Grundlagen zu quantitativen und formalen Problemen

Die quantitativen und formalen Probleme im TMS umfassen 24 Aufgaben (davon 20 bewertet), für die du insgesamt 60 Minuten Zeit hast. Pro Aufgabe stehen dir durchschnittlich 2:30 Minuten zur Verfügung.

Dieser Prüfungsteil testet dein lösungsorientiertes Denken und deine mathematischen Fähigkeiten. Die Aufgaben werden mit steigendem Schwierigkeitsgrad angeordnet und erfordern ein gutes mathematisches Grundwissen.

Wichtig ist, dass keine elektronischen Hilfsmittel erlaubt sind – du musst also effizient im Kopf rechnen können. Es handelt sich nicht um klassische Matheaufgaben, bei denen der Lösungsweg wichtig ist, sondern um Logikaufgaben, bei denen nur die richtige Lösung zählt.

💡 Tipp: Beginne dein Training ohne Zeitdruck und steigere dich langsam. Zehn Minuten tägliches Training über mindestens 6 Wochen kann deinen Erfolg deutlich verbessern!

Bearbeitungsstrategien und Tipps

Eine erfolgreiche Bearbeitungsstrategie für die Aufgaben sieht so aus:

1. Frage lesen und Antworten überfliegen (ca. 20 Sekunden)
2. Wichtige Werte in der Aufgabenstellung markieren
3. Kontext und Grundmuster erfassen
4. Lösung der Aufgabe erarbeiten
5. Falsche oder unlogische Lösungen streichen

Beim Rechnen kannst du durch geschicktes Runden viel Zeit sparen. Prüfe vorher, ob die Unterschiede zwischen den Antwortmöglichkeiten groß genug sind, damit deine Rundungen das Ergebnis nicht verfälschen.

Bleibe flexibel und fixiere dich nicht auf bekannte Lösungsmuster. Wenn eine Aufgabe auf den ersten Blick zu kompliziert erscheint, schiebe sie erstmal beiseite.

Lerne unbedingt auswendig:

• Quadratzahlen bis 20
• Brüche mit 100 im Zähler
• Wichtige Einheiten und Umrechnungsfaktoren

💡 Merke: Wirf immer einen letzten Blick auf die angegebenen Einheiten, bevor du dich für eine Antwortmöglichkeit entscheidest!

Rechentechniken für Brüche und Rundungen

Bei Brüchen solltest du Multiplikationen und Divisionen direkt als Brüche denken. Nutze das "überkreuzte" Kürzen, auch mit ganzen Zahlen:

$49 \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{1}{4} \cdot 25$ → hier kannst du viele Faktoren kürzen

Bei Multiplikationen lohnt es sich oft, komplizierte Rechnungen in einfachere Faktoren aufzuteilen:

$16 \cdot 30 = $2 \cdot 8$ \cdot 30 = 2 \cdot $8 \cdot 30$ = 2 \cdot 240 = 480$

Beim Runden achte darauf, dass der Rundungsfehler kleiner ist als die Differenz zwischen den Antwortmöglichkeiten. Berechne den relativen Fehler:

$\text{Relativer Fehler} = \frac{\text{Unterschied}}{\text{ursprüngliche Zahl}}$

Wichtig beim Runden:

• Zahlen, die mit kleineren Zahlen multipliziert werden, können stärker gerundet werden
• Merke dir, ob du auf- oder abgerundet hast, um die Richtung des Fehlers zu kennen

💡 Besonders wichtig: Bei Subtraktionen und Divisionen wirken sich Rundungsfehler anders aus als bei Additionen und Multiplikationen!

Multiplikationsmethoden und Bruchregeln

Für die Multiplikation zweistelliger Zahlen (z.B. 49 · 57) gibt es eine praktische Methode:

1. Multipliziere die hinteren Ziffern (9 · 7)
2. Multipliziere die vorderen Ziffern (4 · 5)
3. Berechne die Kreuzprodukte (4 · 7 und 9 · 5)
4. Kombiniere diese Teilergebnisse systematisch

Bei der Primfaktorzerlegung kannst du Rechnungen häufig vereinfachen: $75:16 = 75 \cdot 2^{-4} = 75 \cdot \frac{1}{16} = \frac{75}{16}$

Die wichtigsten Bruchrechenregeln solltest du beherrschen:

1. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
2. $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$
3. $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Und die binomischen Formeln solltest du im Schlaf können:

1. $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
3. $(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2$

💡 Erinnerung: Versuche bei allen Rechnungen so wenige Nebenrechnungen wie möglich zu machen und direkt zum Ergebnis zu kommen.

Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist ein häufiger Bestandteil des TMS. Die schnelle und sichere Umrechnung von Prozentwerten in Dezimalbrüche ist hierbei besonders wichtig – und glücklicherweise gut trainierbar!

Grundbegriffe:

• Grundwert (G): Der Ausgangswert, auf den sich der Prozentsatz bezieht
• Prozentwert (W): Das tatsächliche Ergebnis der Prozentrechnung
• Prozentsatz (P%): Der Prozentsatz (als Dezimalzahl)

Die wichtigen Formeln lauten:

• Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz
• Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz
• Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert

Achte besonders auf die Ausdrücke "um" und "auf":

• "um" bezeichnet die Differenz zwischen zwei Werten
• "auf" stellt den Endwert einer relativen Entwicklung dar

💡 Clever rechnen: Prozentrechnung ist kommutativ! 18% von 90 ist das Gleiche wie 90% von 18. Nutze dies, um schneller zu rechnen.

