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Exponentialfunktion: Formel, Beispiele und Parameter

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P Patoary

7.11.2022

Mathe

Exponential Funktion

Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

7.087

•

7. Nov. 2022

•

3 Seiten

Exponentialfunktion: Formel, Beispiele und Parameter

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P Patoary

@ppatoary_ihbs

Exponentialfunktionen sind wichtige mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen. Sie beschreiben... Mehr anzeigen

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-Allgemeine Form f(x)= a. bx Start- wert/ Ausgangswert Exponential Funktionen Wachstumsfaktor, wenn 631 Zerfallsfaktor, wenn 0<b<1 Es gibt k

Die zweite Seite konzentriert sich auf Transformationen von Exponentialfunktionen. Sie erklärt, wie man den Graphen einer Exponentialfunktion strecken und verschieben kann. Zunächst wird die Streckung in y-Richtung behandelt.

Example: Bei gxx = 2 · 1,5ˣ ist der Graph gegenüber fxx = 1,5ˣ um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt.

Die allgemeine Form für eine Streckung wird als gxx = a · bˣ angegeben, wobei der Graph um den Faktor a gestreckt wird. Es wird auch erwähnt, dass ein negatives a zu einer zusätzlichen Spiegelung an der x-Achse führt.

Anschließend wird die Verschiebung in y-Richtung erläutert. Die allgemeine Form hierfür ist hxx = bˣ + c, wobei c die Anzahl der Einheiten angibt, um die der Graph nach oben oder unten verschoben wird.

Example: hxx = 1,5ˣ + 1 verschiebt den Graphen von fxx = 1,5ˣ um 1 Einheit nach oben.

Zuletzt wird die Verschiebung in x-Richtung behandelt. Die allgemeine Form dafür ist kxx = bˣ⁻ᵈ, wobei d die Anzahl der Einheiten angibt, um die der Graph nach rechts oder links verschoben wird.

Example: kxx = 1,5ˣ⁻² verschiebt den Graphen von fxx = 1,5ˣ um 2 Einheiten nach rechts.

Die Seite enthält mehrere Grafiken, die diese Transformationen visuell darstellen und dem Leser helfen, die Konzepte besser zu verstehen.

-Allgemeine Form f(x)= a. bx Start- wert/ Ausgangswert Exponential Funktionen Wachstumsfaktor, wenn 631 Zerfallsfaktor, wenn 0<b<1 Es gibt k

Die dritte Seite fasst die allgemeine Gleichung einer Exponentialfunktion zusammen und zeigt, wie man die Parameter einer Exponentialfunktion bestimmen kann. Sie beginnt mit der Darstellung der allgemeinen Form:

fxx = a · bˣ⁻ᵈ + e

Hier wird die Bedeutung jedes Parameters erklärt:

  • a: Anfangswert wennnegativ,fu¨hrtzuSpiegelunganderx−Achsewenn negativ, führt zu Spiegelung an der x-Achse
  • b: Wachstumsfaktor (b > 1 für zunehmende, 0 < b < 1 für abnehmende Funktionen)
  • d: Verschiebung in x-Richtung (positiv nach links, negativ nach rechts)
  • e: Verschiebung in y-Richtung

Highlight: Die Vorzeichen der Parameter bestimmen die Richtung der Verschiebungen und Spiegelungen.

Die Seite zeigt auch, wie man eine Exponentialfunktion bestimmen kann, die durch einen gegebenen Punkt geht. Dies wird anhand von zwei Beispielen demonstriert:

  1. Bestimmung einer Funktion fxx = bˣ, die durch den Punkt P(3|5) geht.
  2. Bestimmung einer Funktion fxx = 6ˣ, die durch den Punkt Q−2∣9-2|9 geht.

Example: Für P3∣53|5 ergibt sich b = ³√5 ≈ 1,71, also fxx = (³√5)ˣ.

Die Lösungen werden Schritt für Schritt erklärt, wobei die gegebenen x- und y-Werte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Wert von b zu bestimmen.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor b beschreibt, um welchen Faktor sich der Funktionswert bei einer Erhöhung von x um 1 ändert.

Abschließend enthält die Seite eine grafische Darstellung verschiedener Exponentialfunktionen, die die Auswirkungen unterschiedlicher Parameter auf den Graphen veranschaulicht.

-Allgemeine Form f(x)= a. bx Start- wert/ Ausgangswert Exponential Funktionen Wachstumsfaktor, wenn 631 Zerfallsfaktor, wenn 0<b<1 Es gibt k

Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Exponentialfunktionen ein. Sie beginnt mit der allgemeinen Form fxx = a · bˣ und erklärt die Bedeutung der Parameter. Der Startwert a und der Wachstumsfaktor b werden erläutert, wobei betont wird, dass b stets positiv sein muss. Die Seite beschreibt auch das Verhalten der Funktion in Abhängigkeit von b: Für b > 1 ist die Funktion zunehmend, für 0 < b < 1 abnehmend.

Definition: Eine Funktion f mit der Gleichung fxx = a · bˣ b>0,b≠1b > 0, b ≠ 1 heißt Exponentialfunktion. Hierbei ist b der Wachstumsfaktor und a der Funktionswert an der Stelle x = 0.

