a₁-p3)²) K PQ Abstand Punkt-Gerade P hat von g verschiedene Entfernungen. Die kleinste dieser Entfernungen ist der Abstand von P zu g. >Abstand als orthogonale Verbindung hier: d(Pg)=IPQI mit PQ 1 g Ist IPQI der Abstand von P zu g, so nennt man Q den Lotfußpunkt von P auf g. Möglichkeit 1. Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen 2. Vektor aus dem OV des Punktes und des allgemeinen Punktes aufstellen 3. Betrag des Vektors berechnen 4. Mit GTR t ausrechnen 5. d(t) berechnen 6 d'(t) bilden und =0 setzen >t berechnen 9 7. Wert für t in d(t) einsetzen 8. Lotfußpunkt berechnen >Wert für t in allgemeine Form P eingeben 2. Möglichkeit 1. Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen 2. Vektor aus dem OV des Punktes und des allgemeinen Punktes aufstellen 3. Skalarprodukt aus allgem. Punkt und RV berechnen >t berechnen 4. Lotfußpunkt berechnen @ipadhacks_and_more >t in allgem. Form P einsetzen 5. Vektor von Lotfußpunkt F und Punkt R berechnen 6. Betrag von FR berechnen >Abstand des Punktes R(4171-12) ^ 2 4. d'(t)=0 t. 3 S Pel-5+4t 12+ 3t16-2t) /4-(-5+4t)) PER=7- (2+3 t) = -12-(6-2)/ 3. a(t) = 1 PER) = √(9-4t)² + (5-3t) ² + (- 18+ 2 t) ²₂ √29t²-174t+430 R(4171-12) ^. 9 d(3) 13 Der Abstand des Punktes R von g beträgt also 13 LE 6 Einsetzen von t. 3. in Pt 2. PER = x = 3 18 +3 5. 19-4t 5-3t -18 +2t 0 6. + t. 9 PE(-5+4t 12+3t16-2t) -O F(71/110) · * = ( ²8 ) + + - ( 1²2 ) t /4-(-5+4t)` 19-4t 7-(2+3t) 5-3t -12-(6-2 t)/ -18 +2t| 2 => (9-4t) 4+ (5-3t) 3+ (-18 +2+) =0 t=3 4. t3 in allgem. Form Pe => F(711110) FB = (-1/₂) - (²) - (²³21) IFRI = √3)² + (-4)² + 12² -√√165² = 13 1) g Abstand Punkt-Ebene E g: x² = 0A + n°² => t V DAK d(A; IE) x A(214113) EX- (1) r(!) s (8) = + S W =>D(2111-2) IE 11 · √x · (3) × ( 8 ) . (2) 3 : x - ( 1³1 ) + + - (9) t 2) Durchstoßpunkt von g und E @ipadhacks_and_more Vº -> (14) + + (4) · (31) + (3) + ₁ (8) tr S ; r = js = Normalenvektor von E 3) DA - ()->DA-√3+ 15¹ = => = d(A; f) = 3√26 E) Kreuzprodukt/Vektorprodukt 1. Vektor 1 zweimal untereinander schreiben 2. Vektor 2 ebenfalls zweimal untereinander schreiben (rechts daneben, bündig mit der anderen Reihe) 3. Obersten und untersten Zahlen wegstreichen 4. Über Kreuz multiplizieren 5 5 -^ 5 5 -A A O O O o 5-0-(-1-0) -^(-1)-(5-0) 15.0 - (5.(-1)) / (-) n PQ Spurpunkte/ Spurgerade - (3)-(3)-(-3) P(-1121-3) ; Q (21/13) (Q(21/13) 3x₁-x₂ + 6x₂ -23 S₁: X₂=X3=0 S₂: x₁= x₂ = 0 √₂: x₁= x₂ = 0 Spurgerade @ipadhacks_and_more P(-1121-3) Spurpunkte Die Punkte in denen eine Ebene die Koordinate nachsen schneidet ↳OQ • n ↑ liegt in Ebene => 6.1+18 g Le 23 =>X₁= 3 => S (²²³1010) =>X₂ = -23 =>X₂²= 3² + => S (01-2310) => S (01013) ...verläuft durch S & S 3x₁0+ 6.0 = 23 3x₂ 23 X₁ = 2²/33 1.3 x₂=0 => Spur, die die Ebenen mit der x,x₂-Ebene hinterlässt 1) PARALLELITAT Lage von Gerade-Ebene a) Paramteterform g ll E, wenn die beiden Spannvektoren Vielfache des Richtungsvektors von g sind. b) Koordinatenform der Normalenvektor n von E ist orthogonal zum RV von g ne Lug ist ablesbar an Koordinatenform 2) GERADE DURCHSTOBT EBENE/ LIEGT IN EBENE a) Parameterform g: X² = (...) + r. (...) E: X = (...) + s (...) ++ (...) S >Gleichsetzen: X ₁ >> (...) + r. (...) = (...) + s · (…..) + + · (...). > LGS lösen I. LGS hat eindeutige Lsg. >g durchstößt E II. LGS hat unendlich viele Lsg. = >ge E (Gerade liegt in Ebene) III LGS hat keine Lösung >g II E (parallel) oder b) Koordinatenform x₂ =...... g: x = (..) + r · (..) .... E: 2x₁ + 3x₂-x₂= 2 >einsetzen von ... ; X²₂= ... ₁ X ₂ =.. > 2 · (..r..) + 3 • (..r..) - (..r..) = 2 > Lösen der linearen Gleichung @ipadhacks_and_more >> r=-1 (g durchstößt E) >>0.r = 30 (keine Lsg >parallel) 0 = 30 oder >>0r = 0 (unendlich viele Lsg.>gcE) 0 = 0 @ipadhacks_and_more Lage Ebene-Ebene 1) PARALLELITÄT (E, II E₂) die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander n₁=r-n²₂ 2) SCHNITTGERADE ODER IDENTITÄT a) beide Ebenen in Parameterform E₁ X=(...) + r. (...) + s. (..) E₂: X² = (…..) + + · (..) + u. (...) >gleichsetzen: X=X=₂ > LGS mit 4 Unbekannten I LGS hat eindeutige Lsg. > Schnittgerade (noch bestimmen!) II LGS hat keine Lsg. > E, II E₂ (parallel) III. LGS hat unendlich viele Lsg. > E₁=E₁₂ b) E, in Parameterform und E₂ in Koordinatenform E₁₁ : X² = (..) + r. (...) + s. (..) ←X₁₂₁=+...+5... E₂ 2x₁+ 3x₂= 23 S... .+r...+S... >einsetzen von x₁=..r..s..; X₂₁₂= r..s.. ; x ₂ =....... in Ebenengleichung von E₂ > 2 · (...) + 3 · (...) + 4 · (...) = 2 >Gleichung mit 2 Parametern >s in Abhängigkeit von r angeben >> S=...r > in E, einsetzen >>Schnittgerade gegeben: 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen *0 YA Ebenen in Parameterform OA *C AB B @ipadhacks_and_more IE 1) IE: x² = OA + r∙AB + SAC Stützvektor Spannvektoren ektoren mit A,B,C nicht alle auf einer Geraden! 2) 2 Geraden g und h spannen eine Ebene auf a) g und h schneiden sich g: X² = 0A + ru h= 0B + su IE: x= OS + r.v²+ su oder IE: X= OS + r SÃ +S.SB oder IE: x= OÃ trữ sữ 4 Als Aufpunkt kann jeder Punkt der Ebene gewählt werden b) g und h sind parallel mit g: x = 0 + ru h: x = OB + SV IE: x² = OA + r AB + su AB X=0A+Su+ r. =g Ô ū J A ū 9 Punktprobe in einer Ebene A € IE? 1. Punkt mit Ebenengleichung gleich setzen 2. LGS lösen @ipadhacks_and_more 1) IL={(r=1; s=2)} →der Punkt liegt auf der Geraden II) IL={ } der Punkt liegt nicht auf der Geraden gegeben: IE verläuft durch die Punkte P(21011); Q(31 31 6); R(4 1-11 2) mit P, Q, R nicht auf einer Geraden! - E = OP + r. PQ + S. PŘ E. (3) + r. (3) + s (²) tr Liegt A(715 1-3) in IE? 1. Gleichsetzen (3)·(3) + (3) + s (²1) tr S 2. LGS lösen LGS I 7 2+r+2s I 53r-S II-31+ Sr + S L = { } A & E Punkt A liegt nicht in der Ebene In welchem Punkt S schneidet die Gerade die x,x,-Ebene 9:x= ) + +- ( ²2 ) t in g X₁ Koordinate O 0 2 + t 4 t = 2/ · () + ² · (²) = umstellek |^^/^2 5/4 Spiegelung und Symmetrie PUNKTSPIEGELUNG AN EINEM PUNKT Z: -Ein Punkt P, sein Bildpunkt P' und das Zentrum Z liegen auf einer Geraden OP=OZ + PZ SPIEGELUNG AN EINER GERADEN x₂₂₁₂ D 10 > OP OF PE + @ipadhacks_and_more PI -Ein Punkt P, sein Bildpunkt P' und der Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g bzw. E liegen auf einer Geraden. SPIEGELUNG AN EINER EBENE -Wenn F der Schnittpunkt von g bzw. E mit der Strecke PP' ist gilt: PF = FP' 1) Winkel zwischen 2 Vektoren uov cos(x) = - mit 0°<< 180° Schnittwinkel 2) Winkel zwischen 2 Geraden luov