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Mathe
7. Dez. 2025
956
5 Seiten
Clara @clara_mnnv
Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von Bakterien bis hin zu deinem Sparguthaben mit Zinsen.... Mehr anzeigen
Die Grundformel einer Exponentialfunktion ist f(x) = c · aˣ, wobei c der Startwert, a die Basis und x der Exponent ist. Je nach Basis verhält sich deine Funktion unterschiedlich Ist a > 1, steigt die Funktion, ist a < 1, fällt sie.
Die e-Funktion ist besonders wichtig, weil eˣ niemals null oder negativ wird - sie ist immer größer als null. Das macht sie perfekt für natürliche Wachstumsprozesse. Merke dir e⁰ = 1 und e¹ = e.
Beim Ableiten brauchst du die Kettenregel Für f(x) = e^ ist f'(x) = m · e^. Bei komplizierteren Funktionen wie x² · e³ˣ verwendest du die Produktregel f'(x) = u' · v + u · v'.
Tipp Auf dem Taschenrechner findest du log (Basis 10), ln (Basis e) und log□ (variable Basis) - das wird dir beim Lösen von Exponentialgleichungen helfen!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Aber Achtung e-Funktionen haben keine Nullstellen! Sie nähern sich nur der x-Achse an (asymptotisches Verhalten). Den y-Achsenabschnitt bekommst du, wenn du x = 0 einsetzt.
Das Verhalten im Unendlichen folgt klaren Regeln Für x → ∞ geht eˣ → ∞ und e⁻ˣ → 0. Für x → -∞ ist es umgekehrt eˣ → 0 und e⁻ˣ → ∞.
Bei Grenzwerten entscheidet der größte Exponent über das Wachstum, und die e-Funktion dominiert immer andere Terme. Wenn du einen Bruch wie 2/eˣ hast, geht dieser gegen 0.
Merkhilfe Bei Grenzwerten mit -∞ -∞ · ∞ = -∞, aber -∞ · (-∞) = ∞!
Für Symmetrie setzt du -x für x ein Ist f = f(x), dann ist die Funktion achsensymmetrisch. Ist f = -f(x), dann punktsymmetrisch. Meist sind Exponentialfunktionen aber nicht symmetrisch.
Extrempunkte findest du über die erste Ableitung f'(x) = 0 setzen, Nullstellen suchen, dann mit der zweiten Ableitung prüfen. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt, ist f''(x) < 0, einen Hochpunkt.
Wendepunkte berechnest du mit f''(x) = 0. Die dritte Ableitung entscheidet Ist f'''(x) ≠ 0, hast du tatsächlich einen Wendepunkt. Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x) > 0 bedeutet linkskrümming, < 0 rechtskrümming.
Prüfungstipp Vergiss nicht, nach dem Berechnen der x-Werte diese auch in f(x) einzusetzen, um die y-Koordinaten zu finden!
Bei einem gegebenen Punkt nimmst du die allgemeine Form f(x) = a·e^(kx) und setzt die Koordinaten ein. Dann löst du nach k auf, meist mit dem natürlichen Logarithmus. Bei nur einem Punkt geht die Funktion normalerweise durch (0|1).
Mit zwei Punkten stellst du zwei Gleichungen auf und löst das Gleichungssystem. Bei der Form f(x) = c·aˣ löst du die erste Gleichung nach c auf und setzt das Ergebnis in die zweite ein.
Wichtig Die Basis a muss immer größer als null und ungleich eins sein. Negative Werte für a sind bei Exponentialfunktionen nicht erlaubt.
Kontrolltipp Setze deine gefundenen Werte zurück in die ursprünglichen Punkte ein - so checkst du schnell, ob alles stimmt!
Unbegrenztes Wachstum beschreibst du mit N(t) = N(0)·e^(kt), unbegrenzten Zerfall mit N(t) = N(0)·e^. Hier ist N(0) der Anfangswert, k die Wachstums-/Zerfallsrate und t die Zeit.
Begrenztes Wachstum hat eine Obergrenze G N(t) = G - c·e^ mit c = G - N(0). Begrenzter Zerfall hat eine Untergrenze N(t) = G + c·e^.
Diese Modelle findest du überall Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall, Abkühlung von Kaffee oder Populationsdynamik. Der Parameter k bestimmt, wie schnell der Prozess abläuft.
