Ableitungsregeln und Verkettung von Funktionen

Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^r$ gleich $r \cdot x^{r-1}$ ist. Diese Regel ist die Grundlage für viele andere Ableitungen. Bei der Faktorregel wird bei $f(x) = c \cdot g(x)$ die Konstante einfach vor die Ableitung gezogen: $f'(x) = c \cdot g'(x)$. Die Summenregel sagt uns, dass die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist: $f'(x) = g'(x) + h'(x)$.

Besonders wichtig sind die Ableitungen von Grundfunktionen wie Konstanten $Ableitung = 0$, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Kehrwertfunktionen und trigonometrischen Funktionen. Lerne diese auswendig, denn sie sind deine Werkzeuge für komplexere Aufgaben.

Bei der Verkettung von Funktionen (Kettenregel) gilt für $f(x) = u(v(x))$, dass $f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))$. Ein Beispiel: Bei $f(x) = (3x - 2)^2$ ist $f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot (3x - 2) = 6 \cdot (3x - 2) = 18x - 12$.

💡 Merkhilfe: Bei der Kettenregel mit linearen inneren Funktionen multiplizierst du einfach die Steigung der inneren Funktion mit der äußeren Ableitung. Das spart Zeit!

Produktregel und Monotonie

Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Für $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ gilt: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$. Zum Beispiel bei $f(x) = (x^3+1) \cdot \cos(x)$: Erst $u(x) = \cos(x)$ mit $u'(x) = -\sin(x)$ und $v(x) = (x^3+1)$ mit $v'(x) = 3x^2$ bestimmen, dann $f'(x) = -\sin(x) \cdot (x^3+1) + \cos(x) \cdot 3x^2$.

Die Monotonie einer Funktion gibt an, ob der Funktionsgraph steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn für alle $x_1 < x_2$ gilt: $f(x_1) < f(x_2)$. Sie ist streng monoton fallend, wenn $f(x_1) > f(x_2)$ gilt.

Mit der ersten Ableitung kannst du die Monotonie bestimmen:

• Wenn $f'(x) > 0$ für alle $x$ in einem Intervall, dann ist $f$ streng monoton wachsend
• Wenn $f'(x) < 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend

Die Krümmung des Funktionsgraphen erkennst du an der zweiten Ableitung:

• $f''(x) > 0$ bedeutet linksgekrümmt (Linkskurve)
• $f''(x) < 0$ bedeutet rechtsgekrümmt (Rechtskurve)

Bestimmung von Monotonie und Krümmung

Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, gehe so vor:

1. Berechne die Ableitungsfunktion $f'$
2. Finde die Nullstellen: $f'(x) = 0$
3. Bestimme das Vorzeichen von $f'$ zwischen den Nullstellen mit Testwerten
4. Interpretiere: $f'(x) > 0$ → streng monoton wachsend, $f'(x) < 0$ → streng monoton fallend

Die Nullstellen der ersten Ableitung teilen die x-Achse in Intervalle. Innerhalb jedes Intervalls ändert sich das Vorzeichen von $f'$ nicht. Daher kannst du einen beliebigen Testwert wählen, um das Vorzeichen für das gesamte Intervall zu bestimmen.

Für das Krümmungsverhalten gehst du ähnlich vor:

1. Berechne die erste und zweite Ableitungsfunktion $f'$ und $f''$
2. Finde die Nullstellen von $f''(x) = 0$
3. Bestimme das Vorzeichen von $f''$ zwischen den Nullstellen mit Testwerten
4. Interpretiere: $f''(x) > 0$ → linksgekrümmt, $f''(x) < 0$ → rechtsgekrümmt

🔑 Wichtig: An Stellen mit $f'(x) = 0$ hat der Graph eine waagerechte Tangente – das könnte auf Extremstellen hindeuten. An Stellen mit $f''(x) = 0$ könnte sich die Krümmung ändern – das deutet auf mögliche Wendestellen hin.

Prüfpläne für Extremstellen und Wendestellen

Bei der Suche nach Extremstellen gehst du strukturiert vor:

1. Finde potenzielle Extremstellen mit der notwendigen Bedingung $f'(x) = 0$
2. Prüfe die Art der Extremstelle entweder durch die zweite Ableitung ($f''(x)$) oder durch Vorzeichenwechsel:
   • Wenn $f''(x) > 0$, hast du einen Tiefpunkt (TIP)
   • Wenn $f''(x) < 0$, hast du einen Hochpunkt (HOP)
   • Wenn $f''(x) = 0$, prüfe mit der Vorzeichenwechsel-Methode weiter

Bei der Suche nach Wendestellen ist das Vorgehen ähnlich:

1. Finde potenzielle Wendestellen mit der Bedingung $f''(x) = 0$
2. Prüfe, ob tatsächlich ein Vorzeichenwechsel bei $f''$ stattfindet
3. Falls ja, hast du eine Wendestelle gefunden

Ein Beispiel: Um Extrempunkte bei $f(x) = -\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 1$ zu bestimmen, berechnest du $f'(x)$, setzt diese gleich Null und untersuchst die gefundenen x-Werte weiter.

