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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Exponentialfunktionen

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Mathematik Grundlagen für das Abitur in BW

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Hier sind die wichtigsten Mathe-Themen für deine Oberstufe kompakt zusammengefasst!... Mehr anzeigen

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# Analysis ## Quadratische Gleichungen ax²+bx+c = 0 (a≠0) Lösungsformel Millernachtsformel $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ -T

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der Mitternachtsformel: x₁/₂ = −b±√(b2−4ac)-b ± √(b²-4ac)/(2a). Der Term unter der Wurzel verrät dir alles: Ist er negativ, gibt's keine Lösung. Bei null hast du eine doppelte Lösung, bei positiven Werten zwei verschiedene.

Das Nullprodukt macht dein Leben oft einfacher als die Mitternachtsformel. Bei x²-6x=0 klammerst du einfach x aus: xx−6x-6=0. Dann setzt du jeden Faktor gleich null und fertig!

Bei Potenz- und Exponentialfunktionen helfen dir Transformationen beim Verstehen. f(x) = x−4x-4² + 3 verschiebt die normale Parabel um 4 nach rechts und 3 nach oben. Exponentialgleichungen wie e^x = 7 löst du mit dem natürlichen Logarithmus: x = ln(7).

Sinus- und Kosinusfunktionen haben ihre festen Regeln: Eine Periode dauert 2π, benachbarte Nullstellen sind π voneinander entfernt. Die Form f(x) = a·sinb(x−c)b(x-c) + d zeigt dir Amplitude (a), Periode 2π/b2π/b und Verschiebungen (c und d) auf einen Blick.

Tipp: Bei komplexeren Aufgaben probiere zuerst das Nullprodukt, bevor du die Mitternachtsformel verwendest!

# Analysis ## Quadratische Gleichungen ax²+bx+c = 0 (a≠0) Lösungsformel Millernachtsformel $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ -T

Exponentialfunktionen und Ableitungsregeln

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat eine Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht sie super praktisch zum Rechnen. Sie hat keine Nullstellen und nähert sich für x → -∞ der x-Achse an.

Ableitungen von Grundfunktionen musst du auswendig können: f(x) = x^k wird zu f'(x) = k·x^k−1k-1, sin x wird zu cos x, cos x zu -sin x. Bei √x = x^(1/2) wird's zu (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).

Extrempunkte findest du über die erste Ableitung. Setzt du f'(x) = 0, bekommst du die x-Werte. Ob's ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, checkst du mit dem Vorzeichenwechsel: von + zu - ist ein Hochpunkt, von - zu + ein Tiefpunkt.

Die Kettenregel brauchst du bei verketteten Funktionen: f(x) = umx+cmx + c wird zu f'(x) = m · u'mx+cmx + c. Bei der Produktregel gilt: (u·v)' = u'·v + u·v'. Diese Regeln sind absolute Basics für komplexere Aufgaben.

Merke dir: e^x bleibt immer e^x, egal wie oft du ableitest!

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Integralrechnung

Integration ist das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Bei x^k wird's zu x^k+1k+1/k+1k+1, bei sin x zu -cos x, bei cos x zu sin x. Die e-Funktion bleibt wieder sich selbst treu.

Integrale berechnen läuft in zwei Schritten: Erst die Stammfunktion finden, dann die Grenzen einsetzen. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx = [F(x)]ᵃᵇ = F(b) - F(a) gibt dir den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.

Bei linearen Verkettungen mit mx + c teilst du durch den inneren Faktor m. Aus sin5x+25x + 2 wird -1/5 · cos5x+25x + 2, aus e^(4x) wird 1/4 · e^(4x). Das ist die Umkehrung der Kettenregel.

Grenzen bestimmen funktioniert rückwärts: Du berechnest das Integral mit unbekannten Grenzen, setzt das Ergebnis gleich dem gegebenen Wert und löst nach der gesuchten Grenze auf.

Faustregel: Beim Integrieren teilst du durch den Exponenten, beim Ableiten multiplizierst du mit ihm!

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Flächenberechnungen

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse berechnest du systematisch. Zuerst findest du alle Nullstellen - die werden deine Integrationsgrenzen. Dann checkst du, ob der Graph zwischen den Nullstellen über oder unter der x-Achse verläuft.