Anwendungstipp In Textaufgaben erkennst du begrenztes Wachstum an Begriffen wie "Sättigungsgrenze" oder "maximale Kapazität"!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Wendepunkten, Extrempunkten und der Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf Matheprüfungen, werden wichtige Konzepte wie Symmetrie, Steigung und charakteristische Punkte detailliert erklärt. Enthält auch praktische Anwendungsbeispiele und Aufgaben zur Vertiefung des Verständnisses.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich Symmetrie, Transformationen, Nullstellen, Krümmungsverhalten, Tangenten, Ableitungen sowie Wendepunkte und Sattelpunkte. Zudem werden Extremwertaufgaben und die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen detailliert erklärt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie alles über Funktionenscharen, deren Parameter und die Berechnung von Nullstellen und Extrema. Diese Zusammenfassung bietet Definitionen, Beispiele und wichtige Konzepte wie Monotonie und die Analyse von Funktionen in Abhängigkeit von Scharparametern. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Clara
@clara_mnnv
Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von Bakterien bis hin zu deinem Sparguthaben mit Zinsen. Sie beschreiben Prozesse, die exponentiell wachsen oder schrumpfen, und sind ein wichtiger Baustein für dein Mathe-Abitur.
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Die Grundformel einer Exponentialfunktion ist f(x) = c · aˣ, wobei c der Startwert, a die Basis und x der Exponent ist. Je nach Basis verhält sich deine Funktion unterschiedlich: Ist a > 1, steigt die Funktion, ist a < 1, fällt sie.
Die e-Funktion ist besonders wichtig, weil eˣ niemals null oder negativ wird - sie ist immer größer als null. Das macht sie perfekt für natürliche Wachstumsprozesse. Merke dir: e⁰ = 1 und e¹ = e.
Beim Ableiten brauchst du die Kettenregel: Für f(x) = e^ ist f'(x) = m · e^. Bei komplizierteren Funktionen wie x² · e³ˣ verwendest du die Produktregel: f'(x) = u' · v + u · v'.
Tipp: Auf dem Taschenrechner findest du log (Basis 10), ln (Basis e) und log□ (variable Basis) - das wird dir beim Lösen von Exponentialgleichungen helfen!
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Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Aber Achtung: e-Funktionen haben keine Nullstellen! Sie nähern sich nur der x-Achse an (asymptotisches Verhalten). Den y-Achsenabschnitt bekommst du, wenn du x = 0 einsetzt.
Das Verhalten im Unendlichen folgt klaren Regeln: Für x → ∞ geht eˣ → ∞ und e⁻ˣ → 0. Für x → -∞ ist es umgekehrt: eˣ → 0 und e⁻ˣ → ∞.
Bei Grenzwerten entscheidet der größte Exponent über das Wachstum, und die e-Funktion dominiert immer andere Terme. Wenn du einen Bruch wie 2/eˣ hast, geht dieser gegen 0.
Merkhilfe: Bei Grenzwerten mit -∞: -∞ · ∞ = -∞, aber -∞ · (-∞) = ∞!
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Für Symmetrie setzt du -x für x ein: Ist f = f(x), dann ist die Funktion achsensymmetrisch. Ist f = -f(x), dann punktsymmetrisch. Meist sind Exponentialfunktionen aber nicht symmetrisch.
Extrempunkte findest du über die erste Ableitung: f'(x) = 0 setzen, Nullstellen suchen, dann mit der zweiten Ableitung prüfen. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt, ist f''(x) < 0, einen Hochpunkt.
Wendepunkte berechnest du mit f''(x) = 0. Die dritte Ableitung entscheidet: Ist f'''(x) ≠ 0, hast du tatsächlich einen Wendepunkt. Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): > 0 bedeutet linkskrümming, < 0 rechtskrümming.
Prüfungstipp: Vergiss nicht, nach dem Berechnen der x-Werte diese auch in f(x) einzusetzen, um die y-Koordinaten zu finden!
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Unbegrenztes Wachstum beschreibst du mit N(t) = N(0)·e^(kt), unbegrenzten Zerfall mit N(t) = N(0)·e^. Hier ist N(0) der Anfangswert, k die Wachstums-/Zerfallsrate und t die Zeit.
Begrenztes Wachstum hat eine Obergrenze G: N(t) = G - c·e^ mit c = G - N(0). Begrenzter Zerfall hat eine Untergrenze: N(t) = G + c·e^.
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Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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