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•
Aktualisiert Mar 28, 2026
•
jenny
@reijenny
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![ERWARTUNGSHORIZONT
BE
5
Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfac](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FgXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Bei der Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen wie Bruchfunktionen oder Wurzelfunktionen musst du die entsprechenden Ableitungsregeln korrekt anwenden. Für Bruchfunktionen wie nutzt du die Quotientenregel, bei Wurzelfunktionen wie die Kettenregel.
Um zu prüfen, ob eine Funktion umkehrbar ist, achte auf die strenge Monotonie. Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton steigend oder fallend ist. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion.
Bei Stammfunktionen ist es wichtig, die geometrische Bedeutung zu verstehen: Der Graph einer Stammfunktion F(x) ist dort, wo f(x) positiv ist, steigend und dort, wo f(x) negativ ist, fallend. Terrassenpunkte, Wendepunkte und Extrempunkte der Stammfunktion hängen direkt mit dem Verlauf der Ausgangsfunktion zusammen.
💡 Merke: Bei jeder Mathe Klausur in Klasse 11 solltest du die Ableitung einer Funktion auch ohne Taschenrechner bestimmen können. Übe besonders Quotienten- und Kettenregel!
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Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfac](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FgXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Die Nullstellen einer Funktion wie findest du, indem du die Gleichung löst. Achte auf Faktorisierungsmöglichkeiten, um die Berechnung zu vereinfachen. Die Symmetrie einer Funktion erkennst du durch Einsetzen von : Ist , liegt achsensymmetrisches Verhalten vor; ist , handelt es sich um eine punktsymmetrische Funktion (Symmetrie zum Ursprung).
Bei der Kurvendiskussion sind die Stellen mit waagrechter Tangente besonders wichtig. Diese findest du durch Nullsetzen der ersten Ableitung: . Um zwischen Hoch-, Tief- und Terrassenpunkten zu unterscheiden, kannst du eine Vorzeichentabelle der ersten Ableitung erstellen oder das Verhalten der Funktion an den kritischen Stellen untersuchen.
Die Tangentengleichung in einem Punkt P(x₀|f(x₀)) lautet oder in der Form . Der Steigungswinkel der Tangente zur x-Achse lässt sich über berechnen, wobei m die Steigung der Tangente ist.
⚠️ Verwechsle nicht: Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Bei Extrempunkten wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen!
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Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfac](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FgXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
Bei Funktionenscharen kannst du gemeinsame Eigenschaften aller Funktionen der Schar untersuchen. Ein gemeinsamer Punkt aller Graphen lässt sich finden, indem du einen Punkt suchst, dessen y-Koordinate nicht von a abhängt (hier P(0|5)).
Um zu prüfen, ob eine Funktion Extremstellen besitzt, untersuchst du die Diskriminante der Gleichung . Ist die Diskriminante negativ, existieren keine reellen Lösungen und somit keine Extremstellen. Bei quadratischen Ableitungen gilt: Wenn , dann besitzt die Funktion keine Extrempunkte.
Wendepunkte einer Funktion findest du durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: . Bei Funktionenscharen wie ist die zweite Ableitung , die unabhängig von a ist. Daher haben alle Funktionen der Schar den Wendepunkt an derselben x-Koordinate .
💡 Bei jeder Mathe Klausur mit quadratischen Funktionen oder Polynomfunktionen höheren Grades solltest du die Nullstellen und die Symmetrieeigenschaften zuerst bestimmen - das erleichtert die weitere Analyse erheblich!
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Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfac](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FgXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
In der dreidimensionalen Geometrie kannst du mit Vektoren arbeiten, um Eigenschaften von geometrischen Figuren zu bestimmen. Einen rechten Winkel zwischen zwei Vektoren erkennst du am Skalarprodukt: bedeutet, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Die Innenwinkel eines Dreiecks berechnest du mithilfe der Formel . Alternativ kannst du bei bekanntem rechtem Winkel auch die Innenwinkelsumme nutzen, um den dritten Winkel zu berechnen.
Um aus einem Dreieck ein Rechteck zu konstruieren, kannst du den vierten Punkt durch Vektoraddition bestimmen. Wenn beispielsweise ABD ein Dreieck ist und ABCD ein Rechteck sein soll, dann gilt: .
Das Volumen eines Spats (Parallelflächner) berechnest du mit dem gemischten Produkt: . Zwei Spate haben das gleiche Volumen, wenn ihre gemischten Produkte betragsmäßig gleich sind.
