Zusammenfassung Stochastik Abi

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Eine Zusatzinformation kann zB dann bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge endluch coder auch abzählbar) ist und die Wahrscheinuchkeiten für die n Elementarereignisse alle gleich groß sind Das nennt man Laplace-Experiment Be enem Laplace Experiment asst sich die wahrscheinuchbeit für ein Ereignis A als Quotient aus der Anzahl der für A günstigen Fälle und der Anzani aller möguchen Ergebnisse des zufallsexperiments errechnen P(A) = Anzahl der Elementarereignisse, bei denen A anbritt Anzahl aller überhaupt möguchen Elementareregnisse Baumdiagramme Mit oder ohne Zurücklegen ? = Grundlegend ist aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, ob es sich bei Zufallsexpenment um en Experiment mit oder ohne zurücklegen handelt 100 Vi Mit zurücklegen in einer ume befinden sich 60 role kugen (R) und 40 bave (B) wir ziehen zwei kugeln mit zurücklegen 0,6 bzw P(B) P(R) = 0,6 0,4 R 0,4 B 0,6 R 10 B - 5 100 0,4 dem ohne zurücklegen in einer Ume befinden sich 60 role kugeln (R) und 40 blaue kugeln (B) wir ziehen zwe kugeln ohne zurücklegen P(R) = 0,6 = 601100 401100 R 0,6 100 0,4 59 199 40199 ♡ 60199 39199 bow P(B) - 0,4 R 1/8 8\/2 R 0,4 B Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel Um die wahrscheinuchkeit eines Ergebnisses zu erhalten, multipudert man die wahrscheinuchkeit entlang des Pfades, der dieses Ergelonis beschrelot wichtig Die Prodregel gilt bei jedem mehrstufigen Zufallsexperiment, gleichgültig, ob mit oder ohne zurücklegen 1 Pfadregel Produktregel Die Wahrscheinuchkeiten eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der wahrschein- lichkeiten entlang des Proces der zu 1 diesem Ergelonis führt a Pfadregel Summenregel Die Wahrscheinuchkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinuchkeiten der Pfade, die diesem Ereignis gehören zu 70 40198 B 58198 B 70 R to B 40 1 Ziehung Im Baumdiagramm sehen wir die wahrschein- im ersten zug eine rate oder lichkeiten eine boue kugel zu ziehen Addiert man die wahrscheinuchkeiten für beide Ereignisse, erhalten wir P(-2)=1 2 ziehung Im Gegensatz zum ziehen mit Zurücklegen ändern sich die wahrscheinlichkeiten beim ziehen ohne zurücklegen im zweiten zug - Die Wahrscheinlichkeit für 2x rot 0,6 0,6 - Die Wahrscheinlichkeit für Plzwer mal gleiche Farbe) = 0,16 +0,36 2x blau 0,sa = 52% 0,36 0,4 0,4 = 0, 16 Kombinatorik alle Elemente Permutation Trelen Elemente mehrfach auf? nein ja one Wah. mit wah. Kl 5 Grundmenge m₂!m₂! .mn! mit esinentage Trelen Elemente mehrfach auf? nein one Wah. n! Variation (-k)! variation oder kombination лоч ja mit wah. nk kombination ome Reihenfolge Trelen Elemente mehrfach auf? nein one Wah. ja mit wah. wie viele Möglichkeiten der Auswahl in Elemente es gibt, hàngt davon ab, ob die Elemente der Stichprobe nach der zehing jewels wieder zurückgelegt werden oder Die Anzahl der Möglichkeiten hängt auch davon do, in welcher Reihenfolge n nummenterten Kugeln gezogen werden (Stichprobe mit lohne Berücksichtigung der Anordnung) Formeln für die Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten der Ziehung einer Stichprobe des Umfangs k aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen in allen 6 Fallen sind doen dargestellt nicht die n+k=1 wie gehe ich vor? 1 Entscheide, do alle Elemente betrachtet werden oder nur eine Stichprobe a Entscheide, do die Reihenfolge / Anordnung wichtig ist 3 Entscheide, do eine wiederholung der Elemente möglich ist 4 Formel auswählen 5 wählen und k (n= alle verfügbaren Elemente ; K= dos, von dem wir die Möguohielten wissen wollen) Peter hat ein Bsp Zantenschloss mit vier Zahlen zwischen O und g Er hat bei den ganzen Abparties senen Code vergessen Er fragt sich nun, wie viele Moguchkeiten er hat, um Sein Schloss weder zu öffnen. i Stchprobe, da ziffern von 0-9 zur Verfügung stehen, aber nur 4 genutzt werden a Reihenfolge ist wichtig, da [1, 2, 3, 4] was anderes ist als [ 1.3, 4,2] Eine Wiederholung ist möguch [2, 2, 1,4]. Formel auswählen 3 nk n= 10 кач 10000 Möguchkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten BSP.: Ein würfel mit dem abgebildeten Nete wurde verdeckt geworfen. Betrachtet wird die warscheinlichkeit für die Augenzoni s. Wie groß ist diese wahrscheinlichkeit? wie noch würde jemand die wahrscheinlichkeit taxieren, der von einem direkten Bedbochter die Information erhielt, dass eine grine Fläche doen lag. Die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl Fünf beträgt , da es sechs gleichwarscheinliche Ergelonisse 1, 2, 3, 4, 5, gibt. in Frage und man. Hat man jedoch die vorinformation, dass eine grüne Fläche gefallen ist, SO kommen nur noch die Ergebnisse 1, 2, 5 und 6. wird unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl s auf 4 taxieren. A: B 11 Es fällt eine s" 11 Für es fallt Im Baumdiagramm: P(B) eine grine Fäche" PCB) Man verwendet PB (A) B A A A P (A)- 승 P (B)- 4 P (B₁ B₂) = P (B₁) PB (8₂) P (B, B₂) P(B₁). PB (B₂) PB (A) Man spricht in Wahrscheinlichkeit 28 32 hierfür die symbolische Schreibweise PB (A) PB (A): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B eingetreten ist P (A): Warscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B eingetreten ist PLAN B) P(B) I zur Lösung von Aufgaben wird meistens der Multiplikationssate herangezogen, weil er die Schnittwahrscheinlich- Keit P (ANB) auf die einfacher zu bestimmenden wahrscheinlichkeiten P(B) und Pz (A) zurückführt. ≈ 0,012 1 Ereignisse A und B mit P (B) SO gilt die Formel P (ANB) - P(B). PB (A) diesem Zusammenhang von einer bedingten P (B) JO Bsp.: Aus einem Kartenspiel werden zwei Karten nacheinander gezogen. Wie groß ist die wahrschein- lichkeit dafür, dass a) beide Karten Bulben sind. 10) beide karten keine Buben sind? 28 32 Lösung: Gesucht sind die Schnittwahrscheinlichten PCB, n B₂) und P (B₁ B₂). 4 der 32 karten sind Buben. Daher gilt P (B₁) -37 und PLB) 3 Auch die bedingten wahrscheinlichkeiten PB (B₂) - und 31 auch noch die bedingten Wahrscheinlichkeiten PB, (B₂) Nun wird der Multiplikationssate angewendet: = 3 6 1 2 4 S - 1,20/0 * 0₁ 762 76, 2 %0 P-3 sind leicht zu bestimmen. Hieraus ergeben sich 3 und P 28 31 (8₂) als Gegenwahrscheinlichkeit. = Unabhängige Ereignisse Durch das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B kann. sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines weiteren Ereignis - Ses A ändern. Ist das der Fall, so werden A und B als abhängige Ereignisse bezeichnet. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von A durch das Entreten von B jedoch nicht, so heißen A und B unabhängige Ereignisse. Ereignisse A und B mit positiven Wahrscheinlichkeiten werden als stochastisch unalohängig bezeichnet, wenn PB (A) = P(A) bzw. PA (B) PLB) gilt. Bsp.: Ein wirfel wird zweimal geworfen. An sei das Ereignis, dass die Augensumme n erzielt wird. B sei das Ereignis, dass im ersten Wurf eine Primzanı fällt. Zeigen sie, dass As und B unabhängig sind, warrend A & und B abhängig sind. Lösung: Der Ergeonisraum 12. {(1;1),..., (66) hat 36 Elemente, von welchen 4 für As und S für A8 günstig sind. Also gilt: P(AS) = 36 und P (AB) S - B eingetreten ist, so schrumpft der Setzen wir voraus, dass Ergebnisraum auf den gello makierten Bereich, also auf 18 zahlenpaare , von denen