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stammfunktionen, Integralrechnung und Flächeninhalt

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 Stammfunktion
Stammfunktion bilden:
f(x) = a.x'
xh → F(x)= a
Das bestimmen von Stammfunktionen:
Potenziegel:
f(x) = x² → Stammfunktion: F(x

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stammfunktionen, Integralrechnung und Flächeninhalt mit integralen berechnen

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Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x' xh → F(x)= a Das bestimmen von Stammfunktionen: Potenziegel: f(x) = x² → Stammfunktion: F(x) = 1.x8 Funktion f. Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x) = +1 +7 27 NS ES ↓↑ ·t'(x)= NS ↑ - 7x² Hochzahl multipliziert f(x)- 5COS (x) - → Stammfunktion: F(x) = 5 Sin (x). Konstante Faktoren werden beibehalten (Faktorrege!) f(x) = x+ sin(x) →→→ Stammfunktion: F(x) = ² -COS (*) x4 ax= integralrechnung beispiel !!! f(x) = x² 1 r+1 x^ 8 ↳ ale neve Hochzani wird um er nont, dann wird die Potenz mit dem kenweit der neven 2 ·x² +1. Allgemeine Integraischreibweise: beispiel ! : f(x)= xx h+1 F(x) [ 3׳] Stammfunktion = F(x)= 1x³ Flächeninhalt: f(x) = x² F(x) = x³ +5 X = → ) × ² α× - dx [ § × ³ 7 2 2 n+1 ↳bei summen von Funktionen werden stammfunktionen summandenweise bestimmt (summenregel) | Potenzregel + C n+1 Integral [-1; 1.] Konstante c fällt bei der Ableitung weg und somit können wir bei der Aufleitung nicht wissen, welche zani es ist conne variable) 11. Flächeninhalt berechnen: ^|_ f(x)= x² dx = [ ¾×³]´*₁ Intervall [2; 6] mit V2W von + nach - (innere) Extremstelle. von F Maximumstelle : ·1³-· (-1)³ = 3·¼ - 1/2 · (-1) 1- (-1/2) = 1/1/2 -COS (x) aufieiren Intervall: [0;4] F(3)-F(0)=1.45-11.05 = 204,8 Intervalle einsetzen in die stammfunktion und subtrahieren. Lineare Faktorregel | summenregel | substitution f(x)= C. g(x) f(x) = g(x) +h(x) f(x) = g(mx+c) F(x)=G(x) |F(x)= G(x) +H (x) |F(x) = A· G[mxtc) √ f(x) dx = F(b)-F(a) 1. Nullstellen berechnen: (→ gibt es Flächen unterhalb der X-Achse? f(x)=0 (→ Funktion gleich O...

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setzen) →x²=0 1 x=0 →-sin(x) Nullstelle von f mit V2W von - nach + - Sin (x) Ruteiten − ( 1 · 6 ³) − ( §³ · 2³3) - 216 - 69,3 - £ - 3 3 (innere) Extremstelle von F Minimum stelle GOS (x) ohne vzw ↓ ↓ Sattelstelle von F wendestelle von F Besondere Aufleitungen f(x). 0 2x X ex -cos (x) Sin (x) X (innere) Extrem- Stelle von f √x 3 Vorzeichen von f→ Steigung von F Nullstellen von f mit V2W → Extrema von F. Extremstellen von f→ wendestellen von F F(x) O+C x² +c 1x² +C ex+c sin (x) GOS (x) x² +c\ +C A keine Fläche unterhalb der x-Achse → F(b)-F(a) möglich beispiel !! : f(x) = x³ X F(x) = 1 + x² 4 x³ =0 1³√√.... X-ONS: x=0 (AA). [-1;0] intervall : [-^;^]. = 0 = 1/₁ | f(x) = x³ dx | = [×]₂=1.0 - (- (-1) ") | [ 4×4 = -0,25= 0,25 1A21= } \f(x)= x² d× \ | =\_\[& ×*] | = 1 ÷ · 1* - (4 ·(0ª)) | = 0,25 [0,1] 0 Agesamt = A₁ + A₂ = 0₁5 FE Flächeninhalt zwischen zwei Graphen: 1. Funktionen f(x)=2x² g(x)=x²-3x F(x) = ²1/32 x ³² G(x) = 4×* - 3x² Ill. Differenzenfunktion bilden: a=f(x) = g(x) → 2x²(x³ -3x) = 2x² x3+3x = -X -x³+2x²+3x IIII. Stammfunktion von d bilden: d= -x³ + 2x² +3 x. 3 - 4 × ² + 2² x ²³ + 2 x ² Skizze: 7 beispiel ! : 1. Funktionen f(x)=x²-2x+2 11. Schnittstellen berechnen: x²-2x+2=-x² + 4x + 2 | +x² .1-4x 1-2 x₂ = 2x² - 6x = 0. 1pq-Formel 1:2 x2 - 3x = 0 X₁₁2 ² + 3³² ± √(-21) ²³ +0 을 11. Schnittstellen der 2 Graphen. -x³ + 2x² + 3x=0.1 ausklammern. X(-x²+2x+3) = 0 -x² + 2x +3 = 0 1·(-1). P x²-2x-3¹0. Ipa- Formel X213 A₂- −x³ +3× ax ³ f(x)-9(x) dx = ³ 0 Agesamt = |A₁| + A₂ 0,58 +11,25 = 11,83 = 3. X2,3 Es gibt einen Tell unter der x-Achse und einen Teil oberhalb der x-Achse → unterhalb : mit Betrag rechnen (→ wird dann positiv) →nachher man muss es zusammen rechnen S g(x) = -x² + 4x +2 Htt. Flächeninhalt berechnen: Differenzenfunktion d Stammfunktion D |A₁ | = | | -1 °_ f(x)- g(x)dx| = | £₁ −³+2ײ + ³x dx| = | [×* + ² ײ + ² × ²7° | - | - 0,58 | x³ 4 x + ²/2 ± √(- \ / ) ² + 3² × = 0 ×2=3 8 1 ± √T=*=-1 X½ 3 • X3 = -1 4 -׳ + 2x² + 3x dx = [+x² + ²/3x³ + ²/2 × ² ] = 1,25 X:=-4 111. Bilden von d d=x²-2x+2- x² + 4x + 2 =x²-x² + 4x-2x+2 +2. = 2x+4 1111. Bilden von D d(x) = 2x+4. D (x) = 를x2 Skizze: + 4x Integral: [0;3] HH. Flächeninhalt berechnen: ³/ (fl×) - 9(x)) d× = ³√ 2× +4 = [ x² + 4×] 3² +4·3= 21-0. - 24 FE 9) 3 Fälle :. 1. Fall positiver Flächeninhalt → A = %₁₂ f(x) dx b 11. Fall: negativer Flächeninhalt → A₂ | 1 f (x) dx | oder 111. Fall positiver + negativer Flacheninhalt → A = : ↳ 1. Nullstellen berechnen von of im Intervall [a; b] 11. Integrale über den Teilintervallen berechnen. III. Man addiert die Beiträge der einzelnen integrale Das bestimmte Integral: % / f(x) dx = 0 11. of f(x) dx = a III. "I fix ax = beispiel: integral: Į A. f(x) dx = 0 Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt 21 vorzeichen: Integrale können negativ sein, Flächeninhalte nicht ↳ 1st das integral negativ, so liegt es unterhalb der x-Achse -9. f(x) dx (vertauschung der integrationsgrenzen) 1 f(x) dx + ][ f(x) dx (intervaluadivitāt) Term multiplizieren √+₁ax+b) ² Flächeninhalt: رام beispiel !: f(x)= 1. (3x+2) 4 1. (3x+2) 4 F(x) = ₁/² · (3x+2)5·3+c A = →x 1] f(x) and + 1"] f(x) dx | / dx 2. innere Ableitung -) S 5 f(x) dx + 1 $ / f(x) dx | a f(x) dx oder A=³√ f(x) dx - kettenregel (Lineare substitution) 1. Aufteilen in innere und äußere Funktion 11. Außere integrieren (aufleiten) & innere erhalten III. Faktor vor Term durch innere Ableitung teilen & das anschließend mir (ax + b)² + C f(x) dx 1. Nullstellen berechnen 11. Integral von Nullstelle zu Nullstelle bilden 111. Beträge der intervalle addieren ( kann nicht negativ sein). K Form: y=mx+C. Form: x² linear (x) A f V K quatratisch (x²) trigometrisch (sin(x)/cos(x)). x³ kubisch x4 polynom >exponential (ex) :steigung m→ zähler: Einheiten vom y-Abschnitt nach.0./v... → Nenner: Einheiten vom x-Abschnitt nach v./1. nach oben verschieben + positive konstante f(x)=x² +c nach unten verschieben: + negative konstante f(x)=x²-c • nach rechts verschieben: f(x) = x² →→ g(x) = (x-e)² • nach links verschieben : f(x)=x² g(x)=(x+0)² - • Strecken (schmaler): a>₁ •• Stauchen (breiter): a<₁ (aber a>0)

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Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x' xh → F(x)= a Das bestimmen von Stammfunktionen: Potenziegel: f(x) = x² → Stammfunktion: F(x) = 1.x8 Funktion f. Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x) = +1 +7 27 NS ES ↓↑ ·t'(x)= NS ↑ - 7x² Hochzahl multipliziert f(x)- 5COS (x) - → Stammfunktion: F(x) = 5 Sin (x). Konstante Faktoren werden beibehalten (Faktorrege!) f(x) = x+ sin(x) →→→ Stammfunktion: F(x) = ² -COS (*) x4 ax= integralrechnung beispiel !!! f(x) = x² 1 r+1 x^ 8 ↳ ale neve Hochzani wird um er nont, dann wird die Potenz mit dem kenweit der neven 2 ·x² +1. Allgemeine Integraischreibweise: beispiel ! : f(x)= xx h+1 F(x) [ 3׳] Stammfunktion = F(x)= 1x³ Flächeninhalt: f(x) = x² F(x) = x³ +5 X = → ) × ² α× - dx [ § × ³ 7 2 2 n+1 ↳bei summen von Funktionen werden stammfunktionen summandenweise bestimmt (summenregel) | Potenzregel + C n+1 Integral [-1; 1.] Konstante c fällt bei der Ableitung weg und somit können wir bei der Aufleitung nicht wissen, welche zani es ist conne variable) 11. Flächeninhalt berechnen: ^|_ f(x)= x² dx = [ ¾×³]´*₁ Intervall [2; 6] mit V2W von + nach - (innere) Extremstelle. von F Maximumstelle : ·1³-· (-1)³ = 3·¼ - 1/2 · (-1) 1- (-1/2) = 1/1/2 -COS (x) aufieiren Intervall: [0;4] F(3)-F(0)=1.45-11.05 = 204,8 Intervalle einsetzen in die stammfunktion und subtrahieren. Lineare Faktorregel | summenregel | substitution f(x)= C. g(x) f(x) = g(x) +h(x) f(x) = g(mx+c) F(x)=G(x) |F(x)= G(x) +H (x) |F(x) = A· G[mxtc) √ f(x) dx = F(b)-F(a) 1. Nullstellen berechnen: (→ gibt es Flächen unterhalb der X-Achse? f(x)=0 (→ Funktion gleich O...

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