Schnittpunkte und Nullstellen

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, insbesondere Nullstellen.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Es werden mehrere Beispielaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen präsentiert:

1. Für f(x) = (x+3)(x-5)(x+7)² werden die Nullstellen x₁ = -3, x₂ = 5 und x₃ = -7 berechnet.
2. Bei f(x) = x³ - 41x² + 400x wird gezeigt, dass x₁ = 0, x₂ = 25 und x₃ = 16 die Nullstellen sind.
3. Für f(x) = 0,5x² - x - 4 werden die Nullstellen x₁ = 4 und x₂ = -2 ermittelt.

Highlight: Bei der Nullstellenberechnung ist es oft hilfreich, die Funktion zu faktorisieren oder die p-q-Formel anzuwenden.

Der Abschnitt behandelt auch die Symmetrie von Funktionen:

• Achsensymmetrie tritt bei Funktionen mit geraden Exponenten auf.
• Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) findet sich bei Funktionen mit ungeraden Exponenten.

Example: f(x) = x⁴ + 4x² - 2x² + 5 ist eine gerade Funktion und achsensymmetrisch.

Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis des Verhaltens quadratischer Funktionen und die Berechnung von Schnittpunkten.

Transformation von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Transformation von Funktionen, ein wichtiges Konzept zum Verständnis, wie sich Funktionsgraphen verändern.

Definition: Die Transformation einer Funktion beschreibt, wie sich der Graph einer Funktion durch bestimmte Operationen verändert.

Es wird die allgemeine Form a · f(bx - c) + d vorgestellt, wobei:

• a die Streckung oder Stauchung beeinflusst
• b die horizontale Streckung oder Stauchung bestimmt
• c die horizontale Verschiebung angibt
• d die vertikale Verschiebung festlegt

Example: Für f(x) = x³ - x²:

1. g(x) = x³ - x² + 4 verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach oben
2. g(x) = (x+2)³ - (x+2)² verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach links
3. g(x) = 6x³ - 6x² streckt den Graphen um den Faktor 6

Wichtige Regeln für Transformationen:

• Verschiebung nach rechts: -c innerhalb der Klammer
• Verschiebung nach links: +c innerhalb der Klammer
• Streckung: a > 1
• Stauchung: 0 < a < 1

Highlight: Bei der Transformation von Funktionen ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten.

Eine Beispielaufgabe zeigt, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass der Graph von t(x) = x³ + 2x² + x gegenüber f(x) = x³ - x² um eine Einheit nach links verschoben ist.

Diese Konzepte sind besonders nützlich für das Verständnis von Funktionswerten und Argumenten sowie für die Berechnung von Schnittpunkten quadratischer Funktionen.