💡 Tipp: Zeichne dir für komplexere Funktionen ein kleines Schema, wo du die Vorzeichen von $f'$ und $f''$ in den verschiedenen Intervallen einträgst. Das hilft dir, den Überblick zu behalten!

Extrem- und Wendepunkte - Definitionen

Extremstellen sind Stellen, an denen eine Funktion lokal ihren größten oder kleinsten Wert annimmt:

• Ein Maximum ist der größte Funktionswert in einer Umgebung von $x_0$
• Ein Minimum ist der kleinste Funktionswert in einer Umgebung von $x_0$
• Die Stelle $x_0$ heißt Maximumstelle oder Minimumstelle
• Der zugehörige Punkt $P(x_0/f(x_0))$ heißt Hochpunkt (HOP) oder Tiefpunkt (TIP)

Wenn ein Funktionswert der größte (oder kleinste) auf der gesamten Definitionsmenge ist, spricht man von einem globalen Maximum (oder globalen Minimum).

Eine Wendestelle $x_0$ ist eine Stelle, an der der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Der zugehörige Punkt $W(x_0/f(x_0))$ heißt Wendepunkt. Ein Spezialfall ist der Sattelpunkt – ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

🔍 Unterscheidung: Beachte, dass wir zwischen der Stelle $x_0$ $ein Wert auf der x-Achse$ und dem Punkt $P(x_0/f(x_0))$ (ein Punkt im Koordinatensystem) unterscheiden. In der Umgangssprache werden diese Begriffe oft vermischt!

Ableitungen und Zusammenfassung

Hier sind die wichtigsten Ableitungsformeln auf einen Blick:

• Konstante $c$ → $0$
• $x^n$ → $n \cdot x^{n-1}$
• $\sqrt{x}$ → $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{1}{x}$ → $-\frac{1}{x^2}$
• $\sin(x)$ → $\cos(x)$
• $\cos(x)$ → $-\sin(x)$

Bei der Verkettung von Funktionen (ohne Multiplikation) gilt: $f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))$ Beispiel: Bei $f(x) = (3x - 2)^2$ ist $f'(x) = 6 \cdot (3x - 2)$

Bei der Produktregel (mit Multiplikation) gilt: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ Beispiel: Für $f(x) = (x^2 + 1) \cdot \cos(x)$ bestimmst du erst $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$ und $v(x) = \cos(x)$, $v'(x) = -\sin(x)$ und setzt dann alles zusammen.

Für die Monotonie:

1. Setze $f'(x) = 0$ und finde die x-Werte
2. Teste mit Zahlen zwischen den x-Werten
3. Gib das Intervall an, in dem die Funktion wächst oder fällt

💡 Merke: $f'(x) > 0$ bedeutet, der Graph steigt (monoton wachsend), und $f'(x) < 0$ bedeutet, der Graph fällt (monoton fallend)!

Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen

Um die Krümmung zu bestimmen:

1. Setze $f''(x) = 0$ und ermittle die x-Werte
2. Teste mit Zahlen um zu sehen, ob $f''(x) > 0$ (linksgekrümmt) oder $f''(x) < 0$ (rechtsgekrümmt)
3. Gib das entsprechende Intervall an

Beispiel: Für $f(x) = x^3 - 3x$ ist $f'(x) = 3x^2 - 3$ und $f''(x) = 6x$. Bei $x = 0$ ist $f''(x) = 0$. Mit Testwerten ermittelst du, dass der Graph für $x > 0$ linksgekrümmt und für $x < 0$ rechtsgekrümmt ist.

Für Extrempunkte:

1. Setze $f'(x) = 0$ und finde die x-Werte
2. Prüfe mit $f''(x)$ oder Vorzeichenwechsel, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt
3. Setze den x-Wert in $f(x)$ ein, um den y-Wert des Punktes zu erhalten

Für Wendepunkte:

1. Setze $f''(x) = 0$ und ermittle die x-Werte
2. Prüfe mit $f'''(x)$ oder Vorzeichenwechsel, ob tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt
3. Berechne den zugehörigen y-Wert für den vollständigen Punkt

🔑 Zusammenfassung: Bei Extrempunkten ist $f'(x) = 0$ und bei Wendepunkten ist $f''(x) = 0$. Bei beiden musst du zusätzlich prüfen, ob tatsächlich ein Extrem- oder Wendepunkt vorliegt, entweder mit der nächsthöheren Ableitung oder durch eine Vorzeichenwechselprüfung!