Ableitung und Tangente
Die Tangente ist ein zentrales Konzept in der Differentialrechnung. Sie wird definiert als eine Gerade, die den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P berührt und die Steigung f'a an diesem Punkt hat.
Definition: Eine Tangente an den Graphen von f im Punkt Pa∣f(a) ist diejenige Gerade, die den Punkt P enthält und die Steigung f'a hat.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
y = f'ax−a + fa
Diese Formel ist grundlegend für das Tangente berechnen mit Punkt.
Die Zusammenfassung behandelt verschiedene Aufgabentypen:
- Grafisches Ableiten
- Näherungsweise Bestimmung der Tangentengleichung
- Berechnung der Tangentengleichung
Beispiel: Für eine Funktion f mit f3 = 5 und f'3 = -1 lautet die Tangentengleichung: y = -x−3 + 5
Wichtige Ableitungsregeln werden vorgestellt:
- Potenzregel
- Faktorregel
- Summenregel
- Produktregel
Highlight: Die Produktregel besagt: Für fx = ux · vx gilt f'x = u'x · vx + ux · v'x
Ein besonderer Fokus liegt auf der Verkettung von Funktionen. Bei einer linearen Verkettung fx = uv(x) gilt die Kettenregel:
f'x = u'v(x) · v'x
Beispiel: Für fx = 7−2x³ mit ux = x³ und vx = 7-2x gilt f'x = 37−2x² · −2
Die Normale wird als Gerade definiert, die senkrecht zur Tangente steht. Ihre Gleichung lautet:
y = -1/f'a · x−a + fa
Abschließend wird das schrittweise Vorgehen zum Tangente berechnen mit Punkt anhand eines konkreten Beispiels erläutert:
- Funktionswert berechnen
- Ableitungsfunktion bestimmen
- Steigung der Tangente im Punkt berechnen
- In die allgemeine Tangentengleichung einsetzen und umformen
Diese detaillierte Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Tangente Funktion und verwandte Konzepte, die für das Verständnis der Differentialrechnung unerlässlich sind.
