Abiturvorbereitung

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Normalform. Alle Lagebeziehungen Punkt, Geraden und Ebenen. Lagebeziehung Punkt auf Ebene: . Lagebeziehung Gearde/Gerade.. Lagebeziehung Gerade/Ebene. Lagebeziehung E/E. Schnelle Lagetest mithilfe von n-Vektor: . Skalarprodukt. Vektor(kreuz) Produkt Winkel zwischen E/E, E/G, G/G Abstandsberechnungen.... kürzeste Abstandes Punkt/ Ebene.. Kürzeste Abstand Gerade/ Punkt....... Abstand zweier Windschiefe Gerade. Flächen- und Volumenberechnung. Parallelogramm (Betrag des Normalenvektors), Dreieck (Vektorprodukt)... Determinante (Spaltprodukt, Spat Volum/ Parallelogramm Inhalt/ KoF). Stochastik: Grundlagen.....…... LAPLACE-Experiment und Wahrscheinlichkeiten Mehrstufige Zufallsexperiment / Pfadregel Ergebnis & Ergebnismenge, Ereignis, Gegenereignis. Summenregel:. bedingte Wahrscheinlichkeit.. Vierfeldertafel 18 18 18 19 19 21 22 22 22 23 24 25 25 25 26 26 27 28 28 29 30 30 30 30 31 31 31 33 33 33 33 33 33 34 3 Abitur 2021 Unabhängigkeit von Ereignissen Binomialverteilung Bernoulli-Experiment (Versuch), allg. Formel: Bernoulli-Ketten... Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Erwartungswert I:... Wahrscheinlichkeitsverteilung. Varianz (Nicht Klausurrelevant, wurde aber in AB erwähnt) Erwartungswert II. Standardabweichung I.. Sigma-Regeln....... Einseitiger Hypothesentest Fehler 1.Art.. Fehler 2.Art:... Zweiseitiger Hypothesetest.. Stetige Zufallsgrößen: Normalenverteilung Gaußscher Normalverteilung (Glockenkurve). Intervallwahrscheinlichkeit Erwartungswert III und Standardabweichung II.. 34 35 35 35 37 37 37 37 37 37 38 39 39 40 41 41 41 41 4 Abitur 2021 Analysis: Grundlagen Ableitung Ableitungsregeln Funktion f(x) k g(x) + h(x) k· g(x) g(x) h(x) xn u(v(x)) g(x) h(x) Beispiele Funktion f(x) x x² 1 Intervallschreibweise (a, b) [a, b] [a, b) (a, b] (a, ∞0) sin (x) cos(x) ex a* In(x) [a, ∞0) X √x alternative Schreibweise Schreibweise Mengenschreibweise {x\a<x<b} {x|a≤x≤b} geschlossen (-∞0, b) (-00, b) (-00,00) Ja, b[ [a, b] [a, b[ la, b] Ja, ∞o[ [a, co[ J-00, b[ ]-00, b] 1-00, co[ Ableitung f'(x) 0 g'(x) + h' (x) k g'(x) g(x) h' (x) + g'(x) · h(x) n.xn-1 u'(v(x)). v'(x) h(x) · g'(x) g(x). h'(x) (h(x))² Ableitung f'(x) 1 2x 1 {x|a<x<b} {x|a≤x} {x\x<b} R x² 1 2√x cos(x) - sin(x) ex In(a). a* 1 X {x\x≤b} Typ {x\a<x<b} halb-offen {x\a<x} offen halb-offen offen geschlossen offen geschlossen sowohl offen als auch geschlossen Regel Konstantenregel Summenregel Faktorregel Produktregel Potenzregel Kettenregel Quotientenregel Ergänzung Bild ⇒x-¹,-1x-²2 Mehr als x: Kettenregel! 5 Abitur 2021 Grad einer Funktion =höchster Exponent dieser Funktion Quadratische Funktionen Darstellungsformen Normalform f(x) = mx + b Scheitelpunktform pq-Formel f(x)= a(x - d)² + e Faktorisierte Form Voraussetzung: Die quadratische Funktion muss mindestens eine Nullstelle besitzen. f(x) = a(x-x₁)(x − x₂) x² + px +q Nullstelle: x₁,2 = -√√(² – - q Binomische Formeln :D :D :D 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b) (a - b) = a² - b² 6 Abitur 2021 Ganzrationale Funktionen und e-Funktionen Elementare reelle Funktionen und Funktionstypen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen f: R → R,x → f: R→ R,x→anxn + an-1xn-1 +...+ a₁x + amit an und bn... ER, n, m EN Gebrochenrationale Funktionen Potenzfunktion: Wurzelfunktion e-funktion Exponentialfunktion f: R → R,x → mx + t anxn + an-1xn-1 + ... + a₁x + ao bmxm + bm-1xm-1 + ... + b₁x + bo Logarithmusfunktion Euler'sche Zahl: f:R → R,x→ax² + bx+c Trigonometrische Funktionen f: R → R,xxn mit ne N (Alternativ x → f: R→ R,x→x" mit n E Z 1 mit an ... und bn ... ER, n, m E N f: R→ R+,x → a* mit a € R+ f:R → R+,x → ex f: R+ → R,x → loga x mit a € R+{1} f: R→ R,x→a sin(b.x) + c f: R → R,x→a · cos(b.x) + c sin(b.x) cos(b.x) f: R→ R,x→a. e = lim (1 + =)" n→∞0 + c "√x) 7 Abitur 2021 Exponentialfunktion bx Ausgangsbestand Wachstumsfaktor Bei b> 1 exponentielle Zunahme und b < 1 exponentielle Abnahme Wachstums- und Zerfallsprozesse: f2(x)=ex e-Funktion und natürlicher Logarithmus Eigenschaften: f(x) = Logarithmenregel: WICHTIG!! f1(x)=ln(x) f: R→ R+,x→ e* e* 0 f: R+ → R,x → ln(x) ↔ ƒ(x) nur für x > 0 definiert lim e* = ∞o, lim e* = 0, lim ln(x) = -∞, lim In(x) = ∞, n→∞ 1118 n→∞0 In (1) = 0, N(t) = Noek eº = 1, In(1) = 0, ln(e) = 1 e²x = (ex)² f(x)= a. b* a.eln(b*) ex = y⇒ x = ln(y) In(e) = 1, In(u v) In u In(ex) = x, In(u) + In(v) = In(u) - In(v) In(uk) = =k. In (u) eln(x) = x Substitutionsregel Wenn in einer Gleichung zwei oder mehr e-Funktionen vorkommen muss die e-Funktion erst substituiert werden! ek.x = z und z wie x auflösen, danach z mit Lösung nach x auflösen 8 Abitur 2021 Vollständige Kurvendiskussion Definitionsbereich, Wertebereich Definitionsbereich: Bereich von X-Werten: Welche Werte kann X einnehmen? Wertebereich: Bereich von Y-Werten: Welche Werte kann Y einnehmen? Beispiele einige Wertebereiche: R, R*0, R\{0}, R2⁰, R<⁰... Ableitungen Bei Funktionsuntersuchungen immer erste, zweite und dritte Ableitung builden: f'(x), ƒ''(x), ƒ'''(x) dabei Ableitungsregeln beachten Extrempunkte (Lokales Maximum/Minimum, Globales Maximum/ Minimum) Die maximale Anzahl der Extremstellen einer Funktion = Grad der Funktion -1 z.B ax²+bx²+cx+d, Grad =3 -> Anzahl der maximalen Extremstellen =3-1=2 Vorgehen: (Lokales Maximum/Minimum) f'(x) = 0 Setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung) f"(Ergebnis) > 0 => Tiefpunkt (Hinreichende Bedingung) f"(Ergebnis) < 0 => Hochpunkt (Hinreichende Bedingung) f"(Ergebnis) = 0 => Vorzeichenwechselkritierium, bei keinem VZW Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente) Bei gegebenem Intervall: Randwertuntersuchung: Intervallgrenzen in f einsetzen und vergleichen => Wenn größer/kleiner als lokales Maximum/Minimum => Globales Maximum/Minimum Achsenabschnitte (Nullstelle, y-Achsenabschnitt) Stelle, wo sich die Funktion gleich null ist. (x-Achse Abschnitt) Die maximale Anzahl der Nullstellen einer Funktion = Grad der Funktion z.B ax²+bx+c, Grad = 2 -> Anzahl der