Liegt der Graph über der x-Achse, rechnest du normal: A = ∫ᵃᵇ f(x)dx. Liegt er unter der x-Achse, wird das Integral negativ - für den Flächeninhalt brauchst du den Betrag: A = |∫ᵃᵇ f(x)dx|.

Bei mehreren Teilflächen addierst du die Beträge: A = A₁ + A₂ = |∫ᵃᵇ f(x)dx| + |∫ᵇᶜ f(x)dx|. Jede Teilfläche zwischen zwei benachbarten Nullstellen rechnest du separat.

Beispiel: f(x) = -3x² + 12 hat Nullstellen bei x = ±2. Bei x = 0 ist f(0) = 12 > 0, also verläuft der Graph zwischen den Nullstellen über der x-Achse. Das Integral ∫₋₂² −3x2+12-3x² + 12dx = 32 gibt direkt die Fläche an.

Wichtig: Vergiss nicht die Beträge, wenn Teilflächen unter der x-Achse liegen!

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Vektoren und ihre Anwendungen

Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, der Verbindungsvektor AB⃗ = b⃗ - a⃗ verbindet zwei beliebige Punkte. So einfach ist das!

Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit |a⃗| = √x12+x22+x32x₁² + x₂² + x₃². Das ist quasi der 3D-Pythagoras. Den Abstand zweier Punkte bekommst du über den Betrag ihres Verbindungsvektors.

Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist mega praktisch: Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Damit berechnest du auch Winkel zwischen Vektoren: cos γ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|).

Das Vektorprodukt a⃗ × b⃗ gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Das brauchst du für Normalenvektoren von Ebenen. Die Berechnung sieht kompliziert aus, folgt aber einem festen Schema.

Eselsbrücke: Skalarprodukt = eine Zahl, Vektorprodukt = ein neuer Vektor!

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Ebenen im Raum

Ebenen kannst du in verschiedenen Formen darstellen. Die Parameterform E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗ brauchst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ist oft praktischer zum Rechnen.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Gibt es eine Lösung für den Parameter t, hast du einen Schnittpunkt. Keine Lösung bedeutet: Gerade ist parallel zur Ebene.

Eine Ebene aufstellen geht auf verschiedene Wege: Durch drei Punkte A, B, C nimmst du einen als Stützvektor und bildest AB⃗ und AC⃗ als Richtungsvektoren. Bei Spurpunkten (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kannst du direkt die Koordinatenform ablesen.

Von Parameterform zu Koordinatenform kommst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor, der direkt die Koordinaten in der Koordinatenform liefert.

Tipp: Spurpunkte musst du nur zum Zeichnen bestimmen, nicht für Rechnungen!

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Lagebeziehungen und Abstände

Lage zweier Geraden checkst du über ihre Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Zusätzlich identisch sind sie, wenn der Abstand ihrer Stützpunkte auch ein Vielfaches des Richtungsvektors ist.

Schnittgeraden zweier Ebenen bestimmst du, indem du beide Ebenengleichungen gleichzeitig löst. Das Ergebnis ist eine Gerade mit einem Punkt als Stützvektor und dem Vektorprodukt der Normalenvektoren als Richtungsvektor.

Bei Textaufgaben musst du die Situation erst verstehen. Im Beispiel mit dem Baum: Die Sonnenstrahlen bilden eine Gerade von der Baumspitze in Richtung des gegebenen Vektors. Der Schnittpunkt mit der Ebene (Hang) ist der gesuchte Schattenpunkt.

Abstand berechnen zwischen zwei Punkten funktioniert über den Betrag ihres Verbindungsvektors: |F⃗T⃗| = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)². Das ist der 3D-Abstand, den du in vielen Aufgaben brauchst.

Strategie: Bei Textaufgaben zuerst alle gegebenen Informationen sammeln und dann schrittweise die Geometrie aufbauen!

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Ebenenschnitte und Spiegelungen

Lage von Gerade und Ebene untersuchst du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lösbar für t → Schnittpunkt. Keine Lösung → parallel. Jeder Wert für t erfüllt die Gleichung → Gerade liegt in der Ebene.