zwei für As bzw. 2 PB (As) und PB (Ag) 18 18 As und B sind unabhängige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit van As dagegen hängt von Eintreten des Ereignisses B ab. As und B sind abhängige Ereignisse. As {(1;4); ; (2; 3); (3;2), (4;1) } A8 = {(2;6), (3; 5), (4;4), (5;3), (6;2) } = 1;11; 21;31;41:51:6 aaaa3a,4a;s ab As 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 As 41 42 43 44 45 4.6 S1 S2 S3 S4 S5 S6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 arei für A8 günstig sind. PLAS) - 36 P (A8) 36 & Folwale 4 जल PLAS) 18 36 PB (A8) - 8²16 Vierfeldertafeln Eine Vierfelder tafel ist eine zusammenfassende Darstellung zweier Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen (A, A, B, B). die Tafel werden in der Regel die absoluten Häufigkeiten oder die wahrscheinlichkeiten der möglichen kombinationseregnisse ANB, AMB, T Tounst, 7 Münchner L Lederhose I keine Lederhose T 11 L AVO Q ANB und AB eingetragen In die fünf Randfelder werden die Zeiten- und Spaltensummen eingetragen, dh IAI, IĀI, 1B1, 181 und die Gesamtsumme Mit Hilfe dieser Eintragungen komen gesuchte wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, zB die Randwarscheinlichkeit P(A) oder PB (A) dh die wahrscheinlichkeit für AI wenn B bereits eingetreten ist TAI Summe Berechnung einer Bondwahrscheinlichkeit P(A) = Berechnung einer bedingten wahrschenuchkeit PB (A) = L Q(T) = 8 Beispiel Im Festzelt felem 140 Touristen, die ene Lederhose tragen, scuie 60 Tounsten in normaler kleding 10 Münchner mit Lederhose und 40 Münchner in Alltogsteding Durch die Hitze wird eine Person ohnmächtig sie trägt ene Lederhose Hinzu kommen Mit welcher wahrscheinlichkeit ist en Tounst 2 200 ASO 100 aso ITALI ILI SO ver h 140 ≈ 93,33 010 ISO B A A ANBI LANBI LAL B AOBAOBILAI 1 Bl TAMBI IBI 100 Summe Wir tragen die ver bekannten absoluten Häufig- keiten in die verfeldertafel ein (rote Felder) Dann bilden wir die Zeilensummen, die Spaltensummen und schließuch die Gesamt- summe (gelb) Gesucht ist die bedingte wahrscheinlichkeit PL(T) Diese erhalten wir, indem wir die Anzahl der Personen im Schnittereignis TAL durch die Anzahl aller Lederhosenträger tellen Resultat Die Person ist au 98, 33010 Tourist Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung 1 Eine zuordning X21R die jedem Ergebnis eines zufallsversuchs ene reelle zahl zuordnet T heißt Zufallsgröße od Zufallsvariable 2 Mit x = x₁ wird das Ereignis bezeichnet, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuchs gehören, deren Eintritt abzu führt, dass die Zufallsgröße x den wort x, annimmt 3 Ordnet man jedem möglichen Wert x₁, den die zufallsgröße X annehmen kann, die wahrscheinlichkeit P (X= x₁) zu, mit der sie diesen wert annimmt, so erhalt man die wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße x Bsp Ein Spieler wirft gleichzeitig zwei Wurfel Ansonsten erhält er für jede 1 genau 1 € a) Granen Sie jedem möglichen Ergelonis den entsprechenden Gewinn/ Verlust in € zu Es hangt vom Zufall ab, welchen der drei möguchen die Zantenwerte Xx₁ = -1₁ X₂ = 1 und xg = 2 Größe X bei der Durchführung des Zufallsversuchs annimmt Man bezeichnet eine sache Größe daher als Zufallsgröße oder Zufalls vanalde zusammen X = -A X = l x = 2 b) Fassen Sie diejenigen Ergebnisse, die zum gleichen Gewinn führen zu jeweils einem Ereignis zusammen Non fasst 36 Ergebnisse zu 3 Ereignissen XI {(2, 2), (2,3), {(1,2), (1,3) (2, 1) (6,63 {(1, 1)} C) Bestimmen Sie die wahrscheinuchkeiten der Ereignisse aus bi Mithilfe des Baumdiagramms kann man die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse ermitteln Die Zufallsgröße x nimmt den Wert i mit Wahrscheinlichkeit der an 36 P (x = x₁) A 25 36 0₁5. 