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Emilia
26.7.2025
Mathe
Quadratische Funktionen und Gleichungen
7.216
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26. Juli 2025
•
Emilia
@emilia.brxc_
Quadratische Funktionen und Gleichungen sind ein zentrales Thema in der... Mehr anzeigen
Die Umformung quadratischer Gleichungen mithilfe binomischer Formeln ist eine wichtige Technik zur Lösung komplexerer Probleme.
Definition: Binomische Formeln sind algebraische Identitäten, die zur Vereinfachung von Ausdrücken und zur Lösung von Gleichungen verwendet werden.
Die drei grundlegenden binomischen Formeln lauten:
Diese Formeln können genutzt werden, um quadratische Gleichungen in eine Form zu bringen, die leichter zu lösen ist.
Example: Die Gleichung x² + 6x + 9 = 49 kann mithilfe der ersten binomischen Formel zu (x + 3)² = 49 umgeformt werden.
Bei der Bestimmung der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in der Form (x + d)² = r ist es oft hilfreich, eine grafische Darstellung zu nutzen.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, f(x) = (x - d)² + e, ist besonders nützlich, da sie direkt den Scheitelpunkt S(d|e) der Parabel angibt.
Highlight: Die Scheitelpunktform ermöglicht es, wichtige Eigenschaften der Parabel wie den Scheitelpunkt und die Verschiebung direkt aus der Gleichung abzulesen.
Um den Funktionsterm einer verschobenen Normalparabel anzugeben, müssen die horizontale und vertikale Verschiebung berücksichtigt werden.
Example: Eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben ergibt die Funktion f(x) = (x - 3)² + 2 mit dem Scheitelpunkt S(3|2).
Die Anwendung binomischer Formeln auf verschobene Parabeln führt oft zu einer Erweiterung des Funktionsterms, was für bestimmte Analysen nützlich sein kann.
Vocabulary: Der erweiterte Funktionsterm einer verschobenen Parabel in der Form f(x) = (x - d)² + e lässt sich durch Ausmultiplizieren in die Form f(x) = x² - 2dx + d² + e bringen.
Diese Umformungen und Techniken bilden die Grundlage für ein tieferes Verständnis quadratischer Funktionen und ermöglichen es, komplexe Probleme in der Algebra und Geometrie zu lösen.
Die Normalparabel mit der Formel f(x) = x² ist der Ausgangspunkt für das Verständnis quadratischer Funktionen. Sie weist einige charakteristische Eigenschaften auf, die für ihre Analyse und Manipulation wichtig sind.
Definition: Die Normalparabel ist eine quadratische Funktion mit der Gleichung f(x) = x², die symmetrisch zur y-Achse verläuft und ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) im Koordinatenursprung (0|0) hat.
Die Normalparabel fällt im zweiten Quadranten und steigt im ersten Quadranten. Diese Symmetrie ist ein wesentliches Merkmal, das bei allen Verschiebungen und Transformationen erhalten bleibt.
Highlight: Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt im Koordinatenursprung (0|0) und ist der tiefste Punkt der Kurve.
Bei der Lösung von Gleichungen des Typs x² = r spielt die grafische Darstellung eine wichtige Rolle.
Example: Für die Gleichung x² = 4 ergeben sich die Lösungen x₁ = 2 oder x₂ = -2. Grafisch entspricht dies den Schnittpunkten der Parabel mit der Geraden y = 4.
Die Verschiebung der Normalparabel entlang der x-Achse erfolgt durch die Anpassung der Funktionsgleichung zu f(x) = (x - d)².
Vocabulary: Der Parameter d in der Gleichung f(x) = (x - d)² bestimmt die horizontale Verschiebung der Parabel. Ein positives d verschiebt die Parabel nach rechts, ein negatives d nach links.
Die Symmetrieachse einer verschobenen Parabel lässt sich leicht bestimmen: Sie verläuft parallel zur y-Achse durch den Punkt x = d.
Für Verschiebungen entlang der y-Achse wird die Gleichung zu f(x) = x² + e angepasst.
Example: Die Funktion f(x) = x² + 3 verschiebt die Normalparabel um 3 Einheiten nach oben.
Es ist wichtig, zwischen Stellen (x-Werte) und Werten (y-Werte) zu unterscheiden. Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Quadratische Funktionen und Gleichungen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Die Normalparabel mit der Formel f(x) = x² bildet die Grundlage für das Verständnis komplexerer quadratischer Funktionen. Ihre charakteristischen Eigenschaften und Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen sind von großer Bedeutung.... Mehr anzeigen
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Die Umformung quadratischer Gleichungen mithilfe binomischer Formeln ist eine wichtige Technik zur Lösung komplexerer Probleme.
Definition: Binomische Formeln sind algebraische Identitäten, die zur Vereinfachung von Ausdrücken und zur Lösung von Gleichungen verwendet werden.
Die drei grundlegenden binomischen Formeln lauten:
Diese Formeln können genutzt werden, um quadratische Gleichungen in eine Form zu bringen, die leichter zu lösen ist.
Example: Die Gleichung x² + 6x + 9 = 49 kann mithilfe der ersten binomischen Formel zu (x + 3)² = 49 umgeformt werden.
Bei der Bestimmung der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in der Form (x + d)² = r ist es oft hilfreich, eine grafische Darstellung zu nutzen.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, f(x) = (x - d)² + e, ist besonders nützlich, da sie direkt den Scheitelpunkt S(d|e) der Parabel angibt.
Highlight: Die Scheitelpunktform ermöglicht es, wichtige Eigenschaften der Parabel wie den Scheitelpunkt und die Verschiebung direkt aus der Gleichung abzulesen.
Um den Funktionsterm einer verschobenen Normalparabel anzugeben, müssen die horizontale und vertikale Verschiebung berücksichtigt werden.
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Die Normalparabel mit der Formel f(x) = x² ist der Ausgangspunkt für das Verständnis quadratischer Funktionen. Sie weist einige charakteristische Eigenschaften auf, die für ihre Analyse und Manipulation wichtig sind.
Definition: Die Normalparabel ist eine quadratische Funktion mit der Gleichung f(x) = x², die symmetrisch zur y-Achse verläuft und ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) im Koordinatenursprung (0|0) hat.
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Bei der Lösung von Gleichungen des Typs x² = r spielt die grafische Darstellung eine wichtige Rolle.
Example: Für die Gleichung x² = 4 ergeben sich die Lösungen x₁ = 2 oder x₂ = -2. Grafisch entspricht dies den Schnittpunkten der Parabel mit der Geraden y = 4.
Die Verschiebung der Normalparabel entlang der x-Achse erfolgt durch die Anpassung der Funktionsgleichung zu f(x) = (x - d)².
Vocabulary: Der Parameter d in der Gleichung f(x) = (x - d)² bestimmt die horizontale Verschiebung der Parabel. Ein positives d verschiebt die Parabel nach rechts, ein negatives d nach links.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
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Jana V
iOS user
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Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
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Sudenaz Ocak
Android user
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Greenlight Bonnie
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Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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