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Integral Fun Made Easy: Calculators and Tips for Finding Areas!

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Leonie M.

27.5.2022

Mathe

stammfunktionen, Integralrechnung und Flächeninhalt

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

Stammfunktion wurzel x

9.173

•

27. Mai 2022

•

4 Seiten

Integral Fun Made Easy: Calculators and Tips for Finding Areas!

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Leonie M.

@male1305

Die Integralrechnung und Stammfunktionen - Ein umfassender Leitfaden für die... Mehr anzeigen

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Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

Flächenberechnung mit Integralen

Die zweite Seite vertieft das Thema Flächenberechnung mit Integralen und zeigt komplexere Anwendungen der Integralrechnung.

Ein detailliertes Beispiel demonstriert die Berechnung des Flächeninhalts für die Funktion f(x) = x³ im Intervall [-1, 1]. Dabei wird die Bedeutung von Nullstellen und die Notwendigkeit, das Integral in Teilintervalle aufzuteilen, hervorgehoben.

Beispiel: Für f(x) = x³ im Intervall [-1, 1] wird der Gesamtflächeninhalt durch Addition der Beträge der Teilflächen berechnet: A_gesamt = |A₁| + |A₂| = 0,5 FE

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen. Hierfür wird ein schrittweises Vorgehen vorgestellt:

  1. Funktionen definieren
  2. Schnittstellen berechnen
  3. Differenzenfunktion bilden
  4. Stammfunktion der Differenzenfunktion bestimmen
  5. Flächeninhalt berechnen

Highlight: Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen ist es wichtig, die Vorzeichen der Teilflächen zu beachten und gegebenenfalls Beträge zu verwenden.

Die Seite schließt mit einem ausführlichen Beispiel zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen den Funktionen f(x) = x² - 2x + 2 und g(x) = -x² + 4x + 2 im Intervall [0, 3].

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

Fortgeschrittene Konzepte der Integralrechnung

Die dritte Seite behandelt fortgeschrittene Konzepte der Integralrechnung und den Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt.

Es werden drei Fälle für die Berechnung von Flächeninhalten unterschieden:

  1. Positiver Flächeninhalt
  2. Negativer Flächeninhalt
  3. Positiver und negativer Flächeninhalt

Definition: Das bestimmte Integral ist definiert als ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Die Intervalladitivität von Integralen wird erklärt, die besagt, dass ein Integral über ein Intervall in Teilintegrale zerlegt werden kann.

Highlight: Der Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt liegt darin, dass Integrale negativ sein können, Flächeninhalte jedoch nicht.

Die Seite endet mit einer Erklärung der Kettenregel (lineare Substitution) für die Integration, die in drei Schritten durchgeführt wird:

  1. Aufteilen in innere und äußere Funktion
  2. Äußere Funktion integrieren und innere erhalten
  3. Faktor vor dem Term durch die Ableitung der inneren Funktion teilen

Diese fortgeschrittenen Konzepte ermöglichen es, komplexere Integralrechnung Flächeninhalt Aufgaben zu lösen und ein tieferes Verständnis für die Zusammenhänge in der Integralrechnung zu entwickeln.

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

Besondere Integrationsfälle

Der Unterschied Integral und Flächeninhalt zeigt sich besonders bei der Vorzeichenbetrachtung.

Definition: Während Integrale negative Werte annehmen können, sind Flächeninhalte stets positiv.

Example: Bei f(x) = 1/4(3x+2) muss zwischen orientiertem und absolutem Flächeninhalt unterschieden werden.

Highlight: Die Kettenregel bei der Integration erfordert die Aufspaltung in innere und äußere Funktion.

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

Stammfunktionen und Grundlagen der Integralrechnung

Die erste Seite führt in die Grundlagen der Integralrechnung ein und erklärt, wie man Stammfunktionen bildet. Dabei werden wichtige Regeln und Konzepte vorgestellt.

Definition: Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt.

Die Potenzregel der Integralrechnung wird ausführlich erklärt und mit Beispielen veranschaulicht. Sie besagt, dass bei der Integration einer Potenzfunktion der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert wird.

Beispiel: Für f(x) = x² ist die Stammfunktion F(x) = 1/3 x³

Weitere wichtige Integral Regeln werden vorgestellt:

  • Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben bei der Integration erhalten
  • Summenregel: Bei Summen von Funktionen werden die Stammfunktionen summandenweise bestimmt

Highlight: Bei der Bildung von Stammfunktionen wird eine Konstante C hinzugefügt, da diese bei der Ableitung wegfällt.

Die Seite endet mit einer Tabelle besonderer Aufleitungen, die häufig verwendete Funktionen und ihre Stammfunktionen zeigt.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Leonie M.

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Die Integralrechnung und Stammfunktionen - Ein umfassender Leitfaden für die mathematische Analysis

• Die Stammfunktion ist ein fundamentales Konzept der Integralrechnung, das die Grundlage für die Berechnung von Flächeninhalten bildet.

• Die wichtigsten Integral Regelnumfassen die Potenzregel, Faktorregel... Mehr anzeigen

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

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Flächenberechnung mit Integralen

Die zweite Seite vertieft das Thema Flächenberechnung mit Integralen und zeigt komplexere Anwendungen der Integralrechnung.

Ein detailliertes Beispiel demonstriert die Berechnung des Flächeninhalts für die Funktion f(x) = x³ im Intervall [-1, 1]. Dabei wird die Bedeutung von Nullstellen und die Notwendigkeit, das Integral in Teilintervalle aufzuteilen, hervorgehoben.

Beispiel: Für f(x) = x³ im Intervall [-1, 1] wird der Gesamtflächeninhalt durch Addition der Beträge der Teilflächen berechnet: A_gesamt = |A₁| + |A₂| = 0,5 FE

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen. Hierfür wird ein schrittweises Vorgehen vorgestellt:

  1. Funktionen definieren
  2. Schnittstellen berechnen
  3. Differenzenfunktion bilden
  4. Stammfunktion der Differenzenfunktion bestimmen
  5. Flächeninhalt berechnen

Highlight: Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen ist es wichtig, die Vorzeichen der Teilflächen zu beachten und gegebenenfalls Beträge zu verwenden.

Die Seite schließt mit einem ausführlichen Beispiel zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen den Funktionen f(x) = x² - 2x + 2 und g(x) = -x² + 4x + 2 im Intervall [0, 3].

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS

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Fortgeschrittene Konzepte der Integralrechnung

Die dritte Seite behandelt fortgeschrittene Konzepte der Integralrechnung und den Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt.

Es werden drei Fälle für die Berechnung von Flächeninhalten unterschieden:

  1. Positiver Flächeninhalt
  2. Negativer Flächeninhalt
  3. Positiver und negativer Flächeninhalt

Definition: Das bestimmte Integral ist definiert als ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Die Intervalladitivität von Integralen wird erklärt, die besagt, dass ein Integral über ein Intervall in Teilintegrale zerlegt werden kann.

Highlight: Der Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt liegt darin, dass Integrale negativ sein können, Flächeninhalte jedoch nicht.

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  1. Aufteilen in innere und äußere Funktion
  2. Äußere Funktion integrieren und innere erhalten
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Stammfunktionen und Grundlagen der Integralrechnung

Die erste Seite führt in die Grundlagen der Integralrechnung ein und erklärt, wie man Stammfunktionen bildet. Dabei werden wichtige Regeln und Konzepte vorgestellt.

Definition: Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt.

Die Potenzregel der Integralrechnung wird ausführlich erklärt und mit Beispielen veranschaulicht. Sie besagt, dass bei der Integration einer Potenzfunktion der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert wird.

Beispiel: Für f(x) = x² ist die Stammfunktion F(x) = 1/3 x³

Weitere wichtige Integral Regeln werden vorgestellt:

  • Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben bei der Integration erhalten
  • Summenregel: Bei Summen von Funktionen werden die Stammfunktionen summandenweise bestimmt

Highlight: Bei der Bildung von Stammfunktionen wird eine Konstante C hinzugefügt, da diese bei der Ableitung wegfällt.

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Julia S

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