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29. Nov. 2025
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Oceanblue
@oceanblue
Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Analysis. Du... Mehr anzeigen
Extrempunkte findest du ganz systematisch mit zwei Bedingungen. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier ist die Steigung null. Für die hinreichende Bedingung setzt du deine x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du, indem du x in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Wendepunkte funktionieren ähnlich: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung. Für die hinreichende Bedingung brauchst du f'''(x) ≠ 0. Ist f'''(x) > 0, hast du einen Rechts-Links-Wendepunkt, bei f'''(x) < 0 einen Links-Rechts-Wendepunkt.
Merktipp: Hochpunkt = f''(x) < 0 (negativ wie ein Tal nach unten), Tiefpunkt = f''(x) > 0 (positiv wie ein Berg nach oben)
Extremwertaufgaben begegnen dir überall im Alltag - vom optimalen Zaun bis zur kostengünstigsten Verpackung. Das Vorgehen ist immer gleich und total logisch aufgebaut.
Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf und dann die Nebenbedingung (welche Einschränkung gibt es?). Die Nebenbedingung formst du nach einer Variable um und setzt sie in die Hauptbedingung ein.
Jetzt hast du deine Zielfunktion und kannst wie gewohnt Extrempunkte berechnen. Bei Maximierung suchst du einen Hochpunkt, bei Minimierung einen Tiefpunkt. Vergiss nicht, am Ende alle gesuchten Größen zu berechnen und deine Antwort verständlich zu formulieren.
Praxistipp: Zeichne dir bei Geometrieaufgaben immer eine kleine Skizze - das hilft beim Aufstellen der Bedingungen!
Steckbriefaufgaben sind wie Rätsel - du bekommst Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Der Trick ist, systematisch vorzugehen und alle Informationen in Gleichungen umzuwandeln.
Starte mit der allgemeinen Funktionsgleichung für den angegebenen Grad und bilde die nötigen Ableitungen. Jede Eigenschaft (Punkt auf Graph, Extremstelle, Wendestelle) wird zu einer Gleichung. Hochpunkte und Tiefpunkte bedeuten immer f'(x) = 0, Wendepunkte bedeuten f''(x) = 0.
Das entstehende Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du ein oder zwei der ursprünglichen Bedingungen überprüfst. So merkst du schnell, ob du einen Fehler gemacht hast.
Strategietipp: Schreibe dir alle gegebenen Informationen übersichtlich auf - so vergisst du keine Bedingung!
Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die sich durch einen Parameter unterscheiden. Statt einer festen Zahl steht da ein Buchstabe wie 'a', der verschiedene Werte annehmen kann.
Bei fa(x) = x² + a verschiebt sich die Parabel je nach Wert von a auf der y-Achse. Ist a = 3, hast du f(x) = x² + 3, ist a = -2, bekommst du f(x) = x² - 2. Der Parameter wird beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt.
Funktionsscharen zeigen dir, wie sich Graphen systematisch verändern. Das ist besonders nützlich, um Zusammenhänge zu verstehen und verschiedene Situationen mit einer einzigen Formel zu beschreiben.
Visualisierungstipp: Zeichne mehrere Funktionen einer Schar in ein Koordinatensystem - so siehst du das Muster sofort!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Hans T
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Oceanblue
@oceanblue
Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Analysis. Du lernst hier, wie du Extrempunkte und Wendepunkte findest, Extremwertaufgaben löst und Funktionen aus gegebenen Eigenschaften bestimmst.
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Extrempunkte findest du ganz systematisch mit zwei Bedingungen. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier ist die Steigung null. Für die hinreichende Bedingung setzt du deine x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du, indem du x in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Wendepunkte funktionieren ähnlich: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung. Für die hinreichende Bedingung brauchst du f'''(x) ≠ 0. Ist f'''(x) > 0, hast du einen Rechts-Links-Wendepunkt, bei f'''(x) < 0 einen Links-Rechts-Wendepunkt.
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Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte des Limes und Grenzverhaltens von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, grafische Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben S. 148 und 149 aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Exponentialfunktionen, Ableitungen, Integrationsregeln und die Berechnung von Durchschnittswerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein tieferes Verständnis für Differential- und Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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