Gegenseitige Lage zweier Ebenen erkennst du an ihren Koordinatenformen. Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel. Ist auch die rechte Seite d−Wertd-Wert proportional, sind sie identisch.

Bei Spurpunkten setzt du jeweils zwei Koordinaten null und löst nach der dritten auf. S₁(6|0|0), S₂(0|3|0), S₃(0|0|2) bei E: x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 6. Die brauchst du hauptsächlich zum Zeichnen.

Spiegelungen funktionieren mit Vektoraddition. Punkt P an Punkt S gespiegelt: P' = P + 2·PS⃗. Bei Spiegelung an einer Ebene brauchst du erst den Lotfußpunkt L, dann P' = P + 2·PL⃗.

Merke: Spurpunkte nur zum Zeichnen, für Rechnungen meist unnötig!

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Koordinatenumwandlungen

Von Parameterform zu Koordinatenform gehst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor n⃗ = (a|b|c), woraus die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d wird. Den Wert d bestimmst du, indem du den Stützvektor einsetzt.

Von Normalform zu Koordinatenform ist noch einfacher. Die Normalform n⃗ · x⃗−a⃗x⃗ - a⃗ = 0 multiplizierst du aus: n⃗ · x⃗ - n⃗ · a⃗ = 0. Das wird direkt zu ax₁ + bx₂ + cx₃ = d, wobei d = n⃗ · a⃗ ist.

Bei parallel oder identisch vergleichst du die Normalenvektoren. Bei E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 8 und F: 6x₁ + 4x₂ + 4x₃ = 16 ist der Normalenvektor von F das Doppelte von E. Da auch d verdoppelt ist (8 → 16), sind die Ebenen identisch.

Echt parallel wären sie, wenn nur die Normalenvektoren proportional sind, aber d nicht im gleichen Verhältnis steht. Dann haben die Ebenen überall den gleichen Abstand.

Check: Normalenvektoren proportional = parallel, d-Werte auch proportional = identisch!

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Stochastik - Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. Ereignis A und sein Gegenereignis Ā ergänzen sich zu 1: P(A) + P(Ā) = 1. Das ist super praktisch, wenn P(Ā) einfacher zu berechnen ist.

Laplace-Experimente haben gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Dann gilt: P(A) = günstige Fälle / mögliche Fälle. Beim Glücksrad mit 8 gleichen Feldern ist P(gerade Zahl) = 4/8 = 1/2.

Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Die erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Die zweite Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addieren.

Der Erwartungswert E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... zeigt dir den durchschnittlichen Gewinn/Verlust. Bei E(X) = 0 ist ein Spiel fair. Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) = P(A∩B)/P(B) gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn B bereits eingetreten ist.

Faires Spiel: Der Erwartungswert des Gewinns ist null - langfristig gewinnst und verlierst du gleich viel!



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David K

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Paul T

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Exponentialfunktionen und Ableitungsregeln

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat eine Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht sie super praktisch zum Rechnen. Sie hat keine Nullstellen und nähert sich für x → -∞ der x-Achse an.

Ableitungen von Grundfunktionen musst du auswendig können: f(x) = x^k wird zu f'(x) = k·x^k−1k-1, sin x wird zu cos x, cos x zu -sin x. Bei √x = x^(1/2) wird's zu (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).

Extrempunkte findest du über die erste Ableitung. Setzt du f'(x) = 0, bekommst du die x-Werte. Ob's ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, checkst du mit dem Vorzeichenwechsel: von + zu - ist ein Hochpunkt, von - zu + ein Tiefpunkt.

Die Kettenregel brauchst du bei verketteten Funktionen: f(x) = umx+cmx + c wird zu f'(x) = m · u'mx+cmx + c. Bei der Produktregel gilt: (u·v)' = u'·v + u·v'. Diese Regeln sind absolute Basics für komplexere Aufgaben.

Merke dir: e^x bleibt immer e^x, egal wie oft du ableitest!