maximalen Nullstellen =2 Allgemein gilt: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung) Wendestelle, Krümmung, Monotonie Stelle, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f Die maximale Anzahl der Wendestellen einer Funktion = Grad der Funktion -2 z.B ax²+bx+c, Grad = 2 -> Anzahl der maximalen Wendestellen =2-2=0 Vorgehen: (Wendepunkt) f"(x) = 0 setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung) f" (Ergebnis) = 0 und f"" (Ergebnis) + 0 => Wendestelle (HB) f" (Ergebnis) = 0 und f"" (Ergebnis) = 0 => VZW f" (Ergebnis) (HB) 9 Abitur 2021 Falls f" (Ergebnis) = 0 und f" (Ergebnis) an der Stelle einen VZW hat=> Wendestelle. XErgibnis in f(x) einsetzen um y-Koordinate von Wendepunkt zu berechnen Grenzverhalten (Limes) und Asymptoten Annährungswert der Funktion in Unendlich/ gegen eine Zahl Symmetrie Häufige Untersuchung: lim f(x), lim f(x), lim f(x), X→∞0 X-8 Merke: lim xgerade +00 x→+∞0⁰ lim xungerade → +∞ x→+∞ 1 lim → 0 x→+∞ X Für das Verhalten gegen Unendlich bei ganzrationalen Funktionen entscheidend ist die höchste Potenz und das Vorzeichen bei der höchsten Potenz. Typen von Asymptoten lim e* 0, lim e* → ∞ X→→∞ x →∞0 Senkrechte Asymptote Waagrechte Asymptote Schiefe Asymptote Asymptotische Kurve Kommen in der Funktion nur gerade Exponenten vor, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse Ortskurve: Kommen in der Funktion nur ungerade Exponenten vor, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Eine Funktion f(x) ist zu einer zweiten Funktion g(x) achsensymmetrisch bzgl. der x-Achse, wenn gilt: f(x)=-g(x) Funktionsscharen und Ortskurven Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einem Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswert fa(x) zugeordnet. Die Funktionen fa bilden eine Funktionsschar Für die Berechnung der Extreme/Wende/Nullpunkte oder Ableitung/Aufleitungen werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl (Konstante) behandelt. Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. 10 Abitur 2021 TL;DR Berechnung Ortskurve: Vorgehen 1. X-Koordinate des HP/TP/WP nach den Parameter umformen: z.B x = 5a → a= 2. Term in y-Koordinate des HP/TP/WP einsetzen: z.B y = -2a² y = -2 −² (²³) ² = -2 (²) ² somit liegt alle HP/TP/WP auf dem Graphen der Funktion g mit g(x) = -2 Nullstellen f(x) = 0 Achsen- symmetrie f(x) = f(-x) AiA A NPunkt- Nf(x) = -f(-x) symmetrie für x₁x₂ gilt f(x₂) > f(x₂) für x₁x₂ gilt f(x₂) < f(x₂) Beispiel Kurvendiskussion: Symmetrie Ableitungen: f(x)=1-3a²x² f(x)=-6a²x "(x)=-6a² Nullstellen: Monotonie Eigenschaften zur Untersuchung von Funktionen und Graphen Lösung zu a: Symmetrie: Da die Variable x nur mit ungeraden Ex- ponenten auftritt, sind alle arkurven punktsymmetrisch zum Ursprung. f(x)=x-a²x³=0 ⇒x-(1-a²x²)=0 ⇒x=0 oder a²x² = 1 ⇒XN1=0. XN2=1, XN3 = --! Wendepunkte: f(x)=-6a²x=0⇒x=0 Wegen f (0)=-6a² #0 hat jede Schar- kurve bei x = 0 einen Wendepunkt. Lösung zu b: Ortskurve Die Hochpunkte haben für jede positive reelle Zahl a den x-Wert√3 und den y-Wert 2√3. Löst man die Gleichung für den x-Wert, also die Gleichung x = √3. nach a auf, so erhält man a=3√3. Setzt man dieses in die Gleichung y=3√3 ein, so erhält man die lineare Funktionsglei- chung y=x. Extrempunkte Beispiel: Gegeben sei die Kurvenschar f(x)=x-a²x³ (a>0). a) Führen Sie eine Kurvendiskussion von f, durch. b) Auf welcher Kurve liegen alle Hochpunkte der Funktionenschar? Auf der zugehörigen Geraden liegen also die Hochpunkte der Kurvenschar. Krümmungs- verhalten Diese Kurve wird als Ortskurve (Orts- ►linie) der Hochpunkte bezeichnet. Wendepunkte Flächeninhalte ^ • Šilkleixi Extrema: f(x)-0 und f(x)=0 Linkskurve U. f(x) > 0+ ܕ= ܐܕ ܝ f(x)=0 und VZW bei f'(x) Rechtskurve f(x) <0 10 f"(x) = 0 und f(x) 0 f(x)=1-3a²x²=0 f(x)-0 und VZW bei f(x) ⇒ x = ± √3 ⇒ XE =√√3, X2= -√3 f" (XE:) =–2aV340 Maximum f(x2)= 2a√3>0 Minimum ye:= √3(1-2²,2)=√3 2= -√3(1-²)=√3 Hochpunkt: HVV3) Tiefpunkt: T(-√3-√3) 11 Abitur 2021 Zusammenhang von f, f', f" und F (symbolisch und im Sachzusammenhang) - f(x) gibt den ,,y-Wert" an der Stelle x an. - f'(x) gibt die ,,Steigung" an der Stelle x an. (f'(x) > 0 => f(x) ist monoton steigend, f'(x) < 0 => f(x) ist monoton fallend) - f''(x) gibt die ,,Krümmung" an der Stelle x an. (f"(x) > 0 => f(x) ist linksgekrümmt, f"(x) < 0 => f(x) ist rechtsgekrümmt) - F(x) gibt der ,,Flächeninhalt" unter Graph von x an. Stammfunktionen bestimmen und nachweisen Schlüsselkonzept Integral ¹ So f(x) dx Integral von f(x) von a bis b Integrations grenze Aufleitungsregel Grundregel: Obere Grenze Integration durch Substitution Integrations /variable dx* Nintegrand Untere Grenze Stammfunktion: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x EI gilt: F'(x) = f(x) Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c E R, sodass für alle x € I gilt: F(x) = G(x) + c Umkehrrechnung Ableitung (+c) Produktregel (Aufleitung): f(x) = c g(x) → F(x) = c.G(x) Summenregel (Aufleitung): f(x) = g(x) + h(x) → F(x) = G(x) + H (x) Partielle Integration (,,Produktintegration"): Bei Produkt mehrerer Funktionen f f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) − f f(x)g'(x) dx (Herleitung durch Umkehrung Produktregel bei Ableitung) (Garantiert nicht immer für eine Lösung, es vereinfacht nur die Aufleitung.) 