Differenzieren leicht gemacht: Änderungsraten und Normale berechnen

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Larissa

29.3.2021

Mathe

Lokales und globales differenzieren

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Differenzieren leicht gemacht: Änderungsraten und Normale berechnen

Die Differentialrechnung umfasst lokale und globale Änderungsraten, wobei der Differenzenquotient eine zentrale Rolle spielt. Wichtige Konzepte sind:

Mittlere Änderungsrate und ihre Berechnung im Intervall
Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen
Ableitungsfunktionen und ihre Eigenschaften
Grundlegende Ableitungsregeln
Stammfunktionen und ihre Bedeutung

Diese Themen bilden die Grundlage für das Verständnis von Differenzierbarkeit und stetigen Funktionen in der Analysis.

29.3.2021

LOKALES und GLOBALES DIFFERENZIEREN
Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
Definition:
Ist die Funktion f auf dem Intervall [a; b] d

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Tangente und Normale

Tangenten und Normalen sind wichtige geometrische Konzepte in der Differentialrechnung, die eng mit der Ableitung einer Funktion verbunden sind.

Definition: Eine Normale ist die Gerade, die senkrecht zur Tangente in einem Berührpunkt steht.

Die Beziehung zwischen Tangente und Normale wird durch ihre Steigungen ausgedrückt:

Formel: m_n · m_t = -1, wobei m_n die Steigung der Normalen und m_t die Steigung der Tangente ist.

Example: Für die Funktion f $x$ = x² kann man die Tangenten- und Normalengleichung im Punkt P $1,1$ wie folgt berechnen:

Tangentengleichung: y = 2x - 1

Normalengleichung: y = -1/2x + 3/2

Diese Beispielrechnung zeigt, wie man Tangente und Normale berechnen kann und verdeutlicht die praktische Anwendung der Normale Tangente Formel.

Highlight: Die Fähigkeit, Tangenten und Normalen zu bestimmen, ist entscheidend für viele Anwendungen in der Analysis und Geometrie.

Die Ableitungsfunktion f' $x$ spielt eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Tangenten, da sie jedem Punkt die Steigung der Tangente in diesem Punkt zuordnet.

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Ableitungsregeln und Stammfunktionen

Die Differentialrechnung basiert auf verschiedenen Ableitungsregeln, die es ermöglichen, komplexe Funktionen effizient abzuleiten.

Definition: Die Ableitungsfunktion f' $x$ einer Funktion f $x$ ordnet jeder Stelle x, an der f differenzierbar ist, den Wert der Steigung der Tangente in P $x,f(x$ ) zu.

Wichtige Ableitungsregeln sind:

Summenregel: $g(x$ + h $x$ )' = g' $x$ + h' $x$
Faktorregel: $c · g(x$ )' = c · g' $x$
Produktregel: $u(x$ · v $x$ )' = u' $x$ · v $x$ + u $x$ · v' $x$
Quotientenregel: $u(x$ /v $x$ )' = $u'(x$ · v $x$ - u $x$ · v' $x$ ) / $v(x)$ ²

Highlight: Diese Regeln sind essentiell, um Differenzierbarkeit zu prüfen und komplexe Funktionen abzuleiten.

Example: Die Ableitung von f $x$ = 4x³ - 3x² - x - 4 ist f' $x$ = 12x² - 6x - 1.

Stammfunktionen sind das Gegenstück zu Ableitungen:

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn F und f denselben Definitionsbereich besitzen und gilt: F' $x$ = f $x$ .

Vocabulary: "Aufleiten" bezeichnet den Prozess, eine Stammfunktion zu finden.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von Differenzierbarkeit und Stetigkeit in der Analysis und bilden die Grundlage für weiterführende Themen wie Integralrechnung.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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29. März 2021

•

3 Seiten

Differenzieren leicht gemacht: Änderungsraten und Normale berechnen

Larissa

@liss.a

Die Differentialrechnung umfasst lokale und globale Änderungsraten, wobei der Differenzenquotient eine zentrale Rolle spielt. Wichtige Konzepte sind:

Mittlere Änderungsrate und ihre Berechnung im Intervall
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Grundlegende Ableitungsregeln
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Tangente und Normale

Tangenten und Normalen sind wichtige geometrische Konzepte in der Differentialrechnung, die eng mit der Ableitung einer Funktion verbunden sind.

