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Vektorrechnung einfach erklärt: Deine Grundlagen Aufgaben und mehr!

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7.6.2023

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Winkel zwischen zwei vektoren

Vektorrechnung einfach erklärt: Deine Grundlagen Aufgaben und mehr!

Vektorrechnung einfach erklärt: A comprehensive guide to vector calculations, covering fundamental concepts, operations, and applications in geometry and linear algebra.

Key points:
• Defines vectors as displacements in space
• Explains vector operations like addition, subtraction, and scalar multiplication
• Covers dot product, orthogonality, and angle calculations between vectors
• Discusses parametric equations of lines and planes
• Explores relationships between points, lines, and planes in 3D space

...

7.6.2023

12884

VEKTOREN Simon & Lili GRUNDLAGEN Vektor = Verschiebung im Raum einzeichnen: t bestimmen: A (×₁ 1×₂ 1×3) 1x2 B (x₁1x₂1x3) 12 AB = VEKTOR BERE

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Vector Calculations

This section explains how to perform basic calculations with vectors.

It demonstrates the process of computing a vector using coordinate differences and introduces the concept of vectors as ordered triples of numbers.

Vocabulary: An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.

Example: Vector v = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃ where a and b are the components of two vectors being added.

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Position Vectors vs Points

This page distinguishes between position vectors and points in space.

It explains how position vectors are related to points and illustrates the concept using coordinate systems.

Definition: A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.

Highlight: The position vector OA for point Ax1,x2,x3x₁, x₂, x₃ is represented as OA = x1,x2,x3x₁, x₂, x₃.

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Calculating Vector Length

This section introduces the formula for calculating the length magnitudemagnitude of a vector.

It provides the general formula and a specific example to illustrate the calculation process.

Vocabulary: The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.

Example: For vector v = 3,2,13, 2, 1, its magnitude |v| = √32+22+123² + 2² + 1² = √14 ≈ 3.74

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Calculating Distance Between Two Points

This page explains how to calculate the distance between two points in three-dimensional space.

It presents the general formula for distance calculation and relates it to vector operations.

Definition: The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.

Formula: |AB| = √(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²

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Addition and Subtraction of Vectors

This section covers the basic operations of vector addition and subtraction.

It explains these operations both algebraically and geometrically, providing visual representations.

Highlight: Vector addition is commutative: a + b = b + a

Example: For vectors a = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ and b = b1,b2,b3b₁, b₂, b₃, their sum is a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃

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Scalar Multiplication

This page introduces the concept of scalar multiplication of vectors.

It explains how a vector is multiplied by a scalar realnumberreal number and the geometric interpretation of this operation.

Definition: Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.

Example: For scalar r and vector v = v1,v2,v3v₁, v₂, v₃, r · v = r⋅v1,r⋅v2,r⋅v3r · v₁, r · v₂, r · v₃

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Geometric Interpretation of Scalar Multiplication

This section provides a geometric interpretation of scalar multiplication.

It illustrates how the direction and magnitude of a vector change when multiplied by positive and negative scalars.

Highlight: When a vector is multiplied by a negative scalar, its direction is reversed.

Example: For vector v and scalar r > 0, r · v results in a vector in the same direction as v but r times longer.

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Calculating Midpoint of a Line Segment

This page explains how to calculate the midpoint of a line segment in vector form.

It provides the general formula for finding the midpoint using position vectors.

Formula: The midpoint M of line segment AB is given by OM = 1/2 · OA+OBOA + OB

Vocabulary: The midpoint of a line segment is the point that divides the segment into two equal parts.

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Dot Product (Scalar Product)

This section introduces the dot product alsoknownasscalarproductalso known as scalar product of vectors.

It explains the function of the dot product and provides the general formula for its calculation.

Definition: The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.

Formula: For vectors u = u1,u2,u3u₁, u₂, u₃ and v = v1,v2,v3v₁, v₂, v₃, u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

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•

7. Juni 2023

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Vektorrechnung einfach erklärt: Deine Grundlagen Aufgaben und mehr!

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Lili

@lili_lozr

Vektorrechnung einfach erklärt: A comprehensive guide to vector calculations, covering fundamental concepts, operations, and applications in geometry and linear algebra.

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Vocabulary: An ordered triple is a set of three numbers in a specific sequence, often used to represent vectors in three-dimensional space.

Example: Vector v = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃ where a and b are the components of two vectors being added.

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Position Vectors vs Points

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Definition: A position vector is a vector that represents the position of a point in space relative to the origin of the coordinate system.

Highlight: The position vector OA for point Ax1,x2,x3x₁, x₂, x₃ is represented as OA = x1,x2,x3x₁, x₂, x₃.

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Calculating Vector Length

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Vocabulary: The magnitude of a vector is its length, regardless of its direction.

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Calculating Distance Between Two Points

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Definition: The distance between two points A and B is equal to the magnitude of the vector AB.

Formula: |AB| = √(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²

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Addition and Subtraction of Vectors

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Scalar Multiplication

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Definition: Scalar multiplication involves multiplying each component of a vector by a real number.

Example: For scalar r and vector v = v1,v2,v3v₁, v₂, v₃, r · v = r⋅v1,r⋅v2,r⋅v3r · v₁, r · v₂, r · v₃

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Geometric Interpretation of Scalar Multiplication

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It illustrates how the direction and magnitude of a vector change when multiplied by positive and negative scalars.

Highlight: When a vector is multiplied by a negative scalar, its direction is reversed.

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Calculating Midpoint of a Line Segment

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Formula: The midpoint M of line segment AB is given by OM = 1/2 · OA+OBOA + OB

Vocabulary: The midpoint of a line segment is the point that divides the segment into two equal parts.

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Dot Product (Scalar Product)

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Definition: The dot product of two vectors is a scalar value that is the sum of the products of corresponding components.

Formula: For vectors u = u1,u2,u3u₁, u₂, u₃ and v = v1,v2,v3v₁, v₂, v₃, u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

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Checking Orthogonality of Vectors

This page explains how to use the dot product to check if two vectors are orthogonal perpendicularperpendicular.

It provides the condition for orthogonality and demonstrates with an example.

Highlight: Two vectors are orthogonal if and only if their dot product is zero.

Example: Vectors 3,1,13, 1, 1 and −2,1,2-2, 1, 2 are not orthogonal as their dot product is -3 ≠ 0.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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