1. Schritt: f'(x) und g(x) bestimmen: Wähle so, dass f'(x) gut aufleitbar ist und g(x) gut ableitbar ist. (Wenn es nicht klappt, versuche dann f'(x) und g(x) zu tauschen) 2. (Empfehlung) f(x), f'(x), g(x), g'(x) aufzuschreiben 3. In Formel einsetzen (Etwa wie Umkehrung der Kettenregel bei Ableitung) (b) f(g(x)) · g'(x) dx = fg f(z)dz = F(g(b)) – F(g(a)) mit g(x)=z (+c) ¹ Interessante Info: Die Integralschreibweise wurde von Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1746) eingeführt. S(summa) → S 12 Abitur 2021 Vorgehen: Beispiel S√2+3x² 6x dx (1.Methode) 1. Innere und äußere Funktion bestimmen 6x Hier: g(x) = 2 + 3x² und f(z) = 2. Ableitung von g(x) bilden: Hier: g'(x) = 6x 3. dx nach dz umformen: Hier: 6x = dz dx →dx== 4. in Formel einsetzen (g'(x) hier durch Umformung eingebaut) dz 6x Vorgehen: Beispiel √2+3x² dx (2.Methode, direkter) 1. Innere und äußere Funktion bestimmen Hier: g(x) = 2 + 3x² und f(z) = 2. Funktion direkt nach Ableitung formen: 6x So √2+3x² dx = S₁² √2+3x²6xdx 3. In Formel Einsetzen: Hier: 2+3(2)² 6x = √2+3(0)² √Z 6x In(x) ex 1 Wichtige Stammfunktionen Funktion x k xn kx √√√x St 14 1 · S₂¹ ½dz = [2√z]₂* = (2 · √14) – (2 · √2) ≈ 4.655 1 14 1 Hier: √2+3(0)²2dz = √2₂²¹⁄dz = [2√z]₂¹ = (2 · √14) – (2-√2) ≈ 4.655 Stammfunktion x In(x) x + C ex + C In x + C k x + C 1 1+n 1 -xn+1 + C k.x In(x) 1 =+1 n xn +1 2√x + C Partielle Integration 13 Abitur 2021 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Für eine stetige Funktion f auf dem Intervall [a, b] gilt: f(x) dx = F(b) – F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von f auf [a, b] ist. (c kürzt sich weg) Hauptsatz der Differential- und ladegalrechnung fet) dt = [For] != F(b)-F(a) fee) Bestimmung von SF Vorgehen: Funktion & Stintin fox=x² Foo 300=800+ how 30₁)=(gu) FO)=(. 6₁(x) FOD = Go +H(₂) zu zeigen Foo = 6000 Bsp. I dondex = [Fouw] **"* Xo Hauptsate, der D. Herential- und Intergralrechnung: Beure's $foodx = [Foot₁ = Fib-F(a) Rechenregeln for Integral 10 $ c.foodx = c. 2) $ (gow +houlda Beweis FoU sei die Funktion, die jeder Stelle Xo die Fläche unter dem Graphen 0 und Xo Zuordnet. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen: Feb) - F(a) 2-(-2) 2+2. = $gwax + Shody = F(xoth) - FAX₂2 f06).h< Fixth)-Fook fixth-h floo≤ F'x> <f06) => f(x) = F'(x₂) □/a.e.d. $09.h & F(x+h)-FOS) ≤ f(x, th).h 1:h f(x) & F(x,th) - F(x₂)/(x₂ +h) lim flag <i Fot). FON (fim fgth) Storda for Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse/ zwischen zwei Graphen x-Achse: Funktion oberhalb von x-Achse: A = f f(x) dx x-Achse: Funktion unterhalb von x-Achse: A = | So f(x) dx | Funktion auf beide Seiten mit nullstelle S : A = von mich h. f(x,th) -1806) f(x)dx + | Sº f(x)dx | A 1 = ["F(x) dx - [* g(x) dx = [ * (F(x) = g(x))dx - 1. Nullstelle von f auf Intervall [a, b] bestimmen (Schnittstelle) 2. Untersuchung Vorzeichen f(x) in den Teilbereich 3. Bestimme die Inhalte der Teilflächen und addiert dies 14 Abitur 2021 Zusammengesetzte Funktionen (Differenzierbarkeit) Aus zwei Funktionen f und g kann auf unterschiedliche Arten eine neue Funktion definiert werden: Die Funktionen g und f werden hintereinander ausgeführt. Schreibweise: f(g(x)) (fog)(x) (Verkettung, Kettenregel/ Integration durch Substitution) Die Funktionen f und g können auch durch Rechenoperationen wie Addition, Multiplikation eine neue Funktion definieren (Produkt, Produktregel/ Partielle Integration) Stetigkeit Eine reelle Funktion f heißt an einer Stelle xo aus ihre Definitionsmenge Stetig, wenn lim f(x) = f(xo) x-xo Graphisch Gesehen: Funktion auf ein Intervall stetig, wenn man ohne den Stift abzusetzen die Funktion Zeichnen können. Der Stetigkeitsnachweis an einer Stelle xo ist für eine Funktion f erbracht, wenn gezeigt ist, dass - die linksseitige/rechtsseitige Grenzwert lim f(x) Existiert x→x±0 beide Grenzwerte gleich sind f(xo) Existiert und mit Grenzwert übereinstimmt Eine Funktion heißt stetig auf einem offenen Intervall, wenn f an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Differenzierbarkeit Eine Funktion f heißt differenzierbar an einer Stelle xo aus ihrer Definitionsmenge, wenn der f(x)-f(xo) Grenzwert lim Existiert. (etwa wie Stetigkeit für Ableitung von f?) x-xo x-xo Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient oder 1.Ableitung der Funktion f an der stelle xo (f'(x) oder df) Eine Funktion ist an der Stelle xo differenzierbar, wenn gilt: - die linksseitige/rechtsseitige Differenzenquotient lim beide Grenzwerte gleich sind f ist an der Stelle x Stetig Jede differenzierbare Funktion ist stetig folgt aus der Definition der Differenzierbarket differenzierbar stetig į Nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar z. B.: f(z) (al ist stetig aber nicht differenzierbar f(x)-f(xo) x→x±0 x-xo Existiert 15 Abitur 2021 Mittlere Änderungsrate, Sekantenbestimmung Das Änderungsverhalten eine Funktion f auf einem Intervall I = [xo; xo + h] wird durch den beschrieben. Man kann damit die Steigung der Sekante f(xo+h)-f(xo) Differenzenquotient h (mittlere Änderungsrate) berechnen. (Alternativ ²-¹) X2-X1 f(x₂) f(x1) f(x2)-f(x1) Oder: lim h→0 X1 Die Sekantegleichung bestimmt man dann durch gleichsetzen ein Punkt y = x steigung + c⇒c=y-x steigung Und man bekommt eine lineare Funktion: fsekante (x) = mx + c Momentane Änderungsrate, Tangenten- und Normalenbestimmung momentane Änderungsrate = Ableitung von f an der Stelle xo X2-X1 f(xo+h)-f(xo) h yo Berechnung Tangentengleichung Vorgehen: 1. Ableitung der Funktion f bilden und die Änderung (Steigung) m an der Stelle h berechnen. X2 2. Lineare Funktion mit dem y-wert von h gleichsetzen und konstante berechnen. Und man bekommt die Tangentengleichung: frangente (x) = mx + c Berechnung Normalen Vorgehen: 1. Ableitung der Funktion f bilden und die Änderung (Steigung) m an der Stelle h berechnen. 2. Der negative Kehrwert von der berechneten Steigung m bilden. 3. Lineare Funktion mit negativem Kehrwert als Steigung mit dem y-Wert von h gleichsetzen und konstante berechnen. Und man bekommt die Normalengleichung: fnormalen (x) = - x + c m y₁ f(x)/ Po Xo Tangente Normale 16 Abitur 2021 Monotonieverhalten Monoton steigend, wenn stets gilt: Aus x1 < x2 folgt f(x₁) ≤ f(x₂). (Graphisch: Die Funktion verläuft in dem Abschnitt teils horizontal, teils steigend.) Streng monoton steigend, wenn f(x₁) < f(x₂). (Graphisch: In dem Abschnitt steigt die Funktion durchgehend) Monoton fallend, wenn stets gilt: Aus x1 < x2 folgt f(x₁) = f(x₂). (Graphisch: Die Funktion verläuft in diesem Abschnitt somit teils horizontal, teils fallend.) Streng monoton fallend, wenn f(x₁) > f(x₂). (Graphisch: In diesem Abschnitt fällt die Funktion durchgehend) monoton fallend streng monoton fallend streng monoton wachsend monoton wachsend X Drehkörper (Rotationskörper) Gegeben ist eine Funktion f auf dem