Weiterhin werden wichtige Eigenschaften von Exponentialfunktionen aufgeführt. Dazu gehört, dass der Definitionsbereich die reellen Zahlen umfasst und der Wertebereich die positiven reellen Zahlen. Ein besonderes Merkmal ist, dass alle Exponentialfunktionen durch den Punkt P(0|1) gehen.

Highlight: Alle Graphen von Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt P0∣10|1, da aº = 1 gilt.

Die Seite schließt mit einer grafischen Darstellung, die das Verhalten von Exponentialfunktionen für verschiedene Basen veranschaulicht. Es wird gezeigt, wie sich die Graphen für a > 1 und 0 < a < 1 unterscheiden und dass sie symmetrisch zur y-Achse liegen.

Example: Der Graph von fxx = 2ˣ steigt monoton, während gxx = 1/21/2ˣ monoton fällt. Beide Graphen sind an der y-Achse gespiegelt.



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Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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-Allgemeine Form f(x)= a. bx Start- wert/ Ausgangswert Exponential Funktionen Wachstumsfaktor, wenn 631 Zerfallsfaktor, wenn 0<b<1 Es gibt k

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Example: Bei gxx = 2 · 1,5ˣ ist der Graph gegenüber fxx = 1,5ˣ um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt.

Die allgemeine Form für eine Streckung wird als gxx = a · bˣ angegeben, wobei der Graph um den Faktor a gestreckt wird. Es wird auch erwähnt, dass ein negatives a zu einer zusätzlichen Spiegelung an der x-Achse führt.

Anschließend wird die Verschiebung in y-Richtung erläutert. Die allgemeine Form hierfür ist hxx = bˣ + c, wobei c die Anzahl der Einheiten angibt, um die der Graph nach oben oder unten verschoben wird.

Example: hxx = 1,5ˣ + 1 verschiebt den Graphen von fxx = 1,5ˣ um 1 Einheit nach oben.

Zuletzt wird die Verschiebung in x-Richtung behandelt. Die allgemeine Form dafür ist kxx = bˣ⁻ᵈ, wobei d die Anzahl der Einheiten angibt, um die der Graph nach rechts oder links verschoben wird.

Example: kxx = 1,5ˣ⁻² verschiebt den Graphen von fxx = 1,5ˣ um 2 Einheiten nach rechts.

Die Seite enthält mehrere Grafiken, die diese Transformationen visuell darstellen und dem Leser helfen, die Konzepte besser zu verstehen.

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fxx = a · bˣ⁻ᵈ + e

Hier wird die Bedeutung jedes Parameters erklärt:

  • a: Anfangswert wennnegativ,fu¨hrtzuSpiegelunganderx−Achsewenn negativ, führt zu Spiegelung an der x-Achse
  • b: Wachstumsfaktor (b > 1 für zunehmende, 0 < b < 1 für abnehmende Funktionen)
  • d: Verschiebung in x-Richtung (positiv nach links, negativ nach rechts)
  • e: Verschiebung in y-Richtung

Highlight: Die Vorzeichen der Parameter bestimmen die Richtung der Verschiebungen und Spiegelungen.

Die Seite zeigt auch, wie man eine Exponentialfunktion bestimmen kann, die durch einen gegebenen Punkt geht. Dies wird anhand von zwei Beispielen demonstriert:

  1. Bestimmung einer Funktion fxx = bˣ, die durch den Punkt P(3|5) geht.
  2. Bestimmung einer Funktion fxx = 6ˣ, die durch den Punkt Q−2∣9-2|9 geht.

Example: Für P3∣53|5 ergibt sich b = ³√5 ≈ 1,71, also fxx = (³√5)ˣ.

Die Lösungen werden Schritt für Schritt erklärt, wobei die gegebenen x- und y-Werte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Wert von b zu bestimmen.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor b beschreibt, um welchen Faktor sich der Funktionswert bei einer Erhöhung von x um 1 ändert.

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Definition: Eine Funktion f mit der Gleichung fxx = a · bˣ b>0,b≠1b > 0, b ≠ 1 heißt Exponentialfunktion. Hierbei ist b der Wachstumsfaktor und a der Funktionswert an der Stelle x = 0.

Weiterhin werden wichtige Eigenschaften von Exponentialfunktionen aufgeführt. Dazu gehört, dass der Definitionsbereich die reellen Zahlen umfasst und der Wertebereich die positiven reellen Zahlen. Ein besonderes Merkmal ist, dass alle Exponentialfunktionen durch den Punkt P(0|1) gehen.

Highlight: Alle Graphen von Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt P0∣10|1, da aº = 1 gilt.

Die Seite schließt mit einer grafischen Darstellung, die das Verhalten von Exponentialfunktionen für verschiedene Basen veranschaulicht. Es wird gezeigt, wie sich die Graphen für a > 1 und 0 < a < 1 unterscheiden und dass sie symmetrisch zur y-Achse liegen.

Example: Der Graph von fxx = 2ˣ steigt monoton, während gxx = 1/21/2ˣ monoton fällt. Beide Graphen sind an der y-Achse gespiegelt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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