Zahlensysteme und Kodierung sind die Grundlage der digitalen Welt -...
Informatik2,199 aufrufe·Aktualisiert Jun 6, 2026·7 SeitenInformatik Leistungskurs: Codierung und Binärsystem Lernhilfe
Martin@bigsmiley
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Binäre Grundrechenarten
Binär zu Dezimal funktioniert mit Zweierpotenzen: Jede Position entspricht einer Potenz von 2. Bei 0110 1001 rechnest du 64 + 32 + 8 + 1 = 105.
Für Dezimal zu Binär teilst du wiederholt durch 2 und notierst den Rest. Die Reste von unten nach oben ergeben deine Binärzahl - das ist der klassische Divisionsalgorithmus.
Addition im Binärsystem: 1+1 ergibt 0 mit Übertrag 1, sonst wie gewohnt. Bei der Subtraktion bildest du das Zweierkomplement der zweiten Zahl und addierst.
Tipp: Das Zweierkomplement macht Subtraktion zu Addition - genial für Computer!
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Multiplikation und Division
Multiplikation läuft genauso wie im Dezimalsystem ab: Du multiplizierst stellenweise und addierst die Zwischenergebnisse. Nur eben mit 0en und 1en statt größeren Ziffern.
Die Division funktioniert auch wie gewohnt - du teilst schrittweise und schaust, wie oft der Divisor in den Dividend passt.
Zahlenformate müssen drei Anforderungen erfüllen: fehlerfreie Arithmetik, Eindeutigkeit und Symmetrie. Perfect Symmetrie ist aber unmöglich, da 2ⁿ immer gerade ist.
Wichtig: Diese Grundoperationen bilden das Fundament aller Computerberechnungen!
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Festkommazahlen
Festkommazahlen haben eine feste Anzahl Nachkommastellen. Vor dem Komma rechnest du normal, nach dem Komma mit negativen Zweierpotenzen: 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³...
Für die Umwandlung von Dezimal zu Binär multiplizierst du den Nachkommateil mit 2. Ist das Ergebnis ≥1, schreibst du eine 1 auf und ziehst 1 ab. Die 1en und 0en von oben nach unten ergeben deine Binärzahl.
Der Zahlenbereich hängt von deinen verfügbaren Bits ab. Bei 8 Bits (4 vor, 4 nach dem Komma) reicht er von 0,0625 bis 15,9375.
Merke: Die kleinste darstellbare Zahl entspricht immer der Genauigkeit deines Systems!
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BCD und Gleitkommazahlen
BCD (Binary Coded Decimal) stellt jede Dezimalziffer mit 4 Bits dar. 384 wird zu 0011 1000 0100. Das ist sehr genau, aber ineffizient beim Speicherplatz.
Gleitkommazahlen nach IEEE 754 nutzen 32 Bits: 1 für das Vorzeichen, 8 für den Exponenten, 23 für die Mantisse. Die Formel lautet: (-1)^Vorzeichen × 2^ × .
Zur Umwandlung bestimmst du erst das Vorzeichen, wandelst in Binär um, verschiebst das Komma zur ersten 1, und berechnest Exponent und Mantisse.
IEEE 754 ist der Weltstandard - so rechnet fast jeder Computer mit Dezimalzahlen!
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Kompression und Kodierung
Lauflängenkodierung (RLE) zählt aufeinanderfolgende gleiche Zeichen: "ddddggggg" wird zu "4d