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Mathe

Algebra

Vektorrechnung

Winkel zwischen zwei vektoren

Vektorrechnung einfach erklärt: Deine Grundlagen Aufgaben und mehr!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Vektorrechnung einfach erklärt: Deine Grundlagen Aufgaben und mehr!

Lili

@lili_lozr

16 Follower

Geprüfte Studiennote

Vektorrechnung einfach erklärt: A comprehensive guide to vector calculations, covering fundamental concepts, operations, and applications in geometry and linear algebra.

Key points:
• Defines vectors as displacements in space
• Explains vector operations like addition, subtraction, and scalar multiplication
• Covers dot product, orthogonality, and angle calculations between vectors
• Discusses parametric equations of lines and planes
• Explores relationships between points, lines, and planes in 3D space

7.6.2023

8127

VEKTOREN
Simon & Lili GRUNDLAGEN
Vektor = Verschiebung im Raum
einzeichnen:
t
bestimmen:
A (×₁ 1×₂ 1×3)
1x2
B (x₁1x₂1x3) 12
AB =
VEKTOR BERE

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Vector Calculations

This section explains how to perform basic calculations with vectors.

It demonstrates the process of computing a vector using coordinate differences and introduces the concept of vectors as ordered triples of numbers.

Vocabulary: An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.

Example: Vector v = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃) where a and b are the components of two vectors being added.

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Position Vectors vs Points

This page distinguishes between position vectors and points in space.

It explains how position vectors are related to points and illustrates the concept using coordinate systems.

Definition: A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.

Highlight: The position vector OA for point A(x₁, x₂, x₃) is represented as OA = (x₁, x₂, x₃).

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Calculating Vector Length

This section introduces the formula for calculating the length (magnitude) of a vector.

It provides the general formula and a specific example to illustrate the calculation process.

Vocabulary: The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.

Example: For vector v = (3, 2, 1), its magnitude |v| = √(3² + 2² + 1²) = √14 ≈ 3.74

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Calculating Distance Between Two Points

This page explains how to calculate the distance between two points in three-dimensional space.

It presents the general formula for distance calculation and relates it to vector operations.

Definition: The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.

Formula: |AB| = √[(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²]

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Addition and Subtraction of Vectors

This section covers the basic operations of vector addition and subtraction.

It explains these operations both algebraically and geometrically, providing visual representations.

Highlight: Vector addition is commutative: a + b = b + a

Example: For vectors a = (a₁, a₂, a₃) and b = (b₁, b₂, b₃), their sum is (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

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Scalar Multiplication

This page introduces the concept of scalar multiplication of vectors.

It explains how a vector is multiplied by a scalar (real number) and the geometric interpretation of this operation.

Definition: Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.

Example: For scalar r and vector v = (v₁, v₂, v₃), r · v = (r · v₁, r · v₂, r · v₃)

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Geometric Interpretation of Scalar Multiplication

This section provides a geometric interpretation of scalar multiplication.

It illustrates how the direction and magnitude of a vector change when multiplied by positive and negative scalars.

Highlight: When a vector is multiplied by a negative scalar, its direction is reversed.

Example: For vector v and scalar r > 0, r · v results in a vector in the same direction as v but r times longer.

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Calculating Midpoint of a Line Segment

This page explains how to calculate the midpoint of a line segment in vector form.

It provides the general formula for finding the midpoint using position vectors.

Formula: The midpoint M of line segment AB is given by OM = 1/2 · (OA + OB)

Vocabulary: The midpoint of a line segment is the point that divides the segment into two equal parts.

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Dot Product (Scalar Product)

This section introduces the dot product (also known as scalar product) of vectors.

It explains the function of the dot product and provides the general formula for its calculation.

Definition: The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.

Formula: For vectors u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃), u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

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Checking Orthogonality of Vectors

This page explains how to use the dot product to check if two vectors are orthogonal (perpendicular).

It provides the condition for orthogonality and demonstrates with an example.

Highlight: Two vectors are orthogonal if and only if their dot product is zero.

Example: Vectors (3, 1, 1) and (-2, 1, 2) are not orthogonal as their dot product is -3 ≠ 0.

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Vector Calculations

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It demonstrates the process of computing a vector using coordinate differences and introduces the concept of vectors as ordered triples of numbers.

Vocabulary: An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.

Example: Vector v = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃) where a and b are the components of two vectors being added.

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Position Vectors vs Points

This page distinguishes between position vectors and points in space.

It explains how position vectors are related to points and illustrates the concept using coordinate systems.

Definition: A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.

Highlight: The position vector OA for point A(x₁, x₂, x₃) is represented as OA = (x₁, x₂, x₃).

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Calculating Vector Length

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It provides the general formula and a specific example to illustrate the calculation process.

Vocabulary: The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.

Example: For vector v = (3, 2, 1), its magnitude |v| = √(3² + 2² + 1²) = √14 ≈ 3.74

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Calculating Distance Between Two Points

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It presents the general formula for distance calculation and relates it to vector operations.

Definition: The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.

Formula: |AB| = √[(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²]

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Addition and Subtraction of Vectors

This section covers the basic operations of vector addition and subtraction.

It explains these operations both algebraically and geometrically, providing visual representations.

Highlight: Vector addition is commutative: a + b = b + a

Example: For vectors a = (a₁, a₂, a₃) and b = (b₁, b₂, b₃), their sum is (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

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Scalar Multiplication

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It explains how a vector is multiplied by a scalar (real number) and the geometric interpretation of this operation.

Definition: Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.

Example: For scalar r and vector v = (v₁, v₂, v₃), r · v = (r · v₁, r · v₂, r · v₃)

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Geometric Interpretation of Scalar Multiplication

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Calculating Midpoint of a Line Segment

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Dot Product (Scalar Product)

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Definition: The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.

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Checking Orthogonality of Vectors

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