Zufall und Erwartungswert - Erklärung und Beispiele

Erwartungswert - Grundlagen

Stell dir vor, du spielst 1000 Mal am Glücksrad - der Erwartungswert sagt dir, was du dabei durchschnittlich pro Spiel gewinnst oder verlierst. Er funktioniert wie ein Mittelwert in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die Berechnung ist eigentlich ganz logisch: Du multiplizierst jeden möglichen Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit, addierst alles zusammen und ziehst den Einsatz ab. Beim Beispiel mit dem Glücksrad (Gelb = 5€, Rot = 3€, Weiß = 0€, Einsatz = 2€) rechnest du: E = $1/8 · 5€ + 3/8 · 3€ + 4/8 · 0€$ - 2€ = -0,25€.

Das negative Ergebnis bedeutet: Du verlierst durchschnittlich 25 Cent pro Spiel. Deshalb sind Glücksspiele für die Betreiber profitable Geschäfte!

Merke dir: Der Erwartungswert wird immer aus Sicht des Spielers berechnet - negative Werte bedeuten Verlust, positive Gewinn.

Übung mit dem Oktaeder-Würfel

Bei diesem besonderen Oktaeder-Würfel gewinnst du 1,50€ für gerade Zahlen und 5€ für Primzahlen. Der Einsatz beträgt 2€ pro Spiel.

Zuerst zählst du die günstigen Ergebnisse: 6 gerade Zahlen und 1 Primzahl bei insgesamt 8 Flächen. Die Wahrscheinlichkeiten sind also 6/8 für gerade Zahlen und 1/8 für Primzahlen.

Der Erwartungswert: E = $6/8 · 1,50€ + 1/8 · 5€$ - 2€ = -0,25€. Du verlierst also 25 Cent pro Spiel im Durchschnitt.

Bei 100 Spielen bedeutet das: 100 × 0,25€ = 25€ Verlust für die Spieler (oder 25€ Gewinn für den Betreiber).

Tipp: Multipliziere den Erwartungswert einfach mit der Anzahl der Spiele, um den Gesamtverlust/-gewinn zu berechnen.

Würfelspiel "Augensumme 4 gewinnt"

Bei diesem Spiel würfelst du mit zwei Würfeln und addierst die Augenzahlen. Je nach Summe gewinnst du unterschiedlich viel Geld.

Zuerst erstellst du eine Tabelle aller möglichen Augensummen (36 Kombinationen). Augensumme 4 und kleiner als 4 kommen jeweils 3-mal vor, größer als 4 sind 30 Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeiten sind also 3/36, 3/36 und 30/36.

Der ursprüngliche Erwartungswert: E = $3/36 · 4€ + 3/36 · 2€ + 30/36 · 0€$ - 1€ = -0,5€. Du verlierst 50 Cent pro Spiel.

Wenn der Betreiber einen Würfel verändert (4,5,6 durch drei Einsen oder drei Dreien ersetzt), ändern sich die Gewinnchancen. Mit drei Einsen wird das Spiel für Spieler günstiger $E = 0,17€$, mit drei Dreien ungünstiger $E = -0,17€$.

Strategietipp: Als Betreiber wählst du drei Dreien, als Spieler hoffst du auf drei Einsen!

Zufallsgerät mit zwei Walzen

Dieses Zufallsgerät hat zwei unabhängige Walzen mit jeweils 4 Zitronen, 2 Glocken und 1 Sieben. Du gewinnst nur bei bestimmten Symbolkombinationen.

Die Wahrscheinlichkeit für "zweimal Glocke": P = 2/7 · 2/7 = 4/49 ≈ 8,16%. Für "zweimal Sieben" ist es noch seltener: P = 1/7 · 1/7 = 1/49 ≈ 2,04%.

Der Erwartungswert bei 1€ Einsatz: E = $4/49 · 4€ + 1/49 · 10€$ - 1€ = -0,47€. Du verlierst 47 Cent pro Spiel.

Wenn der Einsatz auf 1,20€ steigt und der Erwartungswert gleich bleibt, muss der Gewinn für "zweimal Sieben" auf etwa 19,77€ erhöht werden. Merles Schätzung von 20€ stimmt also!

Rechentrick: Setze den gewünschten Erwartungswert in die Formel ein und löse nach dem unbekannten Gewinn auf.

Kartenspiel mit Symbolen

Du hast 10 Karten mit vier verschiedenen Sportsymbolen und ziehst gleichzeitig zwei Karten. Die Anzahl jeder Kartenart bestimmt deine Gewinnchancen.

Für die Wahrscheinlichkeitsberechnung verwendest du die Formel für Ziehen ohne Zurücklegen. Du rechnest: (Anzahl günstiger Kombinationen) ÷ (Gesamtzahl möglicher Kombinationen).

Der Erwartungswert hängt von den Gewinnen für die verschiedenen Ereignisse ab. Du multiplizierst jede Wahrscheinlichkeit mit dem zugehörigen Gewinn und ziehst den Einsatz ab.

Wenn der Veranstalter 0,50€ Erlös pro Spiel haben möchte, musst du die Gewinnbeträge entsprechend anpassen. Du setzt den gewünschten Erwartungswert (-0,50€ aus Spielersicht) in deine Formel ein.

Praxistipp: In echten Glücksspielen will der Veranstalter immer einen positiven Erlös - das bedeutet für Spieler einen negativen Erwartungswert.

Kugelziehung ohne Zurücklegen

Bei diesem Gewinnspiel ziehst du aus 8 farbigen Kugeln (rot, blau, gelb) zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Die Farbenverteilung bestimmt deine Gewinnchancen.

Für "zwei gleichfarbige Kugeln" addierst du die Wahrscheinlichkeiten für zwei rote, zwei blaue und zwei gelbe Kugeln. Jede berechnest du mit der Formel: (Anzahl der Farbe/8) · (Anzahl der Farbe-1/7).

Der Erwartungswert zeigt dir wieder, ob das Spiel für dich vorteilhaft ist. Bei 2,50€ Einsatz pro Spiel musst du schauen, ob der Erwartungswert positiv oder negativ ist.

Wenn der Veranstalter seinen Gewinn verdoppeln will, muss er den Gewinn für "eine gelbe und eine blaue Kugel" anpassen. Du löst die Erwartungswertformel nach diesem unbekannten Gewinn auf.

Wichtig: Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert sich die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug, weil eine Kugel weniger im Gefäß ist.