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Mathematik ANALYSIS Nullstellen, Extremstellen, Ableitung etc.
4.3.2021
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Mathematik Nullstellen Wendestellen Ableitung Extremstellen Übungsklausur Q1-1. Halbjahr fableitung immer dann anzuwenden, wenn etwas im Exponenten x-Funktion steht Beispiele Aufgaben mit Lösungen - f(x) = 2x +3 f(x)= x² +3 F(x)=x²-16 f(x) = -x ²²-2× +6 F(x) = 5x³+4 f'(x) = 2 f'(x) = 2x f'(x) = 4x³ F'(x) = -1/2-2·x -1/2x2x -x-2 1²(x) = 15x² der ableitung Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob der Graph einer bestimmten Funktion rechts- oder Linksgekrümmt ist (Änderung der Steigung) {"(x) > 0 positiv, linksgekrümmt F"(x) < 0 negativ, rechtsgekrümmt Linkskurve if (x) f"(x) > 0 zweite f(xo) Xo f'(x₂) ixo Rechtskurve f"(x) < 0 Fig. 1 f'(x) > 0 ↓ f' wächst streng monoton. ↓ Der Graph von f ist links- gekrümmt. f'(x) < 0 Į f' nimmt streng monoton ab. Der Graph von fist rechtsgekrümmt. лу t ਦਾ -2 2 -2 =Linksgekrümment = rechtsgekrümmt Klausurvorbereitung - Analysis - NRW 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ + 2x² - 2x. Die Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion. (a) Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion. (b) Entscheiden Sie begründet mit Hilfe einer Zeichnung in der Abbildung, ob die Gerade g(x)=x+5 eine Tangente am Graphen von f im Punkt P(-2 | 4) ist. 2. Gegeben ist die Funktion f(x)= x³ 3x² - 1. Die Koordinaten des lokalen Hochpunktes und des lokalen Tiefpunktes sind ganzzahlig. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. (a) Entscheiden Sie begründet, ob der Graph der Ableitungsfunktion f' eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel ist. (b) Geben Sie alle Werte für den Paramter c an, so dass die Funktion ge(x) = f(x) + c genau zwei Nullstellen besitzt. Begründen Sie Ihre Angabe. 3. Gegeben ist die Funktion...
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Alternativer Bildtext:
f(x) = 2³-2-2. Der Graph ist in der Abbildung dargestellt. (a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die in der Zeichnung erkennbare Nullstelle tatsächlich eine Nullstelle ist. (b) Gegeben ist die Funktion ga(x) = f(x+a). Geben Sie an, wie sich der Graph von ga verändert, wenn man für a immer größere Zahlen einsetzt. Geben Sie außerdem einen Wert für a an, so dass die Funktion ga die Nullstelle 2-1 besitzt. troo Abbildung Abbildung Abbildung extremstellen Hochpunkt 18 Ald X2 XO f(x) = x² + 2x -1 f'(x)=2x +2 f"(x) = 2 f'(x)=0 2x+2=0 2x = -2 x=-1 Tiefpunkt f"(-1)=2 2>0 x=-1 TP f(-1) = -2 TPL-1/2) Methode: 1. die erste und zweite Ableitung berechnen ('(x) und f"(x)) 2. die erste Ableitung = Null setzen und mit f'(x) = 0 die Extrem- stelle xe berechnen (Gleichung nach x auflösen) d.h. den x-Wert dex Extrempunktes berechnen 3. mit f" (x₂) übeprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist. Dazu wird die Extremstelle in zweite Ableitung eingesetzt. 1st f"(X₂) <0 ist der Extrempunkt ein Hoch- Punk+ (HP). die 1st f" (x₂) >0 ist der Extrem- punkt ein Tiefpunk+ (TP), ist F"(x)=0 ist es kein Extrempunkt, sondern ein sogenannter Sattelpunkt (SP) 4. mit f(x) = Ye den y-Wert des Extrempunkles berechnen 5. Extrempunkt aufschreiben (X/Y) 2.3 HP (2/3) 4 2 O 2- AY P₂ Sattel- 0 punkt 2 Wende- tangente Wendetergente & Sattelpunkt f(x)= x³ +2 f'(x)= 3x² f"(x) = 6 x = 0 X=0 wendestellen f'(x)=6 f" (0) = 60 f(0) = 2 Wie ? / Methode 1. Die 2. Ableitung bilden und ihre Millstellen bestimmen F"(x)=0 Exo 2. Die 3. Ableitung bilden und die einsetzen ↳ f(x) ‡0 →→ Wendes lelle LD F"(xo) = 0 → bei V2W - Kriterium f"(xo) 3. Einsetzen der Wendestellen f(x) Beispiel WP (012) NST der 2. Ableitung xo Wie oft nullstellen und Methode 1. Funktion f(x) 2. Gleichung nach Beispiel: F(x) = 4x+5 f(x) = 4x+5=0 4x+5=0 4x = x=-=-1,25 -5 Wo? überschneidet / Criff der Funktions- graph die x-Achse ? = 0 setzen x auflösen Die Nullstelle der Funktion f(x)=4*+5 ist x=-1,25