cos(x) = - 0° ≤x≤ 90° ≈ sin(a)= cos => arccosd @ipadhacks_and_more cos => arccosd 3) Winkel zwischen 2 Ebenen Inon₂1 cos (x)=² 0° ≤x≤ 90° >Die Normlenvekoren der Ebenen schließen den gleichen Winkel ein, wie die Ebenen az 2° 4) Zwischen Gerade g und Ebene E lug • ne sin az 2° arcsind da Bsp.: mit - () und V-(3) = 1) 11 = √30 u. 1V1=√14 2) V-18 18 => COS (α)=√30√₁0,878 CAS: CAS: arccosd oder: 18 arccosd √30 √14 => 28.56° cas oger arccos => x 28,56 Skalarprodukt (u, v) abs(u) abs(v) U.V arccosd \ lul lvl @ipadhacks_and_more Normalengleichung und Koordinatengleichung € X₁ 7₁- X Stützuektor Normalenvektor Normalengleichung: (x - p) n = 0 Koordintengleichung: ax + bx₂+ cx3= d Koordinatengleichung aufstellen VON PARAMETERFORM ZU KOORDINATENFORM IE: X=(3) +- ().s (8) + 11 11 SV RV₁₂ RV₂ 1. Normalenvektor berechnen n=RV₁ x RV₂ -(1)-(8) 2. d berechnen d = n°• SV - -9 -(0)4) 0·2+11+5-(-2) @ipadhacks_and_more S => E 0.x₂+x₂ + 5x3 -9 X₂ + 5x3 = -9 11 Kreuzprodukt Skalarprodukt - KREUZPRODUKT/VEKTORPRODUKT 1. Vektor 1 zweimal untereinander schreiben 2. Vektor 2 ebenfalls zweimal untereinander schreiben (rechts daneben, bündig mit der anderen Reihe) 3. Obersten und untersten Zahlen wegstreichen 4. Über Kreuz multiplizieren 5 S -^ 5 5 -A A 0 O -A 0 O 5-0-(-10) -^(-1)-(5-0) (5.0 - (5.(-1))/ NORMALENGLEICHUNG, KOORDINATENGLEICHUNG AUFSTELLEN: Eine Ebene durch P( 41 11 3 ) hat den Normalenvektor n= P=OP und n in (x-p-n=0 einsetzen [-]-(-0 > E: 2x₁-x₂ + 5x₂= d d berechnen: für X₁, X₂, X, die Koordinaten des Punktes P( 41 113) einsetzen > d= 2-4 1-1 + 5.3 = 22 >> E: 2x₁-x₂+ 5x3= 22 AUFSTELLEN EINER KOORDINATENGLEICHUNG ANHAND DREIER PUNKTE A (21210); B(41 311); ((51 812) a-x,+ b.x₂+ c.x₂= d 1. Die Punkte A, B, C jeweils für x einsetzen > die Zahl d 0 ist frei wählbar 2. LGS lösen (-) 1. Additionsverfahren mit der I. und II. Gleichung 6x12y + 15z = 9 2x - 4y + 5z = 3 3 -6x64 - 142 = -26 3x + 3y + 7z = 13 (-2) 4x-2y3z 2. Additionsverfahren mit der I. und III. Gleichung - |2x - 4y + 5z = 3 |(-2)- 0 - 18y + z = - 4x - 2y3z -17 = -1 3. Additionsverfahren mit der II und III Gleichung 2x - 4y + 5z = 3 18y + z = -17 06-13z= -7 39 z = -21 |2x - 4y + 5z = 3 0 18y + z = -17 0 -38z = -38 II -18y + 1 = -17 y = 1 @ipadhacks_and_more Gauß-Algorithmus 4. dritte Gleichung nach z auflösen III -38z = -38 z = 1 5. z in 2. Gleichung einsetzen und y ausrechnen z=1~ + I 2x 41+5 1 = 3 - 2x - 4 5 = 3 2x = 2 X = 1 3 6. y und z in 1. Gleichung einsetzen und x ausrechnen y & ZI IL={(1)} Ziel: Stufenform 1. Additionsverfahren anwenden 2. dritte Gleichung nach einer Variable auflösen 3. Ergebnis in 2. Gleichung einsetzen 4. Beide Ergebnisse in die 1. Gleichung einsetzen Stufenform 2x - 3y - 5z = -1 2y + z = 0 0 0 0 32= 6 => z=2 genau eine Lösung IL = {(...;...;...)} keine Lösung IL = { } unendlich viele Lösungen IL = {(...,...,z)} @ipadhacks_and_more Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen Unterbestimmtes LGS weniger Gleichungen als Unbekannte nach Vervielfachung -2x-4y+6z=-12 -2x-4y+6z=-12 8x+4y-3z=-4 Hier I-II -2x-4y+6z=-12 8x+4y-3z=-4 3 Unbekannte, aber nur 2 Gleichungen Uberbestimmtes LGS mehr Gleichungen als Unbekannte 3x+2y=4 4x+2y=2 -X-y = 1