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STOCHASTIK ABI ZUSAMMENFASSUNG Teil 2

STOCHASTIK ABI ZUSAMMENFASSUNG Teil 2

 Grundlegende Begriffe der Stocnastik
Zufallsversuch - Ausgang des Zufallversuchs, nicht vornersenbar (z. B. Würfelwurf)
Ergebnisraum
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Grundlegende Begriffe der Stocnastik Zufallsversuch - Ausgang des Zufallversuchs, nicht vornersenbar (z. B. Würfelwurf) Ergebnisraum Ereignis Elementaurereignis 2 vereinigung von Ereignissen E1 U E2 P E1= {₁ 1,3,4,5,8,10} E₁ U E2 = { 1,3,4,5,6,7,8, 10, 11} E1= 1.3,4,5,8,10} 4 Mengenbild E₁ Q3 STOCHASTIK 3 Schnitt von Ereignissen: E₁ E2 → Ergebnis 1 UND Ergebnis 2 alle Ergebnisse, die beiden Ergebnismengen vorkommen, werden aufgeschneben E2=1,5,6,7,8,11} E₁ E2 = { 1,5.8} Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallexperiments (= { L₁, L2,..., L4}} Teilmenge des Ergebnisraums in einem Zufallsversuch unmögliches E → tritt nicht ein, da keine Ergebnisse (E = Ø) sicheres E tritt ein, da alle Ergebnisse enthalten (E = ²) - einelementige Ereignisse eines Zufallsexperiments (2= {e₁₁e²₁... e4} →→ [e₁},{e₂},... {e3}) Ergebnisse E1 O Ereignis 1 ODER Ereignis 2 E2 = { 1,5,6,7,8,113 € "1 E2 Ergebnisse E2 5 Gegenereigniss Gegenereignis É enthält alle Ergebniss, die nicht in Ereignis E enthalten sind bzw. das Gegen- teil einer Bedingung ✓ E= nur gerade Zahlen bei Würfelwurf" {2,4,6} alle Ereignisse werden in eine Ergebnismenge geschrieben Nur ungerade Zanien beim würfelwurf " - {1,3,5} Das Gesetz der Großen zahlen • je menr versuche, desto mehr stabilisiert sich relative Häufigkeit um einen festen Wert wahrscheinlichkeitsverteilung • jedem Elementarereignis wird genau eine reelle Zani P(E) zugeordnet, wenn... P(E) = O Lep P(E1) + P(E2) + + (Pm) = 1 (21) Bernoulli-Ketten • Zufallsversuch mit nur 2 Ausgängen = Bernoulli - Versuch • Bernoulli versuch wird n-mal aurcngeführt → Bernoulli - Kette Berechnung wahrscheinlichkeit für genau K Treffer...

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/ Erfolge bei P = wanrscheinlichkeit für Treffer | Erfolg 1-P = Gegenwahrscheinlichkeit n = Gesamtheit der Elemente O K= Anzahl der Treffer P (x=k) = B(n;p; k) = (^) .pk .(1-p)n-k 10 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für __genau 4 Erfolge ? n = 10 ip = 1/7 ; K = 4 P(X=4)= B(10; 1/7; 4) = 4 (8) · (-)" · (₁ - 1) 7 = 0,21 + 0.36 +0,267 + 0.1189 22 Höchstens" (P(x≤k)) н • es müssen alle wanrscheinlichkeiten von 0 bis einschließlich der nocnsten Zani perechnet werden (Bernoulli -ketten) 10 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für nächstens 3 Erfolge ? n=10 P= 117 K≤ 3 P(x≤ 31 P(x=0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = B(10; 