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Extremwertprobleme

Johanna

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Lernzettel

Lernzettel- Extremwertprobleme

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WOZU DIENEN EXTREMWERTPROBLEME? Es geht darum Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen zu erhalten → Funktion wird gesucht, um das Problem zu beschreiben →Nur eine Variable darf vorliegen, wenn mehrere, dann „eliminieren" durch Nebenbedingungen BEISPIEL Gegeben sei die Funktion fcx) im ersten Quadranten. Welche koordinaten muss Punkt P besitzen, damit der Flächeninhalt des grau schaffierten Dreiecks maximal ist? Extremwertprobleme y f(u). جا น 1. Hauptbedingung aufstellen Fläche des Dreiecks 3. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen ↳ 5. Restliche Werte bestimmen: f(x) g=u und h = f(u) 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen 1 x² + 4,5 P(ulf(u)) I 2. Nebenbedingung schreiben: In diesem Fall, dass der Punkt P auf dem Funktionsgraphen liegen muss So kann man die Grundseite 9 und die Höhe h durch die koordinaten von P ersetzen A₁ = 2.g.h -1/ VORGEHENSWEISE X u² A₂ (u) = 1/2 ·u· (-²/2 u²+ 4,5) == 1/2 4₁²³ +2,25 u → Zielfunktion + 4,5 Die notwendige Bedingung: f'(x) =0 Da wir uns aber nur im ersten Die hinreichende Bedingung: A₂₁ (u) = = = ₁² +2,25 =0 1.4 Quadranten befinden : U=3 F"(x) 0 A". = -1/2 u 3 einsetzen Für V₁ =3 ist die Zielfunktion also die Fläche des ¡ Y- koordinate von P: u² I. Hauptbedingung aufstellen: was soll maxi-/minimal werden ? 2. Rand bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text 3. Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptbedingung einsetzen Zielfunktion 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen. 3=- - 1/2. Dreiecks, wirklich 5. Alle fehlenden Werte bestimmen. (Randwerte beachten!) + 9 =0 1-9 u² = 9...

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1:√ 2/2 <0 2 A (3) = 6.3 + maximal. U₁₂₁= -3₁ U₂ = 3 →Hochpunkt baw. Maximum 4₁5 = 3, daher P(313) 1.) Fläche 2.) Quader 3.) a TYPISCHE AUFGABEN 3a Dose Seitenlänge begrenzt HB: A (a,b) = a.b NB: U (a. b) =2. (a+b) = 400 ⇒b= 200-a a in HB ZF A (a)=- a² + 200 a b kantenlänge begrenzt a max. Fläche nur 400m Zaun b →h=21-4a in HB ZF V (a)=3a² (21-4a) HB: V (a,h) = 3a².h NB: K (a,h) = 16a +4h=84 max. Volumen nur 84cm Draht Material begrenzt geschlossen HB: V (r,h) = πJ. r².h NB: 0 (r,h) = 2πJ⋅r · (r+h) = 300 300 → h= 277. r -r in HB 2F Vir) = 150₁ - 5.5° max. Volumen nur 300 cm² Material Merken d b a a a a ( a FLACHENINHALTE-FORMEL DREIECK RECHTECK A = a.b. TRAPEZ : A = a.h. 2 A= 를. PARALLELOGRAMM: KREIS A= r² = 11.d² (akc).h A= a.h U=a+b+c U= 2. (a+b) U=a+b+c+d U= 2. (a+b) U= 211.r = 7.d