# Analysis ## Quadratische Gleichungen ax²+bx+c = 0 (a≠0) Lösungsformel Millernachtsformel $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ -T

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Integralrechnung

Integration ist das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Bei x^k wird's zu x^k+1k+1/k+1k+1, bei sin x zu -cos x, bei cos x zu sin x. Die e-Funktion bleibt wieder sich selbst treu.

Integrale berechnen läuft in zwei Schritten: Erst die Stammfunktion finden, dann die Grenzen einsetzen. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx = [F(x)]ᵃᵇ = F(b) - F(a) gibt dir den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.

Bei linearen Verkettungen mit mx + c teilst du durch den inneren Faktor m. Aus sin5x+25x + 2 wird -1/5 · cos5x+25x + 2, aus e^(4x) wird 1/4 · e^(4x). Das ist die Umkehrung der Kettenregel.

Grenzen bestimmen funktioniert rückwärts: Du berechnest das Integral mit unbekannten Grenzen, setzt das Ergebnis gleich dem gegebenen Wert und löst nach der gesuchten Grenze auf.

Faustregel: Beim Integrieren teilst du durch den Exponenten, beim Ableiten multiplizierst du mit ihm!

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Flächenberechnungen

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse berechnest du systematisch. Zuerst findest du alle Nullstellen - die werden deine Integrationsgrenzen. Dann checkst du, ob der Graph zwischen den Nullstellen über oder unter der x-Achse verläuft.

Liegt der Graph über der x-Achse, rechnest du normal: A = ∫ᵃᵇ f(x)dx. Liegt er unter der x-Achse, wird das Integral negativ - für den Flächeninhalt brauchst du den Betrag: A = |∫ᵃᵇ f(x)dx|.

Bei mehreren Teilflächen addierst du die Beträge: A = A₁ + A₂ = |∫ᵃᵇ f(x)dx| + |∫ᵇᶜ f(x)dx|. Jede Teilfläche zwischen zwei benachbarten Nullstellen rechnest du separat.

Beispiel: f(x) = -3x² + 12 hat Nullstellen bei x = ±2. Bei x = 0 ist f(0) = 12 > 0, also verläuft der Graph zwischen den Nullstellen über der x-Achse. Das Integral ∫₋₂² −3x2+12-3x² + 12dx = 32 gibt direkt die Fläche an.

Wichtig: Vergiss nicht die Beträge, wenn Teilflächen unter der x-Achse liegen!

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Vektoren und ihre Anwendungen

Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, der Verbindungsvektor AB⃗ = b⃗ - a⃗ verbindet zwei beliebige Punkte. So einfach ist das!

Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit |a⃗| = √x12+x22+x32x₁² + x₂² + x₃². Das ist quasi der 3D-Pythagoras. Den Abstand zweier Punkte bekommst du über den Betrag ihres Verbindungsvektors.

Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist mega praktisch: Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Damit berechnest du auch Winkel zwischen Vektoren: cos γ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|).

Das Vektorprodukt a⃗ × b⃗ gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Das brauchst du für Normalenvektoren von Ebenen. Die Berechnung sieht kompliziert aus, folgt aber einem festen Schema.

Eselsbrücke: Skalarprodukt = eine Zahl, Vektorprodukt = ein neuer Vektor!

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Ebenen im Raum

Ebenen kannst du in verschiedenen Formen darstellen. Die Parameterform E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗ brauchst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ist oft praktischer zum Rechnen.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Gibt es eine Lösung für den Parameter t, hast du einen Schnittpunkt. Keine Lösung bedeutet: Gerade ist parallel zur Ebene.

Eine Ebene aufstellen geht auf verschiedene Wege: Durch drei Punkte A, B, C nimmst du einen als Stützvektor und bildest AB⃗ und AC⃗ als Richtungsvektoren. Bei Spurpunkten (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kannst du direkt die Koordinatenform ablesen.

Von Parameterform zu Koordinatenform kommst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor, der direkt die Koordinaten in der Koordinatenform liefert.

Tipp: Spurpunkte musst du nur zum Zeichnen bestimmen, nicht für Rechnungen!

# Analysis ## Quadratische Gleichungen ax²+bx+c = 0 (a≠0) Lösungsformel Millernachtsformel $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ -T

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Lagebeziehungen und Abstände

Lage zweier Geraden checkst du über ihre Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Zusätzlich identisch sind sie, wenn der Abstand ihrer Stützpunkte auch ein Vielfaches des Richtungsvektors ist.

