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Aktualisiert Mar 11, 2026
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Ganzrationale Funktionen: Wichtige Eigenschaften für das Abitur
Oceanblue
@oceanblue
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Extrempunkte und Wendepunkte
Extrempunkte findest du ganz systematisch mit zwei Bedingungen. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier ist die Steigung null. Für die hinreichende Bedingung setzt du deine x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du, indem du x in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Wendepunkte funktionieren ähnlich: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung. Für die hinreichende Bedingung brauchst du f'''(x) ≠ 0. Ist f'''(x) > 0, hast du einen Rechts-Links-Wendepunkt, bei f'''(x) < 0 einen Links-Rechts-Wendepunkt.
Merktipp: Hochpunkt = f''(x) < 0 (negativ wie ein Tal nach unten), Tiefpunkt = f''(x) > 0 (positiv wie ein Berg nach oben)
Extremwertaufgaben
Extremwertaufgaben begegnen dir überall im Alltag - vom optimalen Zaun bis zur kostengünstigsten Verpackung. Das Vorgehen ist immer gleich und total logisch aufgebaut.
Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf und dann die Nebenbedingung (welche Einschränkung gibt es?). Die Nebenbedingung formst du nach einer Variable um und setzt sie in die Hauptbedingung ein.
Jetzt hast du deine Zielfunktion und kannst wie gewohnt Extrempunkte berechnen. Bei Maximierung suchst du einen Hochpunkt, bei Minimierung einen Tiefpunkt. Vergiss nicht, am Ende alle gesuchten Größen zu berechnen und deine Antwort verständlich zu formulieren.
Praxistipp: Zeichne dir bei Geometrieaufgaben immer eine kleine Skizze - das hilft beim Aufstellen der Bedingungen!
Ganzrationale Funktionen bestimmen
Steckbriefaufgaben sind wie Rätsel - du bekommst Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Der Trick ist, systematisch vorzugehen und alle Informationen in Gleichungen umzuwandeln.
Starte mit der allgemeinen Funktionsgleichung für den angegebenen Grad und bilde die nötigen Ableitungen. Jede Eigenschaft (Punkt auf Graph, Extremstelle, Wendestelle) wird zu einer Gleichung. Hochpunkte und Tiefpunkte bedeuten immer f'(x) = 0, Wendepunkte bedeuten f''(x) = 0.
Das entstehende Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du ein oder zwei der ursprünglichen Bedingungen überprüfst. So merkst du schnell, ob du einen Fehler gemacht hast.
Strategietipp: Schreibe dir alle gegebenen Informationen übersichtlich auf - so vergisst du keine Bedingung!
Funktionsscharen
Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die sich durch einen Parameter unterscheiden. Statt einer festen Zahl steht da ein Buchstabe wie 'a', der verschiedene Werte annehmen kann.
Bei fa(x) = x² + a verschiebt sich die Parabel je nach Wert von a auf der y-Achse. Ist a = 3, hast du f(x) = x² + 3, ist a = -2, bekommst du f(x) = x² - 2. Der Parameter wird beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt.
Funktionsscharen zeigen dir, wie sich Graphen systematisch verändern. Das ist besonders nützlich, um Zusammenhänge zu verstehen und verschiedene Situationen mit einer einzigen Formel zu beschreiben.
Visualisierungstipp: Zeichne mehrere Funktionen einer Schar in ein Koordinatensystem - so siehst du das Muster sofort!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5
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4.7/5
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Ganzrationale Funktionen: Wichtige Eigenschaften für das Abitur
Oceanblue
@oceanblue
Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Analysis. Du lernst hier, wie du Extrempunkte und Wendepunkte findest, Extremwertaufgaben löst und Funktionen aus gegebenen Eigenschaften bestimmst.
Extrempunkte und Wendepunkte
Extrempunkte findest du ganz systematisch mit zwei Bedingungen. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier ist die Steigung null. Für die hinreichende Bedingung setzt du deine x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du, indem du x in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Wendepunkte funktionieren ähnlich: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung. Für die hinreichende Bedingung brauchst du f'''(x) ≠ 0. Ist f'''(x) > 0, hast du einen Rechts-Links-Wendepunkt, bei f'''(x) < 0 einen Links-Rechts-Wendepunkt.
Merktipp: Hochpunkt = f''(x) < 0 (negativ wie ein Tal nach unten), Tiefpunkt = f''(x) > 0 (positiv wie ein Berg nach oben)
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Extremwertaufgaben
Extremwertaufgaben begegnen dir überall im Alltag - vom optimalen Zaun bis zur kostengünstigsten Verpackung. Das Vorgehen ist immer gleich und total logisch aufgebaut.
Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf und dann die Nebenbedingung (welche Einschränkung gibt es?). Die Nebenbedingung formst du nach einer Variable um und setzt sie in die Hauptbedingung ein.
Jetzt hast du deine Zielfunktion und kannst wie gewohnt Extrempunkte berechnen. Bei Maximierung suchst du einen Hochpunkt, bei Minimierung einen Tiefpunkt. Vergiss nicht, am Ende alle gesuchten Größen zu berechnen und deine Antwort verständlich zu formulieren.
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Ganzrationale Funktionen bestimmen
Steckbriefaufgaben sind wie Rätsel - du bekommst Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Der Trick ist, systematisch vorzugehen und alle Informationen in Gleichungen umzuwandeln.
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Das entstehende Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du ein oder zwei der ursprünglichen Bedingungen überprüfst. So merkst du schnell, ob du einen Fehler gemacht hast.
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Funktionsscharen
Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die sich durch einen Parameter unterscheiden. Statt einer festen Zahl steht da ein Buchstabe wie 'a', der verschiedene Werte annehmen kann.
Bei fa(x) = x² + a verschiebt sich die Parabel je nach Wert von a auf der y-Achse. Ist a = 3, hast du f(x) = x² + 3, ist a = -2, bekommst du f(x) = x² - 2. Der Parameter wird beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt.
Funktionsscharen zeigen dir, wie sich Graphen systematisch verändern. Das ist besonders nützlich, um Zusammenhänge zu verstehen und verschiedene Situationen mit einer einzigen Formel zu beschreiben.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
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Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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