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Analysis, Extremwertprobleme, Funktionenscharen
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1. Mathe LK Klausur Q1.1 13 Punkte Analysis, Extremwertprobleme, Funktionenscharen
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Hilfsmittelfreier-Teil maximale Bearbeitungsdauer 45 Minuten Aufgabe 1) Gegeben ist die Funktion a) Gib die erste und zweite Ableitung der Funktion an. b) Berechne das Krümmungsverhalten der Funktion. Aufgabe 2) Betrachte die Funktion f(x)=3x²-4x3 a) Berechne die Extrempunkte der Funktion. b) Berechne die Wendestellen der Funktion. Aufgabe 3) Betrachte den Graphen der Ableitungsfunktion f und entscheide begründet über die folgenden Aussagen. a) f hat ein lokales Minimum. 3 b) f ist überall streng monoton steigend. 1' c) f ist im Intervall I==[-3;-1[ rechts- gekrümmt und im Intervall Iz=]-1;1] 2 linksgekrümmt. d) ft hat im Intervall la=[-3;1] genau eine 1 Nullstelle. e) Skizziere f' in das Koordinatensystem auf dem Aufgabenblatt. 0 1 Aufgabe 4) Skizziere eine ganzrationale Funktion für die auf einem Intervall I gilt: f'x)<0 und f"(x)>0. 1. Mathe CK Klouser 25.3.2020 19 H iffsmithelfeei-Ted: Aufgabe a) fax)=x3-9x2+24x-15 - f'x)-3x2-18x+24 {"(x)-6x-18 ("(x)=6 / 4/4 1g b) wondeporhie notu.Bed.: f"(x) =0 6x - 18 =01+18 6x =18 :6 x = 3 hinr.Bed: f"Cx)= A f"((x) co Fine 3) =6 krimansuahallen: (((2)-6-2-18 2 3 4 -12-18 =-6 f" co 0 >6 f"(44)-6.4-18 =24-18 = 6 / Im Intervall 1-7-00; o[ ist de Graph f Techsgehrimat. Im Intervall 12 Jo;+00[ ist do Graph f...
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Cinhsgehrimm! 9/9 1 b) were Aufgabe 2 f(x) 3x4 - 4x3 f(60=12x3 -12x2 f"W=36x2 - 24. x / x1/2 a) Extremstellen: not w.Bed:: f'(2)=0 12x3-12x - =O 12x(x2-x) :0 x, 12x=01:12 V x2. [P9-Formel besses Ausbla may t 1 + V (4) 1-1 x-20, X2/3 n2 = +1 + 1 = - 2 - 2 n x2=0, x= t - 1, hins. Bed:: f'w)o 20 S"CO)= O E Sp & hies side ist nod fasF alles = x 4 mojlip f"(-1)=36.C-1)2-24-C-1) - = 36. 1 ++4 = 60-TP (y) Y-Weste: fco)=0 SpC010) FC-A= 3.(-1)4, -4.(-1) - 3 = 3. . 1 -4.1-1) = 3 + 4 ) = 7 TPC-1/7) 5 b) Wendesteller: notw. Bed : {"(x)=0 36x2-24x - =0 1:36 x2-3 - 2 x =O \ P9-Formel 2 x1/2 = 3 + - 2 3 27 2 2:2= 3 2 1 1 21 -3 4 + 3 V 1-1 4 = 3 4 + 3 <1 = O x2= 8 3 himr. Bad : f"(x=0n f "(4) 20 F /-1 f ul (a) = -24 2 1-1 f" C = positiv so 9/11 a) falsch, f hat eihor Sattel ports, da f' ner in Position Bereich bleibl, hein uzw b) richtigy da da f' lberall positive ist 1-4 - 2 nein hich bei X = -1 c) richtig, da f" in 11 ngativ ist and im 12 -positive d) richtig da genau ein VZU Stettfindet 10/5/11 j Aufgabe 4 8 to plw)sot 1- 1 E 7) x f "(x) >0 3/4 - stiging negative hsdmmersuschall to U I 40,5/54 Phe I LK Mathematik Q1 Datum: 25.09.2020 1. Klausur Name, GTR-Teil Bearbeitungszeit 90 Minuten Die Operatoren "berechne" oder "ermittle rechnerisch" bedeuten, dass alle Ansätze und Rechenschritte (bis auf die Lösungen von einfachen Gleichungen) angegeben werden müssen. Zur Durchführung der Rechnungen wird der GTR genutzt. Die Operatoren "ermittle" und ,bestimme" bedeuten, dass der Ansatz und der Lösungsweg notiert werden muss. Für die eigentlichen Rechnungen darf dann wieder der GTR genutzt werden. Hier sind auch grafische Lösungswege möglich. Der Operator "gib an" bedeutet, dass die Nennung des Ergebnisses ausreicht. Aufgabe 5) Bestimme zu den Bedingungen eine ganzrationale Funktion dritten Grades: a) Der Graph von f verläuft durch den Punkt P(0)5) und hat dort die Steigung 2. Im Punkt Q(1/11) hat der Graph einen Wendepunkt. b) Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft im Punkt P(-1|2) parallel zur Geraden y= - 6x-1. Aufgabe 6) Wie müssen die Seitenlängen a, b eines quadratischen Prismas mit einem Oberflächeninhalt von 24 cm² gewählt werden, damit das Volumen maximal wird? Aufgabe 7) b Betrachte die Funktionenschar a a a) Skizziere die Funktionen f-1 und f, in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Ermittle rechnerisch, welche der Funktionen durch den Punkt P(1)2) verläuft. c) Ermittle rechnerisch, an welcher Stelle die Graphen die Steigung 0 haben. d) Berechne die Tangenten an der Stelle x=1. e) Ermittle rechnerisch das Monotonieverhalten der Funktion in Abhängigkeit von a. (Tipp: Mache an gegebener Stelle eine Fallunterscheidung.) Datum: 25.09.2020 LK Mathematik Q1 Name: 1. Klausur Aufgabe 8) Am Eingang einer Discothek wird registriert, wie viele Besucher hinein und heraus gehen, so dass jederzeit die genaue Personenzahl innerhalb der Discothek festgestellt werden kann. Die Besucherzahl (in 100 Personen) wird durch die Funktion 1 gut beschrieben, wobei x die Anzahl der Stunden nach Öffnungsbeginn um 20 Uhr bis zur Schließung um 2 Uhr nachts ist. a) Gib die Anzahl der Besucher um 21 Uhr an. b) Ermittle, wann die meisten Besucher in der Discothek sind. c) Ermittle, zu welcher Zeit der Andrang am
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