Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen und Monotonieverhalten
Dieses Arbeitsblatt bietet eine umfassende Übersicht über die Analyse von Funktionsgraphen, mit besonderem Fokus auf charakteristische Punkte und Monotonieverhalten. Es beginnt mit einem praktischen Beispiel einer Bestandsfunktion und geht dann zu den mathematischen Grundlagen über.
Definition: Charakteristische Punkte eines Graphen sind die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Hoch- und Tiefpunkte.
Das Arbeitsblatt erklärt verschiedene wichtige Konzepte:
- Hoch- und Tiefpunkte berechnen: Es wird gezeigt, wie man Extremstellen einer Funktion bestimmt.
Beispiel: Für die Funktion fx = -x³ + 3x² werden Hoch- und Tiefpunkte berechnet: HP0/0 und TP2/−4.
- Monotonie: Das Konzept der Monotonie wird eingeführt und mathematisch definiert.
Definition: Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einem Intervall I, wenn für alle x₁ < x₂ aus I gilt: f(x₁) < f(x₂).
- Monotoniesatz: Der Monotoniesatz wird vorgestellt, der die Beziehung zwischen der ersten Ableitung und dem Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt.
Highlight: Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion in einem Intervall streng monoton steigend ist, wenn ihre erste Ableitung in diesem Intervall positiv ist.
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Sattelpunkte: Das Konzept des Sattelpunkts wird erklärt als ein Punkt, an dem die erste Ableitung Null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet.
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Wendepunkte: Obwohl nicht explizit genannt, sind Wendepunkte implizit Teil der Diskussion über charakteristische Punkte.
Das Arbeitsblatt schließt mit einem praktischen Beispiel zur Analyse des Monotonieverhaltens der Funktion gx = x² - 5x + 7. Dieses Beispiel demonstriert die Anwendung der gelernten Konzepte in einer konkreten Aufgabe.
Vocabulary:
- Randextrema: Extremwerte am Rand des Definitionsbereichs
- Globales Maximum: Der größte Wert aller lokalen Maxima
Insgesamt bietet dieses Arbeitsblatt eine solide Grundlage für das Verständnis und die Analyse von Funktionsgraphen, was für fortgeschrittene mathematische Konzepte und reale Anwendungen unerlässlich ist.