1; 0) + B( 10; ₁; 1) + B (10; 1; 2) + B (10; 1 ; 3) 1 11 = B (5; 117; 4) + B (5; 1/7;5) = ( 5 )· (²) 4 -(₁-7) 5 - 4 + 30 16807 1 16807 10-4 23 „Mindestens " (Px = k) • es müssen alle wahrscheinlichkeiten ab einschließlich der maximal kleinsten Zanl bis zum End- wert berechnet werden 5 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Erfolge? n=5; p= 1/2 i k= 4 P(X24) + P(x = 4) + P(x =5) ~0,035 · ( ₁ - 13 ) ³- 4 + ( 5 ) · ( ²7 ) ³. (₁. 31 16807 019559 => 95,59°1⁰ (₁-7) 5-5 versuchen (Punktwkeit) 010018 - 01 18°/0 (24) Mindestens, mindestens, mindestens • Treffwarscheinlichkeit pist gegeben; n muss berechnet werden; k ist gegeben 1. Ansatz: P ( x = k) = p 2. Zu Gegenereignis umformen 1-p (x = k) = p 3. Die 1 substranieren auf beiden Seiten & duron (-1) teilen 4. Bernoulli - Kette erstellen & ausrechnen 5. Logarithmus anwenden & nacn n auflösen wie oft muss ein würfel mindestens geworfen werden, damit mit einer wkeit von mindestens 98% mindestens einmal 6 fällt? p= 0,98; k = 1 ; n = ²; p = 116 1. P(x ≥ 1) ≥ 0,98 2. 1- P(x = 0) = 0.98 1-1 3. -P (x=O) = -0,02 1:(-1) P(x=0) ≤ 0,02 4. B (n; 1/6; 0) ≤ 0,02 (0)·(116)⁰ (1-116) 0-0 ≤ 0102 (516) ≤0,02 5. n. 10g (5/6) ≤ 10g (0,02) (og (0,02) n = Log (5/6) n = 21,46 (25) Summenformel O A (26) Vierfelder tafel Berechnung von Summen mit Bernoulli Endwert Σ ((₁) - P² - (₁-P)^-x) px x = Startwert Ā ĀOBI O JANBI 181 O B D Sx P(B) = P(B) (27) Mittelwert & Standardabweichung mit TR 1. Shift + Setup 2. Pfeiltaste & 3, Statistik 3. Häufigkeit ein в IANBI IANBI IBI 8. AC arūcken 9. OPTN & 1- variab Bereich "→ Tabelle "1 = Mittelwert min(x) = > max (x) = ▸ Med(x)= Medianwert B 6 28 Totale wahrscheinlichkeit Pfadregel für Baumdiagramm P(A) = P(B) · PB (A) + P(B) · PB (A) A PB (A) Standardabweichung minimalster x - wert maximalster x - wert PB (A) (29) Satz des Bayes ΙΑΙ JĀI Summe A Ā 4. MENU n = 10 P = 1/4 P(x>3) = 5.,6-Statistik " 6. 1- Vancuble " B <o A B < A B Gleichungszusammenhang zwischen bedingten wahrscheinlichkeiten PB (A) & PA (B) PB(A) = P(A) · PA (B) P(B) 100 10-X 10 X ((.). (4) ^ (^- 4) **) B X=4 ~0,22 7. Einzelne Messwerte für x eingeben & für Freq, wie oft die Werte vorkommen 30 Binomealverteilung B (ni pik) O Bedingungen ► feste Anzahl an versuchen ▸ wanrscheinlichkeit p muss konstant bleiben D versuche müssen unabhängig voneinander sein Jeder versuch darf nur 2 Ergebnisse haben (Erfolg / Misserfolg) D grapnisch p D je größer p, desto weiter rechts Maximum (1) D je kleiner Pi desto weiter links Maximum (2) • für p= 0,5 liegt verteilungsdiagramm mittig (3) O • Maximum Le E(X) = n · p = u 。 