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Klausur 11/1
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ERWARTUNGSHORIZONT
Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfa](https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/gXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_1.webp)
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1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
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BE 5 2 ERWARTUNGSHORIZONT Analysis [33 BE] 1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen. [Der Term der Ableitung muss nicht vereinfacht werden.] a) f(x) = -2² → f'(x) = (x²-3) (-2)-(-2x)-2x (x²-3)² b) g(x)=√√5-x³ g'(x) = 2√/- (-3x²) 2√5-x³ 2. Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f gegeben. a) Begründen Sie kurz, dass die Funxktion g mit g: x → f(x) mit Dg=]0; 4[umkehrbar ist. Da die Funktion f im Intervall ]0; 4[ streng monoton fallend ist, ist sie dort auch umkehrbar (Kriterium für Umkehrbarkeit) Ermitteln Sie aus der Abbildung den Definitionsbereich der zugehörigen Umkehrfunktion g-¹. Dg-1 = 1-20;0[ b) F(x) sei die Stammfunktion von f, deren Graph durch den Punkt P(2|10) verläuft. Skizzieren Sie den Graphen dieser Stammfunktion im gegebenen Koordinatensystem so genau wie möglich. (Extrema, Terrassenpunkte und Wendepunkte müssen - soweit vorhanden - deutlich markiert sein.) TerP, WP, TP, char.Verlauf LL 50 40 30 20 10 -2 0 -10 -20 -30 -40 -50 N 8 Bitte wenden! BE 3. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,1x5-x³ und Df = R. 4 a) Bestimmen Sie die Nullstellen und das Symmetrieverhalten der Funktion. Nullstellen: f(x) = 0 0,1x5-x³ = 0 0,1x³ (x² - 10) = 0 → X1,2,3 = 0; X4 = √10; x5 = -√10 Symmetrie: f(-x) = 0,1(-x)5 - (-x)³ = -(0,1x5-x³) = -f(x) →f ist punktsymmetrisch zum Ursprung; oder Argumentation über Exponenten b) Zeigen Sie, dass der Graph Gf an den Stellen x₁ = 0, x2 = √6 und x3 = -√6 waagrechte -₁ Tangenten besitzt. Begründen...
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Sie ohne Zuhilfenahme der 2. Ableitung, ob an diesen Stellen jeweils ein Hoch-, Tief- oder ein Terrassenpunkt vorliegt. f'(x) = 0,5x¹3x² f'(x) = 0 0,5x4 - 3x² = 0 = 0,5x(x2–6) = 0 → X1,2 = 0; X3,4 = ± √6 An den Stellen, bei denen die 1. Ableitung O ist, liegen waagrechte Tangenten vor. Vorzeichentabelle: f'(x) Gr Alternativ: + x<-√6 steigt x = -√6 0 HP -√6<x <<0 fällt 0 x=0 Terrp 0<x<√6 fällt Doppelte NSt. von f' bei x₁ = 0 ➜ Kein VZW der 1. Abl. →Terrassenpunkt Einfache NSt. von f' bei x₂ = √6 Wegen Punktsymmetrie: HoP bei x3 = -√6 → f'(1) < 0 und f'(3) > 0 → VWZ von - nach + → TIP 1 y = -2,5 x+t P(-110,9) t = 0,9 – 2,5 = -1,6 →y=-2,5x – 1,6 tan a = m-> a = -68,2° x = √6 0 TP + x > √6 c) Weisen Sie nach, dass die Tangente an Gf im Punkt P(-1|f(-1)) die Gleichung y = -2,5x - 1,6 besitzt und bestimmen Sie den Schnittwinkel dieser Tangente mit der x-Achse. f'(-1) = 0,5-1-3-1 = -2,5 Tangentengleichung aufstellen: y = mx + t steigt BE 1 3 4 7 4. Gegeben ist die Funktionenschar få mit fa(x) = x³ - 3x² + 2ax + 5 mit Df = R und a € R. a) Alle Funktionsgraphen Gf der Funktionenschar besitzen einen gemeinsamen Punkt P.Geben Sie die Koordinaten von P an. fa (0) = 5 P (015) b) Ermitteln Sie, für welche Werte des Parameters a die Funktion fa keine Extremstellen besitzt. fa(x) = 3x² - 6x + 2a = 0 Betrachte Diskriminante: Für a >besitzt f keine Extremstellen. c) Zeigen Sie, dass jede Funktion fa genau einen Wendepunkt hat und dieser stets dieselbe x-Koordinate besitzt. Geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts W für a = 2 an. fa'(x) = 6x6 = 0 ⇒ x = 1, unabh. von a! fa" (x) = 60 x = 1 ist Wendestelle f2 (1) = 1-3+4+5=7 → W (117) D = 36-4 3 2a = 36- 24a 36 3 24 36-24a <0⇒a> = Geometrie [16 BE] 5. Die Punkte A(6|6|4), B(16|-2|10) und D(11|10|1) bilden das Dreieck ABD. a) Zeigen Sie, dass Dreieck bei A einen rechten Winkel besitzt, berechnen Sie die Größe der beiden anderen Innenwinkel und geben Sie diese auf eine Nachkommastelle genau an. Das Dreieck hat bei A einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen AB und AD gleich Null ist: Innenwinkel bei B: cos ß = 10 AB AD= -8° 6 -10 5 4 = 50-32-18 = 0 -5 12 -6 BA BD |BA|BD| √100+64 +36 √25 + 144 +81 B≈ 26,57° = 50+96+54 2√//5. √200 √250 Innenwinkel bei C: Elegant über Innenwinkelsumme: y = 180°-90° - 26,57° = 63,43° जाया जा = BE 2 5 2 Nicht-elegant: cos y = DA DB O 3 DA |DB| √25+ 16 + 9 5 1)-(- 12) 9 √25 + 144 +81 →Y ≈ 63,43° b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. 21 16 -2 + 10, = 2 C(21|2|7) C = B + AD = c) Berechnen Sie das Volumen des Spats ABCDEFGH. 5 10 -8 x 6 3). 180+320 = 500 03 Im Folgenden sei noch der Punkt E(61918) gegeben, so dass die Vektoren AB, AD und AE einen Spat aufspannen. = V O = |AB X AD • AE 24-241 30 + 30 40+40, 5 4 = - 10 3 Viel Erfolg! Idee: Spiegle den Spat nach unten": E' = A + EA = 4 = O 3 -25 +48 +27 √50 √250 - 1(60). = 80 d) Geben Sie die Koordinaten eines Punktes E' an, so dass ein zum Spat aus Teilaufgabe c) volumengleicher Spat entsteht. 0. 6+-3 -4 3 3