0,3 1 ㅅ 10 36 P(x= x₁) ^ 2 36 יש а Fallt kane Eins, muss er 1 € zahlen. (6,115 XI P(X=-1)=(1²-25 P(X=1=24 - P(x=2) =(²² +2 + ㅅ A A A Der Erwartungswert einer Zufallsgröße x sei eine zufallsgröße mit der Wertemenge X₁₁ Dann heißt die zahl m M = E(X) 5x₁ P (x= x₁) 1- A Erwartungswert der Zufallsgröße x Der Erwartungswert von X ist das gewchlele arithmetische Mittel der Elemente der wentemenge von x Als Gewichte dienen die den Elementen x, der Wertemenge zugead- nelen Wahrscheinuchkeiten P(x= x₁) Bsp Der Betreiber eines Spelautomaten möchte höchstens 80 do der Einsätze als Spielgewinn wieder ausschütten wie hoch muss der Einsate sen Forderung erfüllt wird 2 1 X sei die Ausschüttung pro Spiel in € Die wahrscheinlichkeitsvertellung von x bestimmung wir mithilfe eines reduzierten Baumdiagramms Die Berechnung des Erwartungswertes von X ergrot E(X) XK 36 ~0,31 werden a € als Einsate festgelegt zur Erfüllung der Fordering die unglechung 34 ≤0,8a gelten 36 SS ~0,38 лич Diese führt auf a muss der Einsate pro Spiel mindestens 0,38 € betragen 1 muss Xm AISO 61> A3 3 1 4.4 2 3 (21) 승 а -3 damit diese 3,3 ㅅ 2,2 XI P(x= x₁) 34 36 05€ XE 3€ wahrscheinlichkeitsverteilung von X 0₁5 e 3 365 3€ 1€ 0,5€ Erwartungswert von X. 2 E(X) = 0₁5 36 + l + 36 ~0,31 -18 3 36 Varianz der Standardabweichung " Die werte x₁, die eine Zufallsgröße x bei der Durchführung eines zufallsversuchs tatsächuch annimmt, 1 Streven im Allgemeinen mehr oder weniger stark um den Erwartungs- wert M = E(X) der Zufallsgröße M = E(X) X se eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X11 X₂ xn und dem Erwartungswert Dann wird die folgende Größe als vananz der Zufallsgröße x bezeichnet VCX)= •[ (x,- M1² P(x=x₁) = (x₁-M) ² P(x= x₁) + + (xn-M)² P(X=Xn) 1=1 Die wurzel aus der Varianz VCX) heißt Standardabweichung der Zufallsgröße X 6(x) = √vCx) BSP Vergleichen Sie die beiden folgenden Strategien bem Roulette Berechnen Sie dazu den Erwartungswert der Zufallsgröße Gewinn/ verlust pro spiel" save die varianz Strategie 1 Spieler A setzt stets 10 € auf Rot kammt die gesetdle Farbe keit für dieses Ereignis ist 18 rote, 18 schwarze Felder und de So wurd der doppelte Einsate ausgezohit X₁ -1 10 OLX=X₁) 19 37 + 2 V(x) = (-10- (-1)) ² (10-(-10) - 37 X besitzt also den Erwarting swert ECX) Für die Varianz von x ergrot sich = de warscheinlich- kommt die gesetcle Zahl - die wahrschein- So wird das 36- (da es 18 1 lichkeit hierfür ist 37 Null gibt) foche ausgezahlt 19 37 2 18 37 (1 2-0,27 ~99, 93 Strategie 2 Spieler B Seter stets 10€ ouf 22 Heraus folgt die vertellung von y पा P(4=4₁) -10 350 |V(4) 36 37 Y bester den Erwartungs- wert E(Y) -0,27 37 De Varanz von 4 errechnet sich zu = (-10-(-10)) ² +(350 36 = 37 (-1000112 37 € 3408,04 Spieler B spelt deutuch Risikofreunducher als der vorsichtige Spieler A Spieler B hat eine Chance auf einen großen Gewinn, aber auch auf einen schnellen Run Standardabweichungen 6x) 9,996 und 6LY) S8,38 Bernoulli-Ketten Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli- versuch bezeichnet, wenn es nur zwe Ausgänge E und Ē guot E wird als Treffer und Ē als Nele bezeichnet Die warschenuchkeit p für das Entreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet wiedernalt man einen Bernoulli- Versuch n-mal in exakt gleicher weise, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p Liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die wahrscheinlichkeit für genau & Treffer mit Bln, p,k) Sie kann mit der rechts dargestellten Formel berechnet werden PLX=K) Bln, P, K) = (22₂) pk (1-P) n-k BSP Ein Würfel wird viermal geworfen x sel die Anzahl der dabel