grapnisch n co je großer ni 0 Standardabweichung 6 6(x)=√√np. (1-p) ¹ Erwartungswert E (x) desto (31) Berechnung B (n; p; k) mit TR • MENU, 7,4,2 O (32) Berechnung F(n; p; k) mit TR O MENU, 7, 1 (33) Intervallwarscheinlichkeit 2 teilig Es müssen alle warscheinlichkeiten ob einschließlich der linken Intervallzahl bis einschließlich zur rechten Intervallzani berechnet werden P(3≤ x ≤8) P(x≤8) - P(x ≤ 2) Entscheidung Ho breiter & flacher ist Diagramm weiter rechts liegt Maximum - symmetrischer wirkt verteilungsbild = F(20; 0,2; 8) - F(20; 0,2; 2) ~0,9900 0,2061 (34) Hypothesentest 1. Hypothesen aufstellen, x benennen & n bestimmen wenn pop1: Entscheidung H₁ 4. Entscheidung der Fenierart Fenlerarten Ho, wanr 017839/1 2. Wahrscheinlichkeiten den Hypothesen zuordnen 3. Entscheidungsregel aufstellen & k angeben wenn po< p₁: x <k → Ho wird angenommen x = k→ H₁ wird angenommen x > K→ Ho wird angenommen x ≤ K→ H₁ wird angenommen K = kritische zanı (genōrt zum Ablennungsbereich Ho / Annahme Bereich H₁) Les Faustregel: K = n.porn.p₁ 2 Fenler 1. Art (1) (3) H₁, wahr Fenier 2. Art (2) 5. Irrtumswanrscheinlichkeiten berechnen Fenler 1. Art (a-Fenler) - Faure Mūnze als gefälscht eingestuft Ho: Münze ist fair po = 015 H1: Mūnze ist gefälscht → p=0₁2 α Fenier = P(Fenler 1. Art) PHо (Entscheidung für H1) P(x≤4), n = 12₁ p=015 = = F (12; 015; 4) 011938 19,38°/0 = = = UD Fenler 2. Art (B-Fenier) - Gefälschte Münze als four eingestuft B- Fenier = PC Fenler 2. Artl = PH1 (Entscheidung für Ho) = P(x > 4), n = 12₁ p = 0₁2 1-F( 12; 0,2; 4) = ~1-019274 = 010726 = 7126 %° 35 Berechnung k bei gegebener Irrtumswarscheinlichkeit 1. Festlegung der Hypotnesen, deren wahrscheinlichkeiten, xin & gegenüber wahrscheinlichkeit 2. Entscheidungsregel mit k aufstellen 3. Je nach Fenierart k bestimmen Le Mit TR: MENU, 71, Liste Ein Spieler besitzt gefälschte & ungefälschte Münzen. P für Kopf bei einer gefälschten Münze liegt bei 20%. Durch 12 Probewürfe soll getestet werden, ob Mūnze in Hosentasche gefälscht ist. Wie muss k gewānit werden, damit faire Mūnze mit nicht mehr als 10% wahrscheinlichkeit irrtümlich als gefälscht eingestuft wird? 1. P ist fair ≤ 10% Ho: Münze fair P=0₁5 H1: Mūnze gefālscnt → p10₁2 X: Anzani Kopfwürfe n=12 2. K=? × >k →→ Entscheidung Ho x≤K → Entscheidung H1 3. P(Fenler 1. Art) = PHO S 10010 = P(x≤k) ≤ 10%1⁰ = F(12₁015;k) ≤ 0,1 Tabelle: F(12; 015; 3) = 010730 ≤ 10%. ✓ F(121015; 4) = 0,1938 > 101. x