Intervall [a, b]. Rotiert die Fläche unter dem Graphen von f über [a, b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Es gilt für die Volum diese Körper: V = π 7 f(f(x))² dx (nr² mit Aufleitung als r) 17 Abitur 2021 Analytische Geometrie Grundlagen: Basiswissen Vektoren Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen. Identität: Vektoren können Unendlich mal Existieren Man nennt den Vektor AB, der im Ursprung beginnt, der Ortsvektor von A Vektoren sind gleich, wenn sie -Gleiche Länge -Gleiche Richtung (z.B. Parallelität) -Gleiche Orientierung haben. Orientierung ist bei Vektoren wichtig! AB + BA Euklidischer Raum: Euklidische Räume existieren in beliebigen Dimensionen n. Axiome und Gesetze: Vektorraumaxiom: Es seien V Ø eine Menge, und K ein Körper. Ferner seien +: V x V → V eine innere Verknupfung in V und : K x V → V eine äußere Verknüpfung von V mit K. VR 0 Zu u, v gibt es w mit w = u + v VR1: Identitätsgesetz R+: a + b = b + a: u + v = v VR2: Assoziativgesetz uvu, ve V. ū = (u + v) + w = + (v + w)v v, w, u € V VR3: Existenz eines neutralen Elements & Erweiterung 0 = BB = AA AB+BB AB AB + BC = AC VR4: Existenz eines inversen Elements a + ā= 0 => a+ā=0 VR5: Multiplikation mit reellen Zahlen u + v = w axb = c VR6: Skalarmultiplikation = (²) ✓ = (²) SK1 Kommunikativgesetz: was wir schon aus der Schule kennen 2ū= v axu=v kxū = (ku₂) = v 18 Abitur 2021 à-b=b.a SK2 Distributivgesetz SK3 Multiplikation mit 0 0xū=0 k(u + v) = kxu + kx v (k+ l) xu = kxu+lxu (kxl) xu = k (lxu) Die Länge (Betrag) eines Vektors: Für die Länge des Vektors à = az = Linearkombination: Für die Abstand gilt dementsprechend 91-P1 PQ = 92-P2), also|PQ| (9₁-P₁)² + (92 - P₂)² + (93-1 P3) ² 93-P3/ Gerade Kollineare Vektoren lal=√a₁² + a₂²+ a3² heißt Linearkombination der Vektoren a₁, az,.., an, wen gilt: = k₁a₁ + k₂ · α₂+...+kn an ● Eine Linearkombination von Vektoren ist also eine Summe von Vielfachen dieser Vektoren. Bei Ein Vektor ist seine Linearkombinationen alle seine Vielfachen, das heißt, alle zu ihn kollinearen Vektoren. (a + 0) .Oã -1,5a Beispiel:ā = ,b= OA(auch Betrag des Vektors) gilt nach Pythagoras: 0,5a Linearkombinationen von à 3(u + v) = 3 xu + 3 x v 1,25a = k₁a₁ +k₂. az -2a Zwei Vektoren spannen eine Ebene auf, wenn sie nicht kollinear sind. Weitere Vektoren können dann durch die beiden Vektoren erzeugen. (¹) Offenbar:ā k. b ER k kann man durch eine Gleichungssystem finden. 19 Abitur 2021 ● ● 5 = k₁ 2+k₂ * 1 -5 = k₁-3+k₂.1 3= k₁ 1+k₂.1 Drei nicht Komplanare Vektoren heißen Dreibein. Mit einem Dreibein lässt sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als Linearkombination darstellen. Vier Vektoren a, b, c, d im Raum sind immer linear abhängig, sie müssen aber nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen, also komplanar sein. 2. Definitionen und Bemerkungen (1) Die Vektoren a₁, a2, ..., an, n= sind linear unabhängig genau dann, wenn die ⇒ GTR!!! Gleichung a₁ +₂·a2+...+2·an = 0 ,ne, nur für 2₁ 2₂ = ... = 2₁ = 0 erfüllbar ist. (2) Die Vektoren a₁, a2, ..., an, ne sind linear abhängig genau dann, wenn die → (3.2) → Gleichung a₁ + ₂a2+...+an=0,ne, erfüllbar ist mit wenigstens einem 20, ke {1,...,n}. (3.1) Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie kollinear sind. Drei Vektoren a, b, c sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind, d. h. wenn die Gleichung -a +μ·b+v.c=0 (mindestens) eine Lösung mit (2|u|v) (0|0|0) besitzt. Zusammenfassung (Bild) 318 near whangle de b V 20 Abitur 2021 Geraden im Raum Betrachtet man eine Gerade im Raum, so kann sie festgelegt werden durch -einen Punkt A und einen Vektor, den sogenannten ,,Stützvektor". -durch zwei Punkte P und Q (durch die die Raumgerade verläuft). Parameterform: Parametergleichung: ² = (;) . (1) ₁ x * h t Hierbei ist p der sog. ,,Aufhängepunkt" oder p der sog. ,,Stützvektor". und m der sog. ,,Richtungsvektor" der Geraden g. t ist der sog. „,,Parameter" (daher auch ,,Parameterform"). Satz 4: Parameterdarstellung einer Geraden Eine Gerade gehe durch den Punkt A und habe die Richtung des Vektors v g: x = p+m ** Bzw. Für jeden Punkt X der Ge- raden gilt: OX=OA+t.V mit einer Zahl t € IR. Und umgekehrt: Setzt man für t irgendeine Zahl ein, er- gibt sich der Ortsvektor ei- nes Geradenpunktes. Stütz- vektor der Geraden Richtungs- vektor der Geraden O 21 Abitur 2021 Darstellungsformen von Ebenen Festlegungsmöglichkeiten von Ebenen 1. Ein Punkt A und zwei nicht parallele Spannvektoren 2. Drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsame geraden liegen 3. Eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt E: x = OA +1*ug + m * * 4. Zwei Geraden g, die sich in einem Punkt s schneiden 5. Zwei echt Parallele geraden Ebene kann durch Vektoren angegeben werden. Dazu benötigt man: -Ein Anfangspunkt A -Ein Stützvektor a = OA, der den Anfangspunkt stützt -Zwei nicht Kollineare Spannvektoren u und , die eine Ebene aufspannt. Koordinatenform einer Ebene (KOF) E:x=OS +1*ug + m * Un E: x = OPg + 1* ug + m * PGPh Man beschreibt ein Punkt auf dieser Ebene durch einen Vektorzug: OX = X = OA + l*u+m*v l₁m € R Damit bekommt man auch die Parameterform (Parametergleichung) einer Ebene E: x = ả+l *ủ +m Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + N3x3 = k Die Koordinatenform der Ebene besitzt folgende Vorteile: Ap 1. Um punkt auf eine Ebene zu bestimmen: Liegt Punkt P auf die Ebene? -> Einsetzen! P(a, b, c) in x₁, x2, X3 einsetzen. Wenn das Ergebnis gleich 0, dann auf die Ebene. Wenn nicht, dann nicht auf die Ebene. 2. Spurpunkte ablesbar: a. Schnittpunkt Sx1mit x₁ Achse: x₂und x3 gleich 0 setzen. b. Schnittpunkt Sx2mit x₂ Achse: x₁ und x3 gleich 0 setzen. c. Schnittpunkt Sx3mit x3 Achse: x₁ und x₂ gleich 0 setzen. 3. Einfache Darstellung von Koordinatenebene. z.B x₁ - x₂ Ebene: einfach 0 in x3 Einsetzen, da ja alle Punkte von der Form P(x1, x2,0) Berechnung von Parameterform: 1.Methode Determinante Wir wissen: det(a,b,c) = 0 a, b, c sind komplanar. Mit Laplace lösen und nach 0 umstellen: (sieht Determinanten) 22 Abitur 2021 [x₁1 2 0 det x₂-2 1 -1 = 0→2x₁4x2x3 + 8 = 0 Lx3-1 0 2 2.Methode Kreuzprodukt und Normalenform (Bevorzugt) Kreuzprodukt beide Stützvektor bilden -> n-Vektor Diese in allgemeine Normalenform einsetzen und Skalarprodukt auflösen 3.Methode Skalarprodukt und Normalenform Skalarprodukt beide Stützvektor bilden und Gleichungssystem auflösen-> n-Vektor Diese in allgemeine Normalenform einsetzen und Skalarprodukt auflösen 0 ( -5 ) 8 1. Schritt n-Vektor bestimmen: Bsp:E: x2 +r0+ s. Normalenform und n-Vektor (NF) A 8 Nach n1 oder n2 auflösen: Gauß-verfahren gleichsetzen: 4n₁ + 8n3 = 0 -5n₂ + 8n3 = 0 ⇒ + 5n₂ = 0 Unterbestimmte Gleichungssystem: unendlich viele möglichen n-Vektor → Beliebige Zahl für n auswählen: Mögliche n-vektor (hierbei soll man Brüche vermeiden) 1) n soll ein Vektor sein, der senkrecht auf jedem Vektor der Ebene steht. 2) ñuñiñ·u=0^nl v=0 3) ist nicht eindeutig 4) Wenn nu^ñv folgt: ñ 1 (lu + mv), ñ steht auf jedem Vektor der Ebene senkrecht. Also ist ñ 1 AX VA AX Ku 04-2 0 ñ00 n₁ + 2n3 = 0 | 4 J ñ. -50-5n₂ + 8n3 = 0 n X X-OX E ñ 1 AX ⇒ñ1 (OX - OA) 23 Abitur 2021 ⇒ñ. (OX-OA) = 0 →n OX ñ OA = 0 →ññ a=0 Def: Eine Ebene E im R³ sei festgelegt durch einen (beliebigen) Normalenvektor n und einen Stützvektor OA. (Punkt - Normalen - form) (PNF):ñ x ñ à = 0 NF:n a ausrechnen: Allgemeine Normalform Parameterform zur NF und KOF Berechnung von Parameterform: Sieht 2. Methode bei Koordinatenform Hessische Normalform Def: HNF = no x = no p⇒ño (xp) (KOF/NF mit Normaleneinheitsvektor) = (ñ * (x − p)) n*(x-p) |n| NF KOF einfach umformen. Normaleneinheitsvektor 1 18 P1X1+P2X2+P3x3-d |ni| Abstand mit HNF super Einfach: /P₁ p = P₂ A GTR: 7-c-1 oder Eingabe: unitV() ILE d = d=ñ * p P1X1+P₂X2+P3X3-d n Normaleneinheitsvektor hat die Länge 1, also |ñol = 1 Rechenweg: :D nok n, ñol = 1 ⇒ño = 1·ñ n Kehrwert 24 Abitur 2021 Alle Lagebeziehungen Punkt, Gerade und Ebene Lagebeziehung Punkt auf Ebene: Es gibt zwei verschiedenen Methoden die man benutzen kann, um zu prüfen, ob ein Punkt auf eine Ebene sich befindet: 1. Per Hand: P = E gleichsetzen, dann Gleichung System aufstellen überbestimmtes Gleichungssystem können hierbei auftreten, deswegen ist eine Überprüfung unbedingt nötig. Wenn die Kontrolle auch mit dem Ergebnis übereinstimmt, liegt P auf der Ebene (PEE) 2. Mit LinSolve in GTR Vier Punkten in einer Ebene: Parametergleichung oder Determinante → Da eine Fläche kein Volum hat, steht die vier Punkte in einem Flächen, wenn die Ergebnis O ist. Lagebeziehung Gerade/Gerade Vorgegeben sind also die beiden Geraden g und h jeweils in Parameterform: 9:x=Pg + 1* ug λER und h: x= Ph + μ* Uh μ € R ,,Parallelitätstest": Un = k * ug? Bzw. un Vielfaches von ug JA: Parallel oder identisch → Punktprobe: Ph Eg? JA: Identisch NEIN: Echt Parallel NEIN: windschief oder sich schneiden g = h und nach λ und μ auflösen: LGS Aufstellen {Pg₁ (Pg₁ + λ * Ug₁ = Ph₁ + μ * Uh₁ Pg2 + 2 * Ug2 = Ph2 + μ* Unz Dann in 3.Einsetzen, um die Lösung zu überprüfen: Pg3 + 1* Ug3 = Ph3 + μ* Uh3 Ob die nicht gebrauchte Gleichung erfüllt wird: ,,Kontrollrechnung" notwendig! > Falls erfüllen: Schnittpunkt S =>λ, μ -> λ oder u entweder in g oder h einsetzen: Schnittpunkt zweier Geraden > Falls nicht erfüllen: Windschief 25 Abitur 2021 Lagebeziehung Gerade/Ebene 1. g schneidet sich in einem Punkt mit E 2. g ist echt parallel mit E 3. g liegt im E Bestimmung der Lage ● wenn g und E in Parameterform angegeben sind: Bevorzugt GTR →xg = xEgleichsetzen, linsolve nach die drei Parameter auflösen! -wenn genau eine Lösung: g schneidet sich in Punkt P mit E -wenn keine Lösung: g ist echt parallel mit E -wenn unendlich viele Lösungen: g liegt im E ● wenn g in Parameterform und E in Koordinatenform angegeben sind: g in E einsetzen -wenn genau eine Lösung: g schneidet sich in Punkt P mit E -wenn keine Lösung (1-0): g ist echt parallel mit E -wenn unendlich viele Lösungen (0-0): g liegt im E Lagebeziehung Ebene/Ebene Zwei Ebenen E und F können folgende Lagen zueinander einnehmen: Sie können sich in einer Geraden g schneiden, echt parallel zueinander verlaufen oder identisch sein. g E 1) Beide Ebene in KOF 2) B1 En F mit schnittgerade g EX₁ X₂ + 3x3 = 12 |x2 F: 4x12x2 + 2x3 = 20 verkürztes Additionsverfahren 2x₁2x₂ + 6x = 241 + 2x₂ 4x₁2x₂ + 2x3 = 20 | + 2x₂ Daraus bekommt man 8 E -2x₁ + 4x3 = 4 ⇒ x₁ = 2x₂ Dann x₂ bestimmen Schnittgerade: (2x32) x₂ + 3x3 = 12 5x3 14 = x₂ B=F 26 Abitur 2021 B2 E = F gs: x = = verkürztes Additionsverfahren E x₁x₂ + 2x3 = 7 | x2 F: 2x₁ + 2x2 - 4x3 = -14 0=0⇒ E= F(identisch) B3 E||F echt parallel 2x3-2 5x3-14 X3 2x₁2x₂ + 4x3 = 14 -2x₁ + 2x₂ - 4x3 = -14 verkürztes Additionsverfahren E x₁-x₂ + 2x3 = 0 F: x₁ + x₂ - 2x3 = 10 →gs:x= x = (-14) + x ₁ (1), (x₂ € IR) ·14 (X3 0=10! E | F 3) Eine Ebene in KOF, eine Ebene in Parameterform Parameterform in Koordinatenform umwandeln (sieht: Parameterform in eine Ebene) und dann ausrechnen (1)). 4) Beide Ebenen in Parameterform Beispiel: Parallele und identische Ebenen Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E: 2x, +2x₂+x,=6 mit den Ebenen F: X= **-(:) +- (1) +- (¹) bew. 0:x-(-) + (1) + (-) +r G: X= Lage von und F: Wir setzen wieder die Koordinaten von F in die Gleichung von E ein: 2(1-3r+s)+2(1+r+s)+(8+4r-4s)=6 2-6r+2s+2+2r+2s+8+4r-48=6 12 6 Widerspruch Lösung: Wir nehmen zunächst an, dass sich die Ebenen schneiden, und versuchen, die Schnittgerade zu bestimmen. Nach entsprechender Vereinfachung durch Klammerauflösung und Zusammenfassung ergibt sich ein Widerspruch. Kein Punkt von F erfüllt die Gleichung von E. ▸ Die Ebenen E und F sind echt parallel. Lage von E und G: Wir setzen auch hier die Koordinaten von G in die Gleichung von E ein: 2(2-3r-s)+2(4+2r-2s)+(-6+2r+6s)=6 4-6r-2s+8+4r-4s-6+2r+6s=6 6 6 wahre Aussage Auch hier fallen alle Parameter nach Ver- einfachung heraus, und übrig bleibt eine wahre Aussage. Alle Punkte von G erfül- len die Gleichung von F. Die Ebenen E und G sind daher identisch. Schneller Lagetest mithilfe von n-Vektor: 1) E₁ E₂ TE₁ = k· E₂ Wenn k eindeutig und KOF unterschiedlich dann E₁ || E₂ 2) E₁ E₂ → ₁ ne₂ ₁ * ₂ = 0 wenn nĘ, * ₂ = 0 dannĘ₁ 1 E₂ = k. ne, 3) 9₁ LE₁ → ūg₁ 27 Abitur 2021 Skalarprodukt, Vektorprodukt, Winkel zwischen Geraden und Ebenen Skalarprodukt -a-b=c, CER à b = |ab|cos (a) 'b₁\ ☹).