Kurvendiskussion und Tangenten
Die Nullstellen einer Funktion wie f(x)=0,1x5−x3 findest du, indem du die Gleichung f(x)=0 löst. Achte auf Faktorisierungsmöglichkeiten, um die Berechnung zu vereinfachen. Die Symmetrie einer Funktion erkennst du durch Einsetzen von f(−x): Ist f(−x)=f(x), liegt achsensymmetrisches Verhalten vor; ist f(−x)=−f(x), handelt es sich um eine punktsymmetrische Funktion (Symmetrie zum Ursprung).
Bei der Kurvendiskussion sind die Stellen mit waagrechter Tangente besonders wichtig. Diese findest du durch Nullsetzen der ersten Ableitung: f′(x)=0. Um zwischen Hoch-, Tief- und Terrassenpunkten zu unterscheiden, kannst du eine Vorzeichentabelle der ersten Ableitung erstellen oder das Verhalten der Funktion an den kritischen Stellen untersuchen.
Die Tangentengleichung in einem Punkt Px0∣f(x0) lautet y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) oder in der Form y=mx+t. Der Steigungswinkel der Tangente zur x-Achse lässt sich über tan(α)=m berechnen, wobei m die Steigung der Tangente ist.
⚠️ Verwechsle nicht: Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Bei Extrempunkten wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen!