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Mathe
3. Dez. 2025
577
5 Seiten
Maily @maily_1412
Dieser Leitfaden erklärt grundlegende Konzepte zu Funktionen in der Mathematik, einschließlich:
Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, insbesondere Nullstellen.
Definition Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.
Es werden mehrere Beispielaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen präsentiert
Highlight Bei der Nullstellenberechnung ist es oft hilfreich, die Funktion zu faktorisieren oder die p-q-Formel anzuwenden.
Der Abschnitt behandelt auch die Symmetrie von Funktionen
Example f(x) = x⁴ + 4x² - 2x² + 5 ist eine gerade Funktion und achsensymmetrisch.
Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis des Verhaltens quadratischer Funktionen und die Berechnung von Schnittpunkten.
Dieser Abschnitt befasst sich mit dem Verhalten im Unendlichen von Funktionen und ihrer Monotonie.
Definition Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte entwickeln.
Es werden verschiedene Möglichkeiten für das Verhalten im Unendlichen vorgestellt
Example Für f(x) = x³ + 2x² - 3x² + x - 5 gilt lim x→+∞ f(x) → +∞ und lim x→-∞ f(x) → -∞
Der Abschnitt erklärt auch, wie man Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen mit einem Grafikrechner (GTR) bestimmen kann
Highlight Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen und der Monotonie ist entscheidend für das Verständnis des Gesamtverhaltens einer Funktion.
Eine Beispielaufgabe zeigt die Untersuchung der Funktion f(x) = -x³ + 2x² + 5x - 3 mit dem GTR
Diese Analyse hilft beim Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und beim Verstehen des Verhaltens im Unendlichen von e-Funktionen und anderen Funktionstypen.
Dieser Abschnitt behandelt die Transformation von Funktionen, ein wichtiges Konzept zum Verständnis, wie sich Funktionsgraphen verändern.
Definition Die Transformation einer Funktion beschreibt, wie sich der Graph einer Funktion durch bestimmte Operationen verändert.
Es wird die allgemeine Form a · f + d vorgestellt, wobei
Example Für f(x) = x³ - x²
- g(x) = x³ - x² + 4 verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach oben
- g(x) = ³ - ² verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach links
- g(x) = 6x³ - 6x² streckt den Graphen um den Faktor 6
Wichtige Regeln für Transformationen
Highlight Bei der Transformation von Funktionen ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten.
Eine Beispielaufgabe zeigt, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass der Graph von t(x) = x³ + 2x² + x gegenüber f(x) = x³ - x² um eine Einheit nach links verschoben ist.
Diese Konzepte sind besonders nützlich für das Verständnis von Funktionswerten und Argumenten sowie für die Berechnung von Schnittpunkten quadratischer Funktionen.
Der letzte Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate, auch bekannt als mittlere Steigung.
Definition Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.
Die Formel für die mittlere Steigung (MS) lautet
MS = /
Example Für das Intervall und die Funktion f(x) = x² MS = / (1 - (-1)) = (1 - 1) / 2 = 0
Der Abschnitt enthält mehrere Beispielaufgaben zur Berechnung der mittleren Änderungsrate für verschiedene Intervalle
Highlight Die Berechnung der mittleren Änderungsrate ist besonders wichtig für das Verständnis des Funktionsverhaltens in bestimmten Bereichen.
Diese Konzepte sind nützlich für Übungen zum Berechnen von Funktionswerten und helfen beim Verständnis des Verhaltens von Funktionen in verschiedenen Intervallen.
Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen von Funktionen, insbesondere Funktionsgrade und die Berechnung von Funktionswerten.
Definition Der Grad einer Funktion wird durch die höchste Potenz in der Funktionsgleichung bestimmt.
Es werden verschiedene Funktionstypen vorgestellt, darunter lineare, quadratische und kubische Funktionen. Eine wichtige Regel wird hervorgehoben
Highlight Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen.
Der Abschnitt enthält auch ein Beispiel zur Berechnung von Funktionswerten
Für die Funktion f(x) = 3x² - 4x + 6 wird der Funktionswert für x = 3 berechnet f(3) = 3 · 3² - 4 · 3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21
Vocabulary Funktionswert berechnen bedeutet, einen bestimmten x-Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen und das Ergebnis zu ermitteln.
Zusätzlich wird die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen eingeführt
Example x₁,₂ = -p/2 ± √
Diese Formel ist besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen.
In der Mathematik ist eine Funktion eine Zuordnung, die jedem Wert einer Definitionsmenge genau einen Wert einer Zielmenge zuordnet. Eine Funktion leicht erklärt ist wie eine Maschine, die Eingabewerte in Ausgabewerte umwandelt. Um die Eigenschaften zu erkennen, achtest du auf den Grad der Funktion (höchste Potenz), mögliche Symmetrien (gerade oder ungerade Funktionen) und das Verhalten im Unendlichen. Bei geraden Exponenten hast du oft Achsensymmetrie, bei ungeraden Exponenten kann Punktsymmetrie vorliegen – sofern kein absolutes Glied die Symmetrie stört.
Um einen Funktionswert zu berechnen, setzt du einfach den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und rechnest aus. Zum Beispiel bei f(x) = 3x² - 4x + 6 und x = 3 ist f(3) = 3·3² - 4·3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21. Der Funktionswert berechnen hilft dir, Punkte des Graphen zu bestimmen, die dann als Koordinaten (x|f(x)) dargestellt werden. Funktionswerte zeigen dir, wie hoch oder tief der Graph an bestimmten Stellen verläuft, und helfen dir, wichtige Punkte wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Nullstellen quadratischer Funktionen zu identifizieren.
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 gilt, also wo der Graph die x-Achse schneidet. Um Nullstellen berechnen zu können, musst du die Gleichung f(x) = 0 lösen, was je nach Funktionstyp unterschiedlich sein kann. Bei linearen Funktionen löst du einfach eine Gleichung, bei quadratischen Funktionen verwendest du die p-q-Formel. Die Schnittpunkte berechnen mit der y-Achse ist hingegen einfacher - du setzt einfach x = 0 ein und berechnest f(0). Der Hauptunterschied ist also: Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse (0|y), während der y-Achsenschnittpunkt bei (0|f(0)) liegt.
Das Verhalten im Unendlichen einer Funktion wird hauptsächlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei einer ganzrationalen Funktion wie f(x) = x³ + 2x² - 3x + 5 schaust du nur auf das x³. Ist der Koeffizient positiv und der Exponent ungerade (wie bei x³), dann gilt: für x→+∞ strebt f(x)→+∞ und für x→-∞ strebt f(x)→-∞. Bei negativem Koeffizienten oder geraden Exponenten gelten andere Verhalten im Unendlichen Beispiel-Regeln. Diese Analyse hilft dir, den groben Verlauf des Graphen auch ohne Taschenrechner zu verstehen und zu skizzieren.
Mathe verstehen - Funktionen und ihre Eigenschaften von Stefan Schumann, Klett 2021, Lehrbuch, Umfassende Einführung in Funktionen mit leicht verständlichen Erklärungen zu Nullstellen, Schnittpunkten und Monotonie - Link
Mathematik für die Oberstufe - Funktionen leicht erklärt von Maria Weber und Thomas Klein, Cornelsen 2022, Arbeitsbuch, Übungsaufgaben und ausführliche Erklärungen zu Funktionswerten, quadratischen Funktionen und Verhalten im Unendlichen - Link
Funktionsuntersuchung Schritt für Schritt von Jens Müller, Stark Verlag 2020, Übungsheft, Enthält spezielle Übungen zu Nullstellen berechnen, Schnittpunkten und Transformation von Funktionen - Link
Mathematik Abitur - Ganzrationale Funktionen von der Bildungsserver-Redaktion, 2023, Online-Ressource, Kostenlose Materialien mit Erklärungen und interaktiven Übungen zu Funktionswerten und dem Verhalten im Unendlichen - Link
Erstelle ein "Funktionen-Tagebuch": Fotografiere drei alltägliche Situationen, die sich als Funktionen darstellen lassen (z.B. Wasserverbrauch über Zeit, Temperaturverlauf eines Tages) und modelliere diese mathematisch.
Entwickle eine Mindmap zu Transformationen von Funktionen: Zeichne jeweils den Graphen einer Grundfunktion und dessen Veränderung bei Verschiebung, Streckung und Spiegelung, um die Zusammenhänge visuell zu verstehen.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Wendepunkten, Extrempunkten und der Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf Matheprüfungen, werden wichtige Konzepte wie Symmetrie, Steigung und charakteristische Punkte detailliert erklärt. Enthält auch praktische Anwendungsbeispiele und Aufgaben zur Vertiefung des Verständnisses.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich Symmetrie, Transformationen, Nullstellen, Krümmungsverhalten, Tangenten, Ableitungen sowie Wendepunkte und Sattelpunkte. Zudem werden Extremwertaufgaben und die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen detailliert erklärt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in Mathematik vertiefen möchten.
MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
Maily
@maily_1412
Dieser Leitfaden erklärt grundlegende Konzepte zu Funktionen in der Mathematik, einschließlich:
Wichtige Punkte:
• Erläuterung verschiedener Funktionstypen (linear, quadratisch, kubisch etc.)
• Berechnung... Mehr anzeigen
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Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, insbesondere Nullstellen.
Definition: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.
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Highlight: Bei der Nullstellenberechnung ist es oft hilfreich, die Funktion zu faktorisieren oder die p-q-Formel anzuwenden.
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Example: f(x) = x⁴ + 4x² - 2x² + 5 ist eine gerade Funktion und achsensymmetrisch.
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Dieser Abschnitt befasst sich mit dem Verhalten im Unendlichen von Funktionen und ihrer Monotonie.
Definition: Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte entwickeln.
Es werden verschiedene Möglichkeiten für das Verhalten im Unendlichen vorgestellt:
Example: Für f(x) = x³ + 2x² - 3x² + x - 5 gilt: lim x→+∞ f(x) → +∞ und lim x→-∞ f(x) → -∞
Der Abschnitt erklärt auch, wie man Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen mit einem Grafikrechner (GTR) bestimmen kann:
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen und der Monotonie ist entscheidend für das Verständnis des Gesamtverhaltens einer Funktion.
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Dieser Abschnitt behandelt die Transformation von Funktionen, ein wichtiges Konzept zum Verständnis, wie sich Funktionsgraphen verändern.
Definition: Die Transformation einer Funktion beschreibt, wie sich der Graph einer Funktion durch bestimmte Operationen verändert.
Es wird die allgemeine Form a · f + d vorgestellt, wobei:
Example: Für f(x) = x³ - x²:
- g(x) = x³ - x² + 4 verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach oben
- g(x) = ³ - ² verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach links
- g(x) = 6x³ - 6x² streckt den Graphen um den Faktor 6
Wichtige Regeln für Transformationen:
Highlight: Bei der Transformation von Funktionen ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten.
Eine Beispielaufgabe zeigt, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass der Graph von t(x) = x³ + 2x² + x gegenüber f(x) = x³ - x² um eine Einheit nach links verschoben ist.
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Der letzte Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate, auch bekannt als mittlere Steigung.
Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.
Die Formel für die mittlere Steigung (MS) lautet:
MS = /
Example: Für das Intervall und die Funktion f(x) = x²: MS = / (1 - (-1)) = (1 - 1) / 2 = 0
Der Abschnitt enthält mehrere Beispielaufgaben zur Berechnung der mittleren Änderungsrate für verschiedene Intervalle:
Highlight: Die Berechnung der mittleren Änderungsrate ist besonders wichtig für das Verständnis des Funktionsverhaltens in bestimmten Bereichen.
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Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen von Funktionen, insbesondere Funktionsgrade und die Berechnung von Funktionswerten.
Definition: Der Grad einer Funktion wird durch die höchste Potenz in der Funktionsgleichung bestimmt.
Es werden verschiedene Funktionstypen vorgestellt, darunter lineare, quadratische und kubische Funktionen. Eine wichtige Regel wird hervorgehoben:
Highlight: Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen.
Der Abschnitt enthält auch ein Beispiel zur Berechnung von Funktionswerten:
Für die Funktion f(x) = 3x² - 4x + 6 wird der Funktionswert für x = 3 berechnet: f(3) = 3 · 3² - 4 · 3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21
Vocabulary: Funktionswert berechnen bedeutet, einen bestimmten x-Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen und das Ergebnis zu ermitteln.
Zusätzlich wird die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen eingeführt:
Example: x₁,₂ = -p/2 ± √
Diese Formel ist besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen.
In der Mathematik ist eine Funktion eine Zuordnung, die jedem Wert einer Definitionsmenge genau einen Wert einer Zielmenge zuordnet. Eine Funktion leicht erklärt ist wie eine Maschine, die Eingabewerte in Ausgabewerte umwandelt. Um die Eigenschaften zu erkennen, achtest du auf den Grad der Funktion (höchste Potenz), mögliche Symmetrien (gerade oder ungerade Funktionen) und das Verhalten im Unendlichen. Bei geraden Exponenten hast du oft Achsensymmetrie, bei ungeraden Exponenten kann Punktsymmetrie vorliegen – sofern kein absolutes Glied die Symmetrie stört.
Um einen Funktionswert zu berechnen, setzt du einfach den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und rechnest aus. Zum Beispiel bei f(x) = 3x² - 4x + 6 und x = 3 ist f(3) = 3·3² - 4·3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21. Der Funktionswert berechnen hilft dir, Punkte des Graphen zu bestimmen, die dann als Koordinaten (x|f(x)) dargestellt werden. Funktionswerte zeigen dir, wie hoch oder tief der Graph an bestimmten Stellen verläuft, und helfen dir, wichtige Punkte wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Nullstellen quadratischer Funktionen zu identifizieren.
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 gilt, also wo der Graph die x-Achse schneidet. Um Nullstellen berechnen zu können, musst du die Gleichung f(x) = 0 lösen, was je nach Funktionstyp unterschiedlich sein kann. Bei linearen Funktionen löst du einfach eine Gleichung, bei quadratischen Funktionen verwendest du die p-q-Formel. Die Schnittpunkte berechnen mit der y-Achse ist hingegen einfacher - du setzt einfach x = 0 ein und berechnest f(0). Der Hauptunterschied ist also: Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse (0|y), während der y-Achsenschnittpunkt bei (0|f(0)) liegt.
Das Verhalten im Unendlichen einer Funktion wird hauptsächlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei einer ganzrationalen Funktion wie f(x) = x³ + 2x² - 3x + 5 schaust du nur auf das x³. Ist der Koeffizient positiv und der Exponent ungerade (wie bei x³), dann gilt: für x→+∞ strebt f(x)→+∞ und für x→-∞ strebt f(x)→-∞. Bei negativem Koeffizienten oder geraden Exponenten gelten andere Verhalten im Unendlichen Beispiel-Regeln. Diese Analyse hilft dir, den groben Verlauf des Graphen auch ohne Taschenrechner zu verstehen und zu skizzieren.
Mathe verstehen - Funktionen und ihre Eigenschaften von Stefan Schumann, Klett 2021, Lehrbuch, Umfassende Einführung in Funktionen mit leicht verständlichen Erklärungen zu Nullstellen, Schnittpunkten und Monotonie - Link
Mathematik für die Oberstufe - Funktionen leicht erklärt von Maria Weber und Thomas Klein, Cornelsen 2022, Arbeitsbuch, Übungsaufgaben und ausführliche Erklärungen zu Funktionswerten, quadratischen Funktionen und Verhalten im Unendlichen - Link
Funktionsuntersuchung Schritt für Schritt von Jens Müller, Stark Verlag 2020, Übungsheft, Enthält spezielle Übungen zu Nullstellen berechnen, Schnittpunkten und Transformation von Funktionen - Link
Mathematik Abitur - Ganzrationale Funktionen von der Bildungsserver-Redaktion, 2023, Online-Ressource, Kostenlose Materialien mit Erklärungen und interaktiven Übungen zu Funktionswerten und dem Verhalten im Unendlichen - Link
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Entdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich Symmetrie, Transformationen, Nullstellen, Krümmungsverhalten, Tangenten, Ableitungen sowie Wendepunkte und Sattelpunkte. Zudem werden Extremwertaufgaben und die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen detailliert erklärt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in Mathematik vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