💡 Bei Aufgaben zur Vektorrechnung in der Mathe-Klausur hilft dir ein systematisches Vorgehen: Zuerst Vektoren aufstellen, dann gezielt mit Skalar-, Vektor- und gemischtem Produkt arbeiten!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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jenny
@reijenny
Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte der Mathematik für die 11. Klasse, mit Schwerpunkt auf Analysis und Geometrie. Du findest hier Übungen mit Lösungen zu Ableitungen, Funktionssymmetrie, Kurvendiskussion, Tangentenberechnungen und dreidimensionaler Geometrie - alles perfekt geeignet zur Vorbereitung auf deine Mathe-Klausur.
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Analysis [33 BE]
1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
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Bei der Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen wie Bruchfunktionen oder Wurzelfunktionen musst du die entsprechenden Ableitungsregeln korrekt anwenden. Für Bruchfunktionen wie nutzt du die Quotientenregel, bei Wurzelfunktionen wie die Kettenregel.
Um zu prüfen, ob eine Funktion umkehrbar ist, achte auf die strenge Monotonie. Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton steigend oder fallend ist. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion.
Bei Stammfunktionen ist es wichtig, die geometrische Bedeutung zu verstehen: Der Graph einer Stammfunktion F(x) ist dort, wo f(x) positiv ist, steigend und dort, wo f(x) negativ ist, fallend. Terrassenpunkte, Wendepunkte und Extrempunkte der Stammfunktion hängen direkt mit dem Verlauf der Ausgangsfunktion zusammen.
💡 Merke: Bei jeder Mathe Klausur in Klasse 11 solltest du die Ableitung einer Funktion auch ohne Taschenrechner bestimmen können. Übe besonders Quotienten- und Kettenregel!
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1. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.
[Der Term der Ableitung muss nicht vereinfac](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FgXDyJtKRwOTToNOfegaL_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
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Die Nullstellen einer Funktion wie findest du, indem du die Gleichung löst. Achte auf Faktorisierungsmöglichkeiten, um die Berechnung zu vereinfachen. Die Symmetrie einer Funktion erkennst du durch Einsetzen von : Ist , liegt achsensymmetrisches Verhalten vor; ist , handelt es sich um eine punktsymmetrische Funktion (Symmetrie zum Ursprung).
Bei der Kurvendiskussion sind die Stellen mit waagrechter Tangente besonders wichtig. Diese findest du durch Nullsetzen der ersten Ableitung: . Um zwischen Hoch-, Tief- und Terrassenpunkten zu unterscheiden, kannst du eine Vorzeichentabelle der ersten Ableitung erstellen oder das Verhalten der Funktion an den kritischen Stellen untersuchen.
Die Tangentengleichung in einem Punkt P(x₀|f(x₀)) lautet oder in der Form . Der Steigungswinkel der Tangente zur x-Achse lässt sich über berechnen, wobei m die Steigung der Tangente ist.
⚠️ Verwechsle nicht: Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Bei Extrempunkten wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen!
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Bei Funktionenscharen kannst du gemeinsame Eigenschaften aller Funktionen der Schar untersuchen. Ein gemeinsamer Punkt aller Graphen lässt sich finden, indem du einen Punkt suchst, dessen y-Koordinate nicht von a abhängt (hier P(0|5)).
Um zu prüfen, ob eine Funktion Extremstellen besitzt, untersuchst du die Diskriminante der Gleichung . Ist die Diskriminante negativ, existieren keine reellen Lösungen und somit keine Extremstellen. Bei quadratischen Ableitungen gilt: Wenn , dann besitzt die Funktion keine Extrempunkte.
Wendepunkte einer Funktion findest du durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: . Bei Funktionenscharen wie ist die zweite Ableitung , die unabhängig von a ist. Daher haben alle Funktionen der Schar den Wendepunkt an derselben x-Koordinate .
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In der dreidimensionalen Geometrie kannst du mit Vektoren arbeiten, um Eigenschaften von geometrischen Figuren zu bestimmen. Einen rechten Winkel zwischen zwei Vektoren erkennst du am Skalarprodukt: bedeutet, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Die Innenwinkel eines Dreiecks berechnest du mithilfe der Formel . Alternativ kannst du bei bekanntem rechtem Winkel auch die Innenwinkelsumme nutzen, um den dritten Winkel zu berechnen.
Um aus einem Dreieck ein Rechteck zu konstruieren, kannst du den vierten Punkt durch Vektoraddition bestimmen. Wenn beispielsweise ABD ein Dreieck ist und ABCD ein Rechteck sein soll, dann gilt: .
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Dieser Lernzettel behandelt die 1. und 2. Ableitung, Wendepunkte, Extremstellen und Extremwertprobleme. Er bietet eine klare Übersicht über die Berechnung und Interpretation von Ableitungen sowie deren Anwendung in der Graphenanalyse. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe-Klausuren in der Q1.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Sudenaz Ocak
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