() az .b₂ = a₁b₁ + a₂b₂ + a3b3 b3 43, Eigenschaft Skalarprodukt a b=0|a| 1|b| GTR: 7-c-3 oder Eingabe: dotP() Vektor(kreuz) Produkt Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält man einen dritten Vektor. Dieser dritte Vektor steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren. Der Betrag dieses dritten Vektors entspricht der Fläche der beiden Ausgangsvektoren. a₁ b₁ a₂b3-a3b₂) Definition: Für die Vektoren a=a2 und b=b₂ heißt axb=a3b₁-a₁b3 a3 a₁b₂-a₂b₁/ ba (lies: „a Kreuz b") das Vektorprodukt von a und b. Satz: axb Beweis: (à x b) a ⇒ 0 Rechenmethode: ist orthogonal zu a und axb ist orthogonal zu b. Rechenhilfe: 3- à x 6 (umformen) Analog beweis man (axb). b ⇒ 0 •Vektoren 2 mal untereinander schreiben •über Krenz multiplizieren und subtrahieren ax bx 0-0-6 ay GTR: 7-c-2 oder Eingabe: crossP() ć (aybz-azby azbx-axbz (axby-aybx) Bsp. (2 --0-6 n = 1 x 2 3 1 1.1-5.2 -9 -(2.1-5.3) =13 2.2-1.3 1 (rechter) Winkel Zwischen 2 Vektoren Def: Gilt a = 90° zwischen zwei Vektorena und b, so nennt man å und b ,,Ortogonal" 28 Abitur 2021 Winkel zwischen E/E, E/G, G/G Man schreibt:4(a, b) = 90° ã¹ b ⇒ã.b=0 Anwendung des Skalarproduktes zur Winkelberechnung: G/G formen anwenden, vektorlänge ausrechnen und lösen gg.g: x = i + Au h: y = i + λu ( |ūg*ūn |ug|*|ūnl cos(a) a = cos¯¹(₁ G/E E/E = gg.g in Parameterform, E in Normalenform /Koordinatenform (Parameterform umformen) sin(a) = |ūg*n| |ug|*|n| cos(a) = |ūgünl ·|ug|+|un|² ⇒ a = sin-¹ (²) gg. E1, E2 in Koordinatenform/Normalenform (Parameterform umformen) ⇒a= cos ¹ (₁+₂) In₁|₂| |ñ₁*n₂| |n₁|*|n₂| Multiplikation von zwei Vektoren: Zwei Ergebnisse: Die geometrische Bedeutung des Betrags des Kreuzprodukt Es gilt: |n| = |ax b| = |ả| · |ñ| · sin(a), 0° ≤ a ≤ 180° mit a der Winkel zwischen den Beiden Vektoren à und bist. |ñ| = |ax b = Fläche des von den Vektoren à und b aufgespannten Parallelogramms 29 Abitur 2021 Abstandsberechnungen Kürzester Abstand Punkt/ Ebene Die kürzeste abstand kann man mit eine gerade g darstellen, die in Schnittpunkt F mit E schneidet (Lotfußpunkt). Diese ist senkrecht zu Ebene E (Lotgerade). Der kürzeste abstand ergibt sich dann durch den Abstand von F zu P. Lotfußpunktverfahren (LFV): 1. Lotgerade g aufstellen g: x = OP + k·ñ, k E R mit n 2. g mit E schneiden. 3. Den sogenannten ,,Lotfußpunkt" (Schnittpunt) F berechnen, 4. Abstand berechnen Kürzester Abstand Gerade/ Punkt g + F P Hilfsebene E gg: Punkt p, gerade g: x - (1) ++ (5) b+t e (parameterform) Lösungsansatz: Richtungsvektor als n-vektor benutzen und Hilfsebene (KoF) Bilden. Schritt: 1. Richtungsvektor als n-vektor ansehen und Hilfsebene aufstellen n = e Schritt 2: g in KoF einsetzen, Schnittpunkt berechnen KoF:n*x-n* p ⇒ dx₁ + ex₂ + fx3 (dp₁ + dp2 + dp3) Schritt 3: Abstand berechnen: d = t· n Abstand zweier windschiefer Geraden Da zwei geraden windschief zueinander sind, schneidet sich nicht. Somit kann man eine Hilfsebene konstruieren, die parallel zu die zwei Ebene Stehen (g||E, h in E) gg. 9₁: x = kg₁+ Arg₁₁9₂: x = kg2 + μ· Tg2 30 Abitur 2021 Diese bekommt man durch den Kreuzprodukt von die Richtungsvektoren rg1 x rg2 den n- Vektor bestimmen und dadurch auch eine Hilfsebene bilden (in NF: n*x-ñ * kg₁) Dann bilden wir mit dem Stützvektor von den anderen gerade kg2 und den n-Vektor eine Lotgerade, die senkrecht g und E schneidet. Hilfsebene E Lotfußgearde g k.n ds Dann einfach mit Lotfußpunktverfahren Lotfußgerade g: x = k·an in E einsetzen und bestimmen. Der Abstand zwischen g₁ und g₂ ist dann || (mit Pythagoras) Flächen- und Volumenberechnung Parallelogramm (Betrag des Normalenvektors), Dreieck (Vektorprodukt) N-Vektor und Kreuzprodukt: b |n| = |a × b = Fläche des von den Vektoren à und aufgespannten Parallelogramms R2 Determinante 1 Dreieck: des Parallelogramms 82 Determinante (Spaltprodukt, Spat Volumen/ Parallelogramm Inhalt/ KoF) -Vorwarnung: Determinante ist nicht Matrix! Determinante ist eine Darstellung von eine Rechnenweg, sondern nicht eine Lösung -Zweitreihige Determinante (2x2) -3x3 Determinanten |a₂ -Bedeutung zweireihige Determinante: = a₁b₂-a₂ * b₁ Der Betrag der Determinante ist der Flächeninhalt des Parallelogramms |det(a,b)| = Aparallelogramm(a,b) Mit Determinante kann man Lineare Unabhängigkeit nachweisen→sieht Blatt AnaGeo 3-2 31 Abitur 2021 + + C₁ a2 b₂ C₂ Pas la3 b3 C31 a. Volum Pyramide: 11 A 21 Volum Tetraeder: Fachbegriffen: a₂ = a₁. b₂ C₂ E & b3 C3 31 = a1 a 12 . A 32 Nach Laplace:a₁ (b₂ * C3 - b3 * C₂) - a₂ (b₁ * C3 b3 * C₁) + a3 (b₁ * C₂ - b₂ * C₁) Der Betrag der Determinante ist das Volumen des Spats |det(a,b,c)| = V Mit der Regel von Sarrus: (,,Gitterzaunregel") + + a A 13 ・A 23 33 Es gilt nun: 1. det (a, b)| = Aparallelogramm (a, b) 2. det (a,b,c) = Vspat (a,b,c) GTR: 7-3 oder Eingabe: det() a₁1 Vspat grundfläche x höhe) A ₂1 a₂ a₂. 31 az VPrisma grundfläche × höhe) Spat(a,b,c) A 12 b₁ * .№101₁2 A 22 A 32 Dabei ergibt sich für 3 Vektoren folgendes komplanaritätskriterium: 1) det(a,b,c) #0 ⇒ a, b, c linear unabhänig,d.h. nicht Komplanar. 2) det(a,b,c) = 0 ⇒ a, b, c linear abhänig,d.h. Komplanar. * + b3 C3 =a11a22a33 + a₁2a23a31 + a13a21a32 - (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12) a3. + a3 * * [, [ Ortsvektor, Ursprung, Euklidischer Raum, Kollinear, Dreibein, Gleichungssystem, komplanar, linear abhängig/ unabhängig, Determinanten, Verbindungsvektor, Richtungsvektor, Aufhängespunkt, Punktprobe, windschief, Parameterform, Spurpunkte schnittgerade, n- Vektoren 32 Abitur 2021 Stochastik Grundlagen LAPLACE-Experiment und Wahrscheinlichkeiten Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. z.B normale Würfel, normale Münze, etc Anzahl gewünscht Anzahl gesamt Mehrstufige Zufallsexperimente / Pfadregel Führt man bei einem Zufallsexperiment eine Tätigkeit mehrfach hintereinander aus, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Z.B. mehrfaches Ziehen einer Kugel aus einer Urne, mehrfaches würfeln, ... Es ist dabei zu unterscheiden, ob mit oder ohne ,,zurücklegen" agiert wird! Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades. Es gilt: P(E) = Ergebnis & Ergebnismenge, Ereignis, Gegenereignis Ergebnis x ist der einzelne mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes und somit eine Basiselement der Ergebnismenge Ereignis k ist eine Zusammenfassung von Ergebnissen, die eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 zugeordnet werden kann und ist somit eine Teilmenge der Ergebnismenge. Die Ergebnismenge S besteht aus allen möglichen Ergebnissen des Zufallsversuchs und ist somit eine Menge S = {x|x ist der einzelne mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes }, k € S Bsp: S₁ = {vv, vr, rv, rr} bei eine zweimaligen münzenwerfen mit Vorderseite und Rückseite, x = vv, x = vr, x = rv, x = rr und z.B k₁ = {vv,rv} Gegenereignisk ist das Ereignis, wo allen Ergebnissen, die nicht zu k gehören, enthalten sind. (Kompliment von k, kº) P(k) = 1 - P(k)) Summenregel: Wahrscheinlichkeit von Ereignis k erhält man durch zusammenaddieren von Ergebnis x in k. bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit" ist die Wahrscheinlichkeit eine Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist. P(ANB) PA(B) = P(A) Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist 33 Abitur 2021 Vierfeldertafel A BP(ANB) B P(ANB) P(A) Unabhängigkeit von Ereignissen Ā P(ANB) P(An B) P(A) P(B) P(B) 1 In einer Vierfeldertafel werden die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B inklusive Gegenereignissen und deren Schnitte übersichtlich dargestellt Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Zwei Ereignisse AA und BB heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: P(An B) = P(A). P(B) 34 Abitur 2021 2.Urenmodell (Kombinatorik: Wie Viele Möglichkeiten?) Ohne Zurücklegen Variation (mit Beachtung von Reihfolge) (geordnet) Kombination (Ohne Reihfolge) (Ungeordnet) Fakultät Binomialkoeffizient (2) = (2) n: Anzahl Ergebnissen k: Stufen des Zufallversuchs (Wiederholung) n! (n - k)! n! = [Ink = n · (n − 1) · ... · (n − k + 1), n € N n! k!-(n-k)! n! k! (n - k)! Es gilt für P: P(X = k) = Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Mit Zurücklegen Binomialverteilung Bernoulli-Experiment (Versuch), allg. Formel: Bernoulli-Ketten Ein Experiment, dass nur zwei mögliche Ergebnisse (n + k − ¹) = k (T, Treffer (Erfolg) oder T Niete (Misserfolg)) hat, heißt Bernoulli-Experiment. Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in gleicher Weise, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit P (2).pk . (1 p)n-k = B(n,p, k) - Mit k = Trefferzahl, p= Trefferwahrscheinlichkeit, n=trefferlänge, wobei P(X = K) die Punktwahrscheinlichkeit ist TI-Nspire GTR: 5-5-A, binomPdf(n,p,k) Kumulierte Wahrscheinlichkeit (Intervallwahrscheinlichkeit): nk i=0 P(X ≤ k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X irgendeinen der Werte 0, 1, ...k annimmt. k = F(n, p, k) = = Σ(1) p² (1- (n + k − 1)! k! (n − 1)! P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k) = B(n, p, 0)+...+B(n,p.k) -p)n-k TI-Nspire GTR: 5-5-B, binomCdf(n,p,0,k) Für Allgemeine Intervall: F (L,U) = Σk=U (7) pk (1 − p)n-k TI-Nspire GTR: 5-5-B, binomCdf(n,p,L,U) 35 Abitur 2021 Suche nach länge n bei bekannten k, p und kumulierte Wahrscheinlichkeit P Mindestens-Mindestens Aufgabe bei k ≥ 1 P(X ≥ 1) ≥ P |Gegenwahrscheinlichkeit 1- P(X= 0) ≥ P |Nach P(X=0) umformen P(X= 0) ≤ 1-P B(n, p, 0) ≤ 1-P () pº. (1-p)¹-0 ≤ 1-P (1-p)" ≤ 1-P |ln n. ln(1 p) < ln(1 - P) |: ln(1 − p) In(1-P) Ungleichung, umgedreht In(1-p) Für mindestens höchstens, höchstens mindestens, höchstens höchstens umgeformt anwenden n> GTR: 1. Methode nSolve(binomCdf(round(x,0),p,L,U)=P,x=k) → ! Da x E N sein muss, muss man sich runden, sonst erkennen der Taschenrechner es nicht. 2. Methode: binomCdf(x,p,L,U) einfach systematisch Ausprobieren! Low, aber funktioniert wunderbar; D Suche nach Wahrscheinlichkeit p bei bekannten k, n und kumulierte Wahrscheinlichkeit P Mindestens Aufgabe bei k21 P(X≥ 1) = P 1- P(X= 0) = P P(X= 0) = 1 P () pº. (1-p)n-0= 1-P (1-p)" 1-P 1-p=√√1-P p=1-1-P GTR: nSolve(binomCdf(n,x,L,U)=P, x = k), k ist ein Bereich, wo der GTR suchen soll Suche nach kettenlänge k bei bekannten p, n und kumulierte Wahrscheinlichkeit P 1. GTR Methode: EINFACH K AUSPROBIEREN :D (bzw. Tabelle) 2. GTR Methode: Nsolve: (Bevorzugt) 36 Abitur 2021 Erwartungswert I: nSolve(binomCdf(n,p,L,x)=P, x = k) k ist hierbei ein Bereich, wo der GTR suchen soll, eine gute Annährung liegt bei n p (Faustregel), wenn diese nicht geht probiert man andere Werte aus. Durchschnittliche Erwartung bei einer großen Zahl von Durchführungen Für endliche Zufallsgröße (Ergebnissen) x: μ = Σ=1*k · P(X = xk) Für unendlich viele Versuche sollte sich das arithmetische Mittel dem 1 Erwartungswert annähern. μ = = 1=₁ ai Wahrscheinlichkeitsverteilung Pges=1, Px,einzelne nachvollziehen... :D Varianz (nicht klausurrelevant, wurde aber in AB erwähnt) Sigma-Regeln Erwartungswert II S² = Σ(x₁-x)² n-1 Die Varianz (bzw. die Standardabweichung) ist ein Parameter, um die Qualität der Abweichung von einem zu erwartenden Mittelwert zu beurteilen. Bei Laplace-experiment, bei anderen logisch nGesamt Standardabweichung I Erwartungswert von X bei einer Bernoulli-Kette der Längen und Treffer Wahrscheinlichkeit p: μ = E(X) = n p Standardabweichung von X bei einer Bernoulli-Kette der Längen und Treffer Wahrscheinlichkeit p:o = o(X) = √n p (1 − p) Die Standardabweichung beschreibt die erwartete Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Falls Standardabweichung o größer als 3 ist (WICHTIG), gilt Ρ(μ – 1,646 < X < μ + 1,646) ~ 90% Ρ(μ – 1.966 < X < μ + 1.966) ~ 90% Ρ(μ – 2.580 < X < μ + 2.586) ~ 90% Bzw. P(μ-6 < Χ < μ + σ) ~ 68,3% P(μ - 26 < X < μ + 2o) ~ 95,4% P(μ - 36 < Χ < μ + 3σ) ~ 99.7% !!!Nur Näherungswerte für die Wahrscheinlichkeiten, Runde nach außen!!! 