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1
Joslin
14.12.2025
Mathe
Stochastik
7.947
•
14. Dez. 2025
•
Joslin
@joslin_nle
Die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Stochastik verstehenist ein grundlegendes... Mehr anzeigen
Die stochastische Unabhängigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht davon abhängt, ob A eingetreten ist oder nicht.
Definition: Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn P_B(A) = P(A) und P_A(B) = P(B).
Für stochastisch unabhängige Ereignisse gilt außerdem:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Example: Beim Werfen zweier Würfel sind die Ereignisse "Erster Würfel zeigt eine 4" und "Zweiter Würfel zeigt eine 2" stochastisch unabhängig.
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen: "Treffer" und "kein Treffer". Die Bernoulli Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern bei mehrfacher Wiederholung eines Bernoulli-Experiments:
P = (n k) · p^k · ^
Vocabulary: Der Binomialkoeffizient (n k) gibt die Anzahl der möglichen Wege an, k Treffer aus n Versuchen zu erhalten.
Die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment sind:
Eine Zufallsgröße X ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der Mittelwert der Ergebnisse bei mehreren Durchführungen des Experiments. Er berechnet sich wie folgt:
E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... + xn · P
Highlight: Der Erwartungswert gibt den langfristig zu erwartenden Durchschnitt der Zufallsgröße an.
Example: Bei einem Glücksspiel mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P = 0,3, P = 0,3, P = 0,2, P = 0,2 beträgt der Erwartungswert E(X) = 2,3.
Die Standardabweichung und die Varianz sind Maße für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
Die Varianz V(X) einer Zufallsgröße X berechnet sich wie folgt:
V(X) = ² · P + ² · P + ... + ² · P
Dabei ist μ = E(X) der Erwartungswert von X.
Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel aus der Varianz:
σ(X) = √V(X)
Definition: Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.
Beide Kenngrößen, Varianz und Standardabweichung, sind wichtige Instrumente zur Beschreibung der Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und finden in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Anwendung.
Die fünfte Seite führt das Konzept der Zufallsgröße und des Erwartungswerts ein. Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu.
Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem möglichen Wert x die Wahrscheinlichkeit P zu.
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße wird als gewichteter Mittelwert der möglichen Werte definiert:
Formel: E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... + xn · P
Highlight: Der Erwartungswert gibt den langfristig zu erwartenden Durchschnitt der Zufallsgröße an.
Ein Beispiel für ein Glücksspiel wird präsentiert, um zu zeigen, wie man den Erwartungswert berechnet und interpretiert. Es wird erklärt, dass ein Glücksspiel als fair gilt, wenn der Einsatz genau dem Erwartungswert entspricht.
Die sechste Seite behandelt die Konzepte der Varianz und Standardabweichung. Diese Kenngrößen messen die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
Definition: Die Varianz V(X) einer Zufallsgröße X ist die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert μ = E(X).
Die Formel für die Varianz wird präsentiert:
Formel: V(X) = ² · P + ² · P + ... + ² · P
Highlight: Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel aus der Varianz: σ(X) = √V(X)
Es wird betont, dass sowohl Varianz als auch Standardabweichung ein Maß für die Streuung der Verteilung um ihren Erwartungswert sind. Diese Kenngrößen sind besonders wichtig, um die Zuverlässigkeit von Vorhersagen und die Stabilität von Zufallsprozessen zu beurteilen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein fundamentales Konzept in der Stochastik. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist.
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel lautet:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Diese Formel kann auch als P_B(A) geschrieben werden.
Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist.
Es gibt verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
Highlight: Baumdiagramme und Vierfeldertafeln sind nützliche Werkzeuge zur Visualisierung und Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten.
In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste multipliziert, während in einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten in den entsprechenden Feldern abgelesen werden können.
Example: In einer Urne befinden sich 5 rote und 4 orangene Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel rot ist, wenn die erste Kugel orange war, beträgt P_B(A) = 5/8 = 62,5%.
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Joslin
@joslin_nle
Die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Stochastik verstehen ist ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.
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Die stochastische Unabhängigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht davon abhängt, ob A eingetreten ist oder nicht.