Definition: Eine Normale ist die Gerade, die senkrecht zur Tangente in einem Berührpunkt steht.

Die Beziehung zwischen Tangente und Normale wird durch ihre Steigungen ausgedrückt:

Formel: m_n · m_t = -1, wobei m_n die Steigung der Normalen und m_t die Steigung der Tangente ist.

Example: Für die Funktion f $x$ = x² kann man die Tangenten- und Normalengleichung im Punkt P $1,1$ wie folgt berechnen:

Tangentengleichung: y = 2x - 1

Normalengleichung: y = -1/2x + 3/2

Diese Beispielrechnung zeigt, wie man Tangente und Normale berechnen kann und verdeutlicht die praktische Anwendung der Normale Tangente Formel.

Highlight: Die Fähigkeit, Tangenten und Normalen zu bestimmen, ist entscheidend für viele Anwendungen in der Analysis und Geometrie.

Die Ableitungsfunktion f' $x$ spielt eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Tangenten, da sie jedem Punkt die Steigung der Tangente in diesem Punkt zuordnet.

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Ableitungsregeln und Stammfunktionen

Die Differentialrechnung basiert auf verschiedenen Ableitungsregeln, die es ermöglichen, komplexe Funktionen effizient abzuleiten.

Definition: Die Ableitungsfunktion f' $x$ einer Funktion f $x$ ordnet jeder Stelle x, an der f differenzierbar ist, den Wert der Steigung der Tangente in P $x,f(x$ ) zu.

Wichtige Ableitungsregeln sind:

Summenregel: $g(x$ + h $x$ )' = g' $x$ + h' $x$
Faktorregel: $c · g(x$ )' = c · g' $x$
Produktregel: $u(x$ · v $x$ )' = u' $x$ · v $x$ + u $x$ · v' $x$
Quotientenregel: $u(x$ /v $x$ )' = $u'(x$ · v $x$ - u $x$ · v' $x$ ) / $v(x)$ ²

Highlight: Diese Regeln sind essentiell, um Differenzierbarkeit zu prüfen und komplexe Funktionen abzuleiten.

Example: Die Ableitung von f $x$ = 4x³ - 3x² - x - 4 ist f' $x$ = 12x² - 6x - 1.

Stammfunktionen sind das Gegenstück zu Ableitungen:

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn F und f denselben Definitionsbereich besitzen und gilt: F' $x$ = f $x$ .

Vocabulary: "Aufleiten" bezeichnet den Prozess, eine Stammfunktion zu finden.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von Differenzierbarkeit und Stetigkeit in der Analysis und bilden die Grundlage für weiterführende Themen wie Integralrechnung.

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Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

Der Differenzenquotient ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung. Er wird verwendet, um die mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu berechnen.

Definition: Der Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall $a,b$ ist definiert als $f(b$ -f $a$ )/ $b-a$ .

Diese Formel repräsentiert die Steigung der Sekante durch zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen.

Highlight: Der Differenzenquotient ist besonders wichtig, um die lokale Änderungsrate einer Funktion zu verstehen und bildet die Grundlage für die Berechnung von Ableitungen.

Example: Für eine Funktion f $x$ = x² kann man den Differenzenquotient im Intervall $a,b$ wie folgt berechnen: $b²-a²$ / $b-a$ .

Die graphische Darstellung zeigt, wie der Differenzenquotient als Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen interpretiert werden kann. Dies ist ein wichtiger Schritt, um später die momentane Änderungsrate und damit die Ableitung zu verstehen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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