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Mathe
11. Dez. 2025
14.689
28 Seiten
Lili @lili_lozr
Vektorrechnung einfach erklärt: A comprehensive guide to vector calculations, covering fundamental concepts, operations, and applications in geometry... Mehr anzeigen
This section explains how to perform basic calculations with vectors.
It demonstrates the process of computing a vector using coordinate differences and introduces the concept of vectors as ordered triples of numbers.
Vocabulary An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.
Example Vector v = where a and b are the components of two vectors being added.
This page distinguishes between position vectors and points in space.
It explains how position vectors are related to points and illustrates the concept using coordinate systems.
Definition A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.
Highlight The position vector OA for point A(x₁, x₂, x₃) is represented as OA = (x₁, x₂, x₃).
This section introduces the formula for calculating the length (magnitude) of a vector.
It provides the general formula and a specific example to illustrate the calculation process.
Vocabulary The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.
Example For vector v = (3, 2, 1), its magnitude |v| = √(3² + 2² + 1²) = √14 ≈ 3.74
This page explains how to calculate the distance between two points in three-dimensional space.
It presents the general formula for distance calculation and relates it to vector operations.
Definition The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.
Formula |AB| = √
This section covers the basic operations of vector addition and subtraction.
It explains these operations both algebraically and geometrically, providing visual representations.
Highlight Vector addition is commutative a + b = b + a
Example For vectors a = (a₁, a₂, a₃) and b = (b₁, b₂, b₃), their sum is
This page introduces the concept of scalar multiplication of vectors.
It explains how a vector is multiplied by a scalar (real number) and the geometric interpretation of this operation.
Definition Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.
Example For scalar r and vector v = (v₁, v₂, v₃), r · v = (r · v₁, r · v₂, r · v₃)
This section provides a geometric interpretation of scalar multiplication.
It illustrates how the direction and magnitude of a vector change when multiplied by positive and negative scalars.
Highlight When a vector is multiplied by a negative scalar, its direction is reversed.
Example For vector v and scalar r > 0, r · v results in a vector in the same direction as v but r times longer.
This page explains how to calculate the midpoint of a line segment in vector form.
It provides the general formula for finding the midpoint using position vectors.
Formula The midpoint M of line segment AB is given by OM = 1/2 ·
Vocabulary The midpoint of a line segment is the point that divides the segment into two equal parts.
This section introduces the dot product (also known as scalar product) of vectors.
It explains the function of the dot product and provides the general formula for its calculation.
Definition The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.
Formula For vectors u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃), u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
This page explains how to use the dot product to check if two vectors are orthogonal (perpendicular).
It provides the condition for orthogonality and demonstrates with an example.
Highlight Two vectors are orthogonal if and only if their dot product is zero.
Example Vectors (3, 1, 1) and (-2, 1, 2) are not orthogonal as their dot product is -3 ≠ 0.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
331
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der linearen Algebra, einschließlich Vektoren, Matrizen, deren Eigenschaften, orthogonale Vektoren, Abstände zwischen Ebenen und die Hesse-Normalform. Ideal für Studierende der Multivariablen Analysis, die ein besseres Verständnis für die räumliche Positionierung und lineare Kombinationen entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich der Berechnung von Abständen, Beträgen und Mittelpunkten. Lernen Sie, wie man Spurpunkte bestimmt, Geraden einzeichnet und Punktproben durchführt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich der Kollinearität, Berechnung von Richtungsvektoren, Abständen zwischen Punkten und Schnittpunkten von Geraden. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Parametergleichung und Punktprobe. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Lili
@lili_lozr
Vektorrechnung einfach erklärt: A comprehensive guide to vector calculations, covering fundamental concepts, operations, and applications in geometry and linear algebra.
Key points:
• Defines vectors as displacements in space
• Explains vector operations like addition, subtraction, and scalar multiplication... Mehr anzeigen
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This section explains how to perform basic calculations with vectors.
It demonstrates the process of computing a vector using coordinate differences and introduces the concept of vectors as ordered triples of numbers.
Vocabulary: An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.
Example: Vector v = where a and b are the components of two vectors being added.
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This page distinguishes between position vectors and points in space.
It explains how position vectors are related to points and illustrates the concept using coordinate systems.
Definition: A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.
Highlight: The position vector OA for point A(x₁, x₂, x₃) is represented as OA = (x₁, x₂, x₃).
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This section introduces the formula for calculating the length (magnitude) of a vector.
It provides the general formula and a specific example to illustrate the calculation process.
Vocabulary: The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.
Example: For vector v = (3, 2, 1), its magnitude |v| = √(3² + 2² + 1²) = √14 ≈ 3.74
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This page explains how to calculate the distance between two points in three-dimensional space.
It presents the general formula for distance calculation and relates it to vector operations.
Definition: The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.
Formula: |AB| = √
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This section covers the basic operations of vector addition and subtraction.
It explains these operations both algebraically and geometrically, providing visual representations.
Highlight: Vector addition is commutative: a + b = b + a
Example: For vectors a = (a₁, a₂, a₃) and b = (b₁, b₂, b₃), their sum is
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This page introduces the concept of scalar multiplication of vectors.
It explains how a vector is multiplied by a scalar (real number) and the geometric interpretation of this operation.
Definition: Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.
Example: For scalar r and vector v = (v₁, v₂, v₃), r · v = (r · v₁, r · v₂, r · v₃)
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This section provides a geometric interpretation of scalar multiplication.
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Highlight: When a vector is multiplied by a negative scalar, its direction is reversed.
Example: For vector v and scalar r > 0, r · v results in a vector in the same direction as v but r times longer.
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Vocabulary: The midpoint of a line segment is the point that divides the segment into two equal parts.
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Definition: The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.
Formula: For vectors u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃), u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
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Example: Vectors (3, 1, 1) and (-2, 1, 2) are not orthogonal as their dot product is -3 ≠ 0.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der linearen Algebra, einschließlich Vektoren, Matrizen, deren Eigenschaften, orthogonale Vektoren, Abstände zwischen Ebenen und die Hesse-Normalform. Ideal für Studierende der Multivariablen Analysis, die ein besseres Verständnis für die räumliche Positionierung und lineare Kombinationen entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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