Schnittgeraden zweier Ebenen bestimmst du, indem du beide Ebenengleichungen gleichzeitig löst. Das Ergebnis ist eine Gerade mit einem Punkt als Stützvektor und dem Vektorprodukt der Normalenvektoren als Richtungsvektor.

Bei Textaufgaben musst du die Situation erst verstehen. Im Beispiel mit dem Baum: Die Sonnenstrahlen bilden eine Gerade von der Baumspitze in Richtung des gegebenen Vektors. Der Schnittpunkt mit der Ebene (Hang) ist der gesuchte Schattenpunkt.

Abstand berechnen zwischen zwei Punkten funktioniert über den Betrag ihres Verbindungsvektors: |F⃗T⃗| = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)². Das ist der 3D-Abstand, den du in vielen Aufgaben brauchst.

Strategie: Bei Textaufgaben zuerst alle gegebenen Informationen sammeln und dann schrittweise die Geometrie aufbauen!

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Ebenenschnitte und Spiegelungen

Lage von Gerade und Ebene untersuchst du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lösbar für t → Schnittpunkt. Keine Lösung → parallel. Jeder Wert für t erfüllt die Gleichung → Gerade liegt in der Ebene.

Gegenseitige Lage zweier Ebenen erkennst du an ihren Koordinatenformen. Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel. Ist auch die rechte Seite d−Wertd-Wert proportional, sind sie identisch.

Bei Spurpunkten setzt du jeweils zwei Koordinaten null und löst nach der dritten auf. S₁(6|0|0), S₂(0|3|0), S₃(0|0|2) bei E: x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 6. Die brauchst du hauptsächlich zum Zeichnen.

Spiegelungen funktionieren mit Vektoraddition. Punkt P an Punkt S gespiegelt: P' = P + 2·PS⃗. Bei Spiegelung an einer Ebene brauchst du erst den Lotfußpunkt L, dann P' = P + 2·PL⃗.

Merke: Spurpunkte nur zum Zeichnen, für Rechnungen meist unnötig!

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Koordinatenumwandlungen

Von Parameterform zu Koordinatenform gehst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor n⃗ = (a|b|c), woraus die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d wird. Den Wert d bestimmst du, indem du den Stützvektor einsetzt.

Von Normalform zu Koordinatenform ist noch einfacher. Die Normalform n⃗ · x⃗−a⃗x⃗ - a⃗ = 0 multiplizierst du aus: n⃗ · x⃗ - n⃗ · a⃗ = 0. Das wird direkt zu ax₁ + bx₂ + cx₃ = d, wobei d = n⃗ · a⃗ ist.

Bei parallel oder identisch vergleichst du die Normalenvektoren. Bei E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 8 und F: 6x₁ + 4x₂ + 4x₃ = 16 ist der Normalenvektor von F das Doppelte von E. Da auch d verdoppelt ist (8 → 16), sind die Ebenen identisch.

Echt parallel wären sie, wenn nur die Normalenvektoren proportional sind, aber d nicht im gleichen Verhältnis steht. Dann haben die Ebenen überall den gleichen Abstand.

Check: Normalenvektoren proportional = parallel, d-Werte auch proportional = identisch!

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Stochastik - Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. Ereignis A und sein Gegenereignis Ā ergänzen sich zu 1: P(A) + P(Ā) = 1. Das ist super praktisch, wenn P(Ā) einfacher zu berechnen ist.

Laplace-Experimente haben gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Dann gilt: P(A) = günstige Fälle / mögliche Fälle. Beim Glücksrad mit 8 gleichen Feldern ist P(gerade Zahl) = 4/8 = 1/2.

Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Die erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Die zweite Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addieren.

Der Erwartungswert E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... zeigt dir den durchschnittlichen Gewinn/Verlust. Bei E(X) = 0 ist ein Spiel fair. Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) = P(A∩B)/P(B) gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn B bereits eingetreten ist.

Faires Spiel: Der Erwartungswert des Gewinns ist null - langfristig gewinnst und verlierst du gleich viel!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

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Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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