Potenzen und Zehnerpotenzen

Potenzen tauchen im TMS häufig auf. Die Idee des Potenzierens ist eine Folge identischer Multiplikationen: a^n bedeutet, dass a n-mal mit sich selbst multipliziert wird.

Die wichtigsten Regeln für Potenzen sind:

• Exponent 0: a^0 = 1
• Negativer Exponent: a^$-n$ = 1/a^n
• Wurzeln als Potenzen: √a = a^(1/2), ∛a = a^(1/3)
• Multiplikation: a^n · a^m = a^$n+m$
• Division: a^n ÷ a^m = a^$n-m$
• Potenz von Potenz: $a^n$^m = a^(n·m)

Zehnerpotenzen sind besonders nützlich, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen:

• Positive Exponenten (10², 10³...) für große Zahlen
• Negative Exponenten $10^(-2), 10^(-3)...$ für Zahlen nahe Null

Typische Darstellungsform: x·10^y

💡 Wichtig für die Umrechnung: Wenn y größer wird, wird x kleiner und umgekehrt. Denke immer daran, die Werte entsprechend anzupassen!

Umgang mit Zehnerpotenzen und Einheiten

Für Zehnerpotenzen gibt es eine nützliche Rechenregel: Wenn du mit der Form x·10^y rechnest und y veränderst, musst du x entsprechend anpassen. Wird y größer, wird x kleiner und umgekehrt.

Bei der Bearbeitung solcher Aufgaben:

1. Gleiche zunächst Zehnerpotenzen und Einheiten an
2. Löse dann die Aufgabe mit Hilfe der Potenzgesetze

Einheitenumformungen wie Nano-, Milli-, Mikro- werden im TMS als Allgemeinwissen vorausgesetzt. Wichtig: Zahl und Einheit stehen in einem indirekt proportionalen Verhältnis zueinander. Wird die Zahl um einen Faktor erweitert, muss die Einheit um den gleichen Wert gekürzt werden.

Merke dir die wichtigsten Präfixe:

• Nano (n): 10^(-9)
• Mikro (μ): 10^(-6)
• Milli (m): 10^(-3)
• Kilo (k): 10^3
• Mega (M): 10^6
• Giga (G): 10^9

💡 Bei Einheiten höheren Grades (z.B. nm² in mm²) musst du den Exponenten der Einheit mit dem des Umrechnungswertes multiplizieren: 10^(6·2) = 10^12

Einheiten und Umrechnungstabelle

Bei Umrechnungen solltest du diese Präfixe und ihre Zehnerpotenzen kennen:

Besonders wichtig sind Einheiten des 2. oder 3. Grades (Flächen und Volumina): Hier musst du den Exponenten der Einheit mit dem Exponenten des Umrechnungswertes multiplizieren.

Beispiele:

• nm in mm: Faktor 10^6
• nm² in mm²: Faktor 10^(6·2) = 10^12
• hm³ in mm³: Faktor 10^(6·3) = 10^18

💡 Bei der Bearbeitung: Passe zuerst die Einheiten an und beachte die Einheit der Lösung, bevor du mit Formeln und Zehnerpotenzen arbeitest.

Physikalische Größen und Einheiten

Bei physikalischen Größen ist es wichtig, sowohl die Maßzahlen als auch die Maßeinheiten zu beachten. Diese werden getrennt voneinander verrechnet, wobei Maßeinheiten wie Variablen behandelt werden können.

Wichtige Regeln:

• Gleiche Maßeinheiten in Zähler und Nenner eines Bruchs können gekürzt werden
• Addieren oder Subtrahieren ist nur möglich, wenn die Größen dieselbe Maßeinheit haben
• Bei Differenzen solltest du nicht beide gleichen Maßeinheiten verschwinden lassen
• Nur bei Division können Maßeinheiten weggekürzt werden

Ein nützlicher Trick bei Gleichungen: Setze für die Zahlen der gegebenen Größen Variablen (X, Y, Z...) ein und forme dann um.

Wenn du eine Größe herausbekommen möchtest, die im Nenner steht, hast du zwei Möglichkeiten:

1. Teile durch eine andere Größe mit derselben Einheit im Nenner
2. Multipliziere mit einer Größe derselben Einheit (allein)

💡 Bearbeitungsstrategie: Markiere alle Größen und prüfe ihre Einheiten, rechne mit Maßeinheiten wie mit Variablen und rechne bei Bedarf Maßeinheiten um.

Formeln und Gleichungen

Bei einem Großteil der TMS-Aufgaben wirst du mit Formeln konfrontiert. Du musst:

• Werte in Formeln einsetzen
• Formeln nach Variablen auflösen
• Formeln mithilfe des Begleittextes selbst erstellen

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme $T1 = T2$, die entweder wahr oder falsch sein kann. Wenn mindestens einer der Terme von Variablen abhängt, hängt die Wahrheit der Aussage von konkreten Werten für diese Variablen ab.

Zum Umstellen von Gleichungen:

• Löse zuerst Variablen in Klammern auf $besonders beim Minus-Zeichen$
• Wenn Brüche, Variablen oder Zahlen addiert/subtrahiert werden müssen, multipliziere alle Summanden mit dem Hauptnenner
• Beim Dividieren/Multiplizieren einer Gleichung beachte jeden einzelnen Summanden auf beiden Seiten
• Wenn die Variable, nach der aufgelöst werden soll, mehrfach vorkommt, bringe alle Terme auf eine Seite und klammere die Variable aus

💡 Wenn Formeln als Antwortmöglichkeiten gegeben sind: Konzentriere dich zunächst auf die Formeln, die deinem eigenen Ergebnis am nächsten kommen. Versuche dann, dein Ergebnis umzuformen.