Lernzettel Funktionen

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± √√(1)² + 20 X1₁2=- x2=4 x3 = -S Symmetrie Achsensymmetrie - Gerade Exponenten • Bei geraden Exponenten macht das absolute Glied die Symmetrie nicht „kaputt" - Eine ganzrationale Funktion mit nur geraden Exponenten ist immer achsensymmetrisch Bsp. f(x)=x+4x² - 2x² +5 → gerade Funktion ausklammen - Bei ungeraden Exponenten macht das absolute Glied die Symmetrie kaputt"! Achtung! Du kannst nur ausklemmern, wenn jede Zahl ein x dahinter het. p-q Formel |X1₁2 = -√√√(5²-9 + "Achtung! Du kannst erst die pq-Formel nutzen wenn x² alleine steht. Eine ganzrationale Funktion, deren Exponenten ungerade sind, ist punktsymmetrisch (muss durch 0 gehen) Bsp.: g(x) = 5x³-4x²-3x²³ + 2x² +5 → ungerade Funktion 4. 19 x3 Das Verhalten im Unendlichen / Randverhalten Für sehr große x-Werte erhält men sehr große y-Werte. Es gibt keine Begrenzung. Verhalten in das absolute Glied Unendlichen x лу 4 Y Monotonie →X 1-x² X HP Hochpunkt (HP), Tiefpunkt (TP) und Nullstellen GTR HP bestimmen Funktion eingeben. TP bestimmen: NS bestimmen: (1 19 11 f(x) = x + 2x²-3x²+x-5 X mit höchster Potenz lim X-48 f(x)->+∞ lim x->-∞ f(x) -> +∞ 5 lim Xx->+∞ f(x) -> -∞ lim x->-∞ f(x)->-∞ TP -> Draw F5 → MAX 11 -> NS: x1= -1,77 x2= 0,52 x3 = 3,25 HP: x=2,12 y = 7,06 TP: x=-0,79 y = -5,21 -> u U "1 ->>> MIN → ROOT 19 Beispiel Aufgebe Untersuchen Sie mit dem GTR, ob der Graph von f charkteristische Punkte besitzt. f(x)=-x²+2x+5x-3 x3 x lim X -> +00 lim X->-8 f(x)->+00 f(x)->-00 lim x->+∞ f (x) -> -∞ lim x->-∞ f(x) -> +∞ streng Monoton steigend: -∞0 < x <-4 streng Monoton fallend: -4<x<5 streng Monoton steigend: 5<x<+∞0 <heißt nur linker Wert zum rechten Wert Transformation a a · f(x) = (bx-c)" + d www Beispiel Aufgabe 1. Aufgabe f(x)=x²-x² Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung einer Funktion 9 an, deren Graph gegenüber derjenigen (1) um vier Einheiten nach oben verschoben wurde. g(x)=x²-x² + 4 (2) um zwei Einheiten nach links verschoben wurde. ) = (x+2)³ = (x+2)² g(x) = (3) um den Faktor 6 gestreckt worden ist. g(x)= x³-x² g(x)= 6x² - 6x² *bx kommt nicht in der Arbeit vor 1.6 (Hoch- und Tiefpunkte verändern sich) Achtung! x³ Muss so alleine stehen bei 2x²³ muss die ganz Funktion 2 gerechnet werden nach rechts = nach links = + 2 2. Aufgabe Gegeben ist eine Funktion t mit t(x) = x ³ + 2x² + x Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph vont gegenüber dem von f um eine Einheit nach links verschoben ist. f(x)=x²-x² t(x) = x³ + 2x²+x f(x) = (x + 1)²³ - (x + 1)² <=> x² + 3x² + 3x +1 − ( x² + 2x + 1) * <=> x³ + 3x² + 3x + 1-x²-2x-1 <=> x³ + 2x² + x = t(x) gestaucht: 0>a<1 gestreckt: a1 von (x+1)(x+1), (x+1) (x+1)²(x+1) 1. Binomische Formel (a+b)² = a ² + 2ab + b² (x + 1)² = (x+1)· (x+1) * * wenn Klammer aufgelöst wird dann umgekehrtes Vorzeichen f Merke: x.x = x² =x.x+x+1x + 1.1 = x² + 1x + √x+1² = x² + 2x + 1 (x²+2x+1) · (x+1)* = x³ + 2x² + x + x² + 2x+1 = x³ + 3x² + 3x + 1 * Kurze Erklärung (x²+2x+1) · (x+1) Mittlere Änderungsrate / Mittlere Steigung Beispiel Aufgabe 1. Aufgabe Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f im Intervall I mithilfe des Graphen. a) a) I = [-1; 1] bl (d) b) I-[-1; 0] c) I= [1; 3] LA.. d) I-[-2; -0,5] = 0,5.0² = 0 P₁ (010) 1= [-1₁1] immer die x-Werte P₁(-18) P₂ (12) 62-91 MS = x2-X1 Ms = ₁-1=1-(-1) == 0 [-1;0] P₁ (-11-1) P₂ (010) Ms = 42-41=0=(-1) == 1 [1;3] P₁ (111) P₂(313) Ms = 42-44 = -3-1-²/²2 - 1 [-2₁-05] P₁(-21-1) P₂1-0,51-41 -4-4-4--0₁5-(-2) Ms= f(x)=0,5x² = 0,5-2² = 2 B₂1212) 荐 2. Aufgebe Geben Sie die Funktionen f und g mit f(x) = 0,5x² und g(x) = 3x²³ +1. Bestimmen Sie jeweils den Differenzenquotienten im Intervall I. al 1 = [0₁2] X1=0 x₂=2 f(x)=0,5x² f(x)=0,5x² 2-0 = 2 = 1 ==-2 g(x) = 3x³ +1 g(x) = 3x³ +1 =3.0³+1 P₁(011) Formel für Steigung 42-44444 MS=x2-x1 MS=x2-X1 g(x)=3x³ +1 = 3·2³+1 = 25 Pal2125) - 42-41-25-1 = 24 = 24