Definition: Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn P_B(A) = P(A) und P_A(B) = P(B).
Für stochastisch unabhängige Ereignisse gilt außerdem:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Example: Beim Werfen zweier Würfel sind die Ereignisse "Erster Würfel zeigt eine 4" und "Zweiter Würfel zeigt eine 2" stochastisch unabhängig.
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen: "Treffer" und "kein Treffer". Die Bernoulli Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern bei mehrfacher Wiederholung eines Bernoulli-Experiments:
P = (n k) · p^k · ^
Vocabulary: Der Binomialkoeffizient (n k) gibt die Anzahl der möglichen Wege an, k Treffer aus n Versuchen zu erhalten.
Die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment sind:
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Eine Zufallsgröße X ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der Mittelwert der Ergebnisse bei mehreren Durchführungen des Experiments. Er berechnet sich wie folgt:
E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... + xn · P
Highlight: Der Erwartungswert gibt den langfristig zu erwartenden Durchschnitt der Zufallsgröße an.
Example: Bei einem Glücksspiel mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P = 0,3, P = 0,3, P = 0,2, P = 0,2 beträgt der Erwartungswert E(X) = 2,3.
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Die Standardabweichung und die Varianz sind Maße für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
Die Varianz V(X) einer Zufallsgröße X berechnet sich wie folgt:
V(X) = ² · P + ² · P + ... + ² · P
Dabei ist μ = E(X) der Erwartungswert von X.
Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel aus der Varianz:
σ(X) = √V(X)
Definition: Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.
Beide Kenngrößen, Varianz und Standardabweichung, sind wichtige Instrumente zur Beschreibung der Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und finden in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Anwendung.
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Die fünfte Seite führt das Konzept der Zufallsgröße und des Erwartungswerts ein. Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu.
Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem möglichen Wert x die Wahrscheinlichkeit P zu.
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße wird als gewichteter Mittelwert der möglichen Werte definiert:
Formel: E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... + xn · P
Highlight: Der Erwartungswert gibt den langfristig zu erwartenden Durchschnitt der Zufallsgröße an.
Ein Beispiel für ein Glücksspiel wird präsentiert, um zu zeigen, wie man den Erwartungswert berechnet und interpretiert. Es wird erklärt, dass ein Glücksspiel als fair gilt, wenn der Einsatz genau dem Erwartungswert entspricht.
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Die sechste Seite behandelt die Konzepte der Varianz und Standardabweichung. Diese Kenngrößen messen die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
Definition: Die Varianz V(X) einer Zufallsgröße X ist die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert μ = E(X).
Die Formel für die Varianz wird präsentiert:
Formel: V(X) = ² · P + ² · P + ... + ² · P
Highlight: Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel aus der Varianz: σ(X) = √V(X)
Es wird betont, dass sowohl Varianz als auch Standardabweichung ein Maß für die Streuung der Verteilung um ihren Erwartungswert sind. Diese Kenngrößen sind besonders wichtig, um die Zuverlässigkeit von Vorhersagen und die Stabilität von Zufallsprozessen zu beurteilen.
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein fundamentales Konzept in der Stochastik. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist.
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel lautet:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Diese Formel kann auch als P_B(A) geschrieben werden.
Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist.
Es gibt verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
Highlight: Baumdiagramme und Vierfeldertafeln sind nützliche Werkzeuge zur Visualisierung und Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten.
In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste multipliziert, während in einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten in den entsprechenden Feldern abgelesen werden können.
Example: In einer Urne befinden sich 5 rote und 4 orangene Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel rot ist, wenn die erste Kugel orange war, beträgt P_B(A) = 5/8 = 62,5%.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Binomialverteilung, Bernoulli-Experimente, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Sie erklärt die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilung, stochastische Unabhängigkeit und die Anwendung von Urnenmodellen. Ideal für Schüler der Oberstufe zur Vorbereitung auf das Mathe-Abitur in Stochastik.
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich der Konzepte von absoluter und relativer Häufigkeit, dem empirischen Gesetz der großen Zahlen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Rechenregeln, Bernoulli-Versuchen und der Binomialverteilung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Begriffe wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, sowie praktische Anwendungen in der Stochastik. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
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Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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