Analyse des Globalverhaltens einer Funktion

Diese Seite befasst sich mit der umfassenden Untersuchung des Globalverhaltens einer Funktion, insbesondere einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Die Analyse gliedert sich in sechs Hauptaspekte:

1. Globaler Verlauf: Der Grenzwert der Funktion für x gegen unendlich wird betrachtet. Da der höchste Exponent 3 ist und der zugehörige Koeffizient positiv ist, strebt die Funktion für x → +∞ gegen +∞.

Definition: Der Globalverlauf beschreibt das Verhalten einer Funktion für sehr große positive und negative x-Werte.

2. Extremstellen/punkte: Die Extremstellen werden durch Nullsetzen der ersten Ableitung f'(x) = 3x² + 2x - 5 ermittelt.

Example: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ergeben x₁ = 1 und x₂ = -1,67. Durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion erhält man einen Hochpunkt HP = (-1,67 | 9,48) und einen Tiefpunkt TP = (1 | 0).

3. Nullstellen: Die Nullstellen der Funktion werden bestimmt. Es werden zwei Nullstellen gefunden: x₁ = 1 und x₂ = -3.

Highlight: Die Berechnung von Extremstellen und Nullstellen ist entscheidend für das Verständnis des Funktionsverlaufs.

4. Symmetrie: Die Funktion weist keine Symmetrie auf, da sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält.

5. Definitionsmenge: Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, für die die Funktion definiert ist.

6. Achsenabschnitt: Der y-Achsenabschnitt wird durch Einsetzen von x = 0 in die Funktion berechnet. Er liegt bei (0 | 3).

Vocabulary: Extremstellen berechnen bedeutet, die x-Werte zu finden, an denen die Funktion lokale Maxima oder Minima aufweist.

Die Analyse dieser Aspekte ermöglicht ein tiefgreifendes Verständnis des Globalverhaltens der Funktion und bildet die Grundlage für eine präzise grafische Darstellung.