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/ Erfolge bei P = wanrscheinlichkeit für Treffer | Erfolg 1-P = Gegenwahrscheinlichkeit n = Gesamtheit der Elemente O K= Anzahl der Treffer P (x=k) = B(n;p; k) = (^) .pk .(1-p)n-k 10 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für __genau 4 Erfolge ? n = 10 ip = 1/7 ; K = 4 P(X=4)= B(10; 1/7; 4) = 4 (8) · (-)" · (₁ - 1) 7 = 0,21 + 0.36 +0,267 + 0.1189 22 Höchstens" (P(x≤k)) н • es müssen alle wanrscheinlichkeiten von 0 bis einschließlich der nocnsten Zani perechnet werden (Bernoulli -ketten) 10 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für nächstens 3 Erfolge ? n=10 P= 117 K≤ 3 P(x≤ 31 P(x=0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = B(10; 1; 0) + B( 10; ₁; 1) + B (10; 1; 2) + B (10; 1 ; 3) 1 11 = B (5; 117; 4) + B (5; 1/7;5) = ( 5 )· (²) 4 -(₁-7) 5 - 4 + 30 16807 1 16807 10-4 23 „Mindestens " (Px = k) • es müssen alle wahrscheinlichkeiten ab einschließlich der maximal kleinsten Zanl bis zum End- wert berechnet werden 5 Ü-Eier werden gekauft wie groß ist die wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Erfolge? n=5; p= 1/2 i k= 4 P(X24) + P(x = 4) + P(x =5) ~0,035 · ( ₁ - 13 ) ³- 4 + ( 5 ) · ( ²7 ) ³. (₁. 31 16807 019559 => 95,59°1⁰ (₁-7) 5-5 versuchen (Punktwkeit) 010018 - 01 18°/0 (24) Mindestens, mindestens, mindestens • Treffwarscheinlichkeit pist gegeben; n muss berechnet werden; k ist gegeben 1. Ansatz: P ( x = k) = p 2. Zu Gegenereignis umformen 1-p (x = k) = p 3. Die 1 substranieren auf beiden Seiten & duron (-1) teilen 4. Bernoulli - Kette erstellen & ausrechnen 5. Logarithmus anwenden & nacn n auflösen wie oft muss ein würfel mindestens geworfen werden, damit mit einer wkeit von mindestens 98% mindestens einmal 6 fällt? p= 0,98; k = 1 ; n = ²; p = 116 1. P(x ≥ 1) ≥ 0,98 2. 1- P(x = 0) = 0.98 1-1 3. -P (x=O) = -0,02 1:(-1) P(x=0) ≤ 0,02 4. B (n; 1/6; 0) ≤ 0,02 (0)·(116)⁰ (1-116) 0-0 ≤ 0102 (516) ≤0,02 5. n. 10g (5/6) ≤ 10g (0,02) (og (0,02) n = Log (5/6) n = 21,46 (25) Summenformel O A (26) Vierfelder tafel Berechnung von Summen mit Bernoulli Endwert Σ ((₁) - P² - (₁-P)^-x) px x = Startwert Ā ĀOBI O JANBI 181 O B D Sx P(B) = P(B) (27) Mittelwert & Standardabweichung mit TR 1. Shift + Setup 2. Pfeiltaste & 3, Statistik 3. Häufigkeit ein в IANBI IANBI IBI 8. AC arūcken 9. OPTN & 1- variab Bereich "→ Tabelle "1 = Mittelwert min(x) = > max (x) = ▸ Med(x)= Medianwert B 6 28 Totale wahrscheinlichkeit Pfadregel für Baumdiagramm P(A) = P(B) · PB (A) + P(B) · PB (A) A PB (A) Standardabweichung minimalster x - wert maximalster x - wert PB (A) (29) Satz des Bayes ΙΑΙ JĀI Summe A Ā 4. MENU n = 10 P = 1/4 P(x>3) = 5.,6-Statistik " 6. 1- Vancuble " B <o A B < A B Gleichungszusammenhang zwischen bedingten wahrscheinlichkeiten PB (A) & PA (B) PB(A) = P(A) · PA (B) P(B) 100 10-X 10 X ((.). (4) ^ (^- 4) **) B X=4 ~0,22 7. Einzelne Messwerte für x eingeben & für Freq, wie oft die Werte vorkommen 30 Binomealverteilung B (ni pik) O Bedingungen ► feste Anzahl an versuchen ▸ wanrscheinlichkeit p muss konstant bleiben D versuche müssen unabhängig voneinander sein Jeder versuch darf nur 2 Ergebnisse haben (Erfolg / Misserfolg) D grapnisch p D je größer p, desto weiter rechts Maximum (1) D je kleiner Pi desto weiter links Maximum (2) • für p= 0,5 liegt verteilungsdiagramm mittig (3) O • Maximum Le E(X) = n · p = u 。 