37 Abitur 2021 Einseitiger Hypothesentest Nullhypothese HO: getestete Hypothese, die man verwerfen soll Alternative Hypothese H1: Gegenteil HO Irrtumswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft Signifikanzniveau a: Maximal erlaubte Irrtumwahrscheinlichkeit, in Regel vorgegeben Linksseitiger Test: Ho:p ≥ po, H1: p < Po linksseitiger Test Annahmebereich: [a, n] Ablehnungsbereich: Bsp: [0, a-1],"links" Rechtsseitiger Test: Ho: p ≤ Po, H1: p > Po Annahmebereich: [0, a] Ablehnungsbereich: Vorgehen: P [a+1, n],"rechts" rechtsseitiger Test 1. Nullhypothese aufstellen, Irrtumswahrscheinlichkeit soll hierbei klein gehalten werden. 2. Stichprobeumfang, Erwartungswert und Signifikanzniveau finden, Erwartungswert auf Gültigkeit (Laplace- Bedingung: o> 3)bestimmen 3. Entscheidungsregel bestimmen (mit GTR nSolve nach Annahmebereich und Verwerfungsbereich suchen) 38 Abitur 2021 Aussage: 30% lieben Mathe! L Nullhypothese: Ho: Po = 0,3 n = 100 p = 0,3 μ = 30 Stichprobenumfang: Wahrscheinlichkeit: Erwartungswert: mögliche Aufgaben- stellung: Gegen- hypothese: Fehler 1.Art 0.5 0,4 Alternativtest Normalverte .....jemand sagt, dass 40% Mathe lieben..." 0,1 H₁:P₁ = 0,4 0,0 10% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% Linksseitiger Hypothesentest .....ob weniger als 30%..." H₁: P₁ <0,3 Rechtsseitiger Hypothesentest μ = 0,3-100=30 ,,...ob mehr als 30%..." H₁:P₁ > 0,3 Eine richtige Hypothese wird fälschlicherweise verworfen Berechnung: Kumulierte Wahrscheinlichkeit der Verwerfungsbereich В Fehler 2.Art: An einer falschen Hypothese wird irrtümlich festgehalten. Das Stichprobeergebnis liegt im Annahmebereich, obwohl die Hypothese falsch ist. Р Berechnung: Kumulierte Wahrscheinlichkeit der Annahmebereich mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit Test von H₂: μ = μo gegen H₁: μ = μ₁ n Z1-a n = 100 Beidseitiger Hypothesentest ..ob sich die 30% geändert haben..." H₁: P₁ * 0,3 Ho 14₂ Verschieben des kritischen Wertes 2₁ nach rechts bedeutet Verkleinerung von a und Vergrößerung von ß et vice versa 39 Abitur 2021 H ist falsch H ist richtig Test lehnt Hab richtige Entscheidung Fehler erster Art (a) Test lehnt H nicht ab Fehler zweiter Art (3) richtige Entscheidung Zweiseitiger Hypothesentest In Essenz links- und Rechtsseitige Hypothesetest mit 0.5a als Signifikanzniveau Vorgehen: 0,5% 1. Nullhypothese aufstellen Ho: p = Po oder H₁:p # Po 2. Stichprobeumfang, Erwartungswert und Signifikanzniveau finden, Erwartungswert auf Gültigkeit 3. Entscheidungsregel bestimmen Verwerfungsbereich [0, 4] = a, [B,n] =a in GTR finden !!!Höchstensa, Ergebnis noch einmal mit binomCdf nachprüfen!!! (mit GTR nSolve nach Annahmebereich und Verwerfungsbereich suchen) Zweiseitige Hypothesentest Dieses Beispiel zeigt eine Signifikanz von 1% Akzeptiere die Lehnen die Nullhypothese Nullhypothese ab Lehnen die Nullhypothese ab Signifikanzniveau 0,5% Signifikanzniveau 40 Abitur 2021 Stetige Zufallsgrößen: Normalenverteilung Bei binomialverteilten Zufallsgrößen konnten nur ganzzahligen werte annehmen (N), Bei einer Normalenverteilung ist die Zufallsgröße stetig und kann im Prinzip jeder reelle Zahlenwert annehmen (R). Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern u und σ, wenn sie eine Gaußsche Glockenfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt. Gaußsche Normalverteilung (Glockenkurve) Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsgröße f(x) = 12e-² (4) ² σ√2π mit μ:Mittelwert, o: Standardabweichung Bei Normalenverteilung hat jeder Wert der Zufallsvariable die Punktwahrscheinlichkeit 0, da es unendlich viele reellen Zahlen gibt. (lim = = 0, strich-> Flächeninhalt 0). Deshalb hat 1 x→∞0 x Punktwahrscheinlichkeit bei Normalenverteilung keinen Sinn Intervallwahrscheinlichkeit Die stetige Zufallsgröße X sei normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ, dann gilt: e-(-)² dx P(a ≤ x ≤ b) = · 0-√/27 · Så e σ-√√2π GTR: P(a ≤ x ≤ b) = normCdf(a, b, μ, o) TI-nSpire: 5-5-2 Allgemein gilt für die stetige Intervallwahrscheinlichkeit das Integral von wahrscheinlichkeitsdichte P(r ≤ x ≤s) = f(x) dx. Es gilt: f(x) dx = 1 (Gesamtwahrscheinlichkeit muss 1 sein) Erwartungswert III und Standardabweichung II Eine Zufallsgröße X mit Werten zwischen a und B und der Wahrscheinlichkeitsdichte f besitzen den Erwartungswert μ = fx. f(x) dx Und die Standardabweichung o=√√(x-μ)². f(x)dx Die Gaußsche Glockenfunktion besitzt eine Maximalstelle bei x = μ und je eine Wendestelle bei x = μ ±o Ihr Graph ist achsensymmetrisch zu x = μ Graphen zuordnen und anhand des Graphen Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen Maximal und wendestelle graphisch ablesen anhand obigen Regelns. Erwartungswert und Standardabweichung bei gegebenen Angaben mit GTR berechnen (nSolve) 41 Abitur 2021 ➜ GTR gg. untere /Obere Grenze a,b, Mittelwert u, und Wahrscheinlichkeit P gs: Standardabweichung o nSolve(normCdf(a, b, k, u)=P, k=x) X ist hierbei ein Bereich wo die GTR suchen soll (Ausprobieren) gg. untere /Obere Grenze a,b, Standardabweichung o, und Wahrscheinlichkeit P gs. Mittelwert μ nSolve(normCdf(a, b, o, k)=P, k=x) X ist hierbei ein Bereich wo die GTR suchen soll (Ausprobieren) Grenzen/Intervalle bei gegebener Wahrscheinlichkeit berechnen ➜ GTR gg. untere Grenze a, Standardabweichung o und Mittelwert μ, Wahrscheinlichkeit P gs. Obere Längegrenze 1. Methode: nSolve(normCdf(a, k, μ, o)=P, k=x) X ist hierbei ein Bereich wo die GTR suchen soll (Ausprobieren) 2. Methode: invNorm (P, μ, o) Bei gegebene Obergrenze Gegenwahrscheinlichkeit nehmen oder entsprechend in Nsolve ändern gg. Standardabweichung o und Mittelwert μ, Wahrscheinlichkeit P, gs. Symmetrische Intervall [a,b] 1. Methode: Ak = nSolve (normCdf(u - k, u + k, μ, o)=P, k=x) [a,b]= [μ – Δk, μ + Δk] X ist hierbei ein Bereich wo die GTR suchen soll (Ausprobieren) 2. Methode: a = invNorm(μ-P,μ, o) b = invNorm(μ+P,μ, o) GTR aufladen & nicht vergessen!!!!!!!!!! Viel Erfolg! !!! keine Gewähr auf Richtigkeit und Vollständigkeit - Nur als Bezugsmaterial!!! Erstellt von Yichen Zhang - Rückmeldung gerne an [email protected] 42