geworfenen Sechsen wie groß ist die wahrscheinlichkeit für das Ereignis X= 2₁ dh für genau zwei Sechsen es ist ene Bernoulli- kelte der Länge n² 4 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = = Die wahrscheinlichkeit eines Weges mit genau zwe Treffern und zwei Mieten beträgt (1) ² (1) ² 2 Es gibt (a) sacher Pfade, da man (2) Möglichkeiten hat, die beden Treffer auf die uter parce eines Pfades zu vertalen Die gesuchte wahrschein butet P(x=2) = (ă) (ô)a (§) ² ~ 0, ust 610 مام 1.9 B 22ZOO Ein Bernoulli - Experiment liegt vor, wenn ein Experiment wiederholt durchgeführt wird jedes Experiment genau zwe, Ergebnisse hat für Treffer die wahrscheinlichket bei jeder Versuchsdurchführung gleich bield de Summe der wahrscheinlichkeit für Treffer und Nicht-Treffer gleich i ist Binomialverteilungen Größe der Stichprobe (2) Binamalkoeffizient Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses Kumulierte Binominalverteilung f(k)= um die vertellingsfunktion zu rechoben, kannst du die wahrscheinlichkeiten entweder von Hand aufoddieren oder falls vorhanden aus einer Tabelle alokesen (1-P)^-k pk ·(1-P)n-k' Σ (2) p² x=O Beispiel Lehrerwurf in den Mülleimer Gesucht p bei UX breffen P(x-K) (5) (0,3)4 (1-0,3)^^ = 6,219 B U15,0,3,4) l Gesucht p ber höchstens 4 Treffern B (15, 0,5, 0) + B (15, 0,3, 1) + (→ jewells Formel oddieren) ODER 4 Σ (x) 0,3* (1-0,3) 5-* # 0,52 15-x X=0 l a ODER 3 Gesucht wie groß ist P bei mindestens 8 Treffern B(15,0,3, 8) + B(5, 0,3, 9) + BLAS, 0,3, 15) ODER P (x 28) FUS,0,3,7) 4 3 a 10 [ ($) x=S = 4 Anzahl der Erfolge im Zufallsexperiment S G₁3 AS 6 S i 7 6 7 1 P= 30%/ 15-x I A F (15, 0,3, 4), kummulierte Wahrschen- lichkeit" (*) 0,3* (1-0,31 € 8 9 10 x=8 Gesucht wie groß ist P bei mindestens Sx, höchstens 10x (Internalwahrscheinlichkeit) P (S ≤X 10) = = (15; 0,3; 10) - F (15,0,3, 4) 8 9 -0, 484 15, 10 ^^ 15-x mindestens 8x F(15, 0,3, 15) ३ 12 13 ^^ 12 ли 13 FUS, 03, 7) ли As is Beispiele n = 10 x ist eine Binomialvertellte Zufallsvariable x Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für drei Erfolge 13 P(x=3)=(¹) 4³ (1-2) 60-3 ~0, ISSS [) Gesucht ist die wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer (oder mit P(x ≤ 1) = (10) (1)0 Die wahrscheinlichkeit 4 P(x=0) Gesucht ist die wahrscheinlichkeit für mindestens (1-1) 10 + (10) + P(x=1) Zufallsgröße X P(x ≥ 1) = 0,98 (%)^ (1-1)00-1~ QUBS → Aufaddieren von zwei wahrscheinlichkeiten P (x = 1) = 1- P(x < 1) = 1 P(x≤0) 1-(6) (1)° (8) 10 =1-0₁ 162 * 0,888 Hier subtrahiert man 1 mit der Gegenwahrscheinlichkei Anzahl der Treffer Bestimmung der Länge einer Bernoulli-Kette 1- P(x=0) ≥ 0,98 1 - A - P(x=O) = 0,98 1 (-1) P(x=0) ≤ 0,0² B (n, 0,4, 0) ≤0,00 → en Treffer Trefferwahrscheinichkeit bei Wirf P=0,4 we oft muss man werfen, dass man man mit einer wahrscheinlichkeit von mind 981 mindestens 1x briffl 2 >1-F1 1 - F( 10, 11, 1 0) X sel die Anzahl der Treffer Trefferwahrscheinlichkeit P →Gegenwahrscheinlichkeit (8) 0,40 (1-0,4)" ≤ 0.02 ㅅ ㅅ 0,6h ≤0,02 lbg n bog (0,6) ≤ log (0,0211 log 2 1,02) in einer Bernoulli-kelte der Länge. Erwartungswert Ecx) = n P D und der X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli- kette der Längen und der Treffer wahrscheinlichkeit p Dann gilt für die Standardabweching 6 (x) = √n P (1-P) Regeln für 6-Intervalle Für eine binomialverteilte Zufallsgröße x mit der Standardabweichung 6(x)=√n p (1-P) gelten die folgenden Regern Die Regeln sind umso genauer, je größer die versuchszani n St Laplace 16-Regel Sie dürfen angewandt werden, wenn die Bealingung 613 erfullt ist PIN 6 ≤x≤ M+6) ~ 0,680 26-Regel 36-Regel Mü PIM - 26 ≤ x ≤ M + 2 6) * 0,955 РСМ - 36=xсм+ 36) ~ 0,997