grapnisch n co je großer ni 0 Standardabweichung 6 6(x)=√√np. (1-p) ¹ Erwartungswert E (x) desto (31) Berechnung B (n; p; k) mit TR • MENU, 7,4,2 O (32) Berechnung F(n; p; k) mit TR O MENU, 7, 1 (33) Intervallwarscheinlichkeit 2 teilig Es müssen alle warscheinlichkeiten ob einschließlich der linken Intervallzahl bis einschließlich zur rechten Intervallzani berechnet werden P(3≤ x ≤8) P(x≤8) - P(x ≤ 2) Entscheidung Ho breiter & flacher ist Diagramm weiter rechts liegt Maximum - symmetrischer wirkt verteilungsbild = F(20; 0,2; 8) - F(20; 0,2; 2) ~0,9900 0,2061 (34) Hypothesentest 1. Hypothesen aufstellen, x benennen & n bestimmen wenn pop1: Entscheidung H₁ 4. Entscheidung der Fenierart Fenlerarten Ho, wanr 017839/1 2. Wahrscheinlichkeiten den Hypothesen zuordnen 3. Entscheidungsregel aufstellen & k angeben wenn po< p₁: x <k → Ho wird angenommen x = k→ H₁ wird angenommen x > K→ Ho wird angenommen x ≤ K→ H₁ wird angenommen K = kritische zanı (genōrt zum Ablennungsbereich Ho / Annahme Bereich H₁) Les Faustregel: K = n.porn.p₁ 2 Fenler 1. Art (1) (3) H₁, wahr Fenier 2. Art (2) 5. Irrtumswanrscheinlichkeiten berechnen Fenler 1. Art (a-Fenler) - Faure Mūnze als gefälscht eingestuft Ho: Münze ist fair po = 015 H1: Mūnze ist gefälscht → p=0₁2 α Fenier = P(Fenler 1. Art) PHо (Entscheidung für H1) P(x≤4), n = 12₁ p=015 = = F (12; 015; 4) 011938 19,38°/0 = = = UD Fenler 2. Art (B-Fenier) - Gefälschte Münze als four eingestuft B- Fenier = PC Fenler 2. Artl = PH1 (Entscheidung für Ho) = P(x > 4), n = 12₁ p = 0₁2 1-F( 12; 0,2; 4) = ~1-019274 = 010726 = 7126 %° 35 Berechnung k bei gegebener Irrtumswarscheinlichkeit 1. Festlegung der Hypotnesen, deren wahrscheinlichkeiten, xin & gegenüber wahrscheinlichkeit 2. Entscheidungsregel mit k aufstellen 3. Je nach Fenierart k bestimmen Le Mit TR: MENU, 71, Liste Ein Spieler besitzt gefälschte & ungefälschte Münzen. P für Kopf bei einer gefälschten Münze liegt bei 20%. Durch 12 Probewürfe soll getestet werden, ob Mūnze in Hosentasche gefälscht ist. Wie muss k gewānit werden, damit faire Mūnze mit nicht mehr als 10% wahrscheinlichkeit irrtümlich als gefälscht eingestuft wird? 1. P ist fair ≤ 10% Ho: Münze fair P=0₁5 H1: Mūnze gefālscnt → p10₁2 X: Anzani Kopfwürfe n=12 2. K=? × >k →→ Entscheidung Ho x≤K → Entscheidung H1 3. P(Fenler 1. Art) = PHO S 10010 = P(x≤k) ≤ 10%1⁰ = F(12₁015;k) ≤ 0,1 Tabelle: F(12; 015; 3) = 010730 ≤ 10%. ✓ F(121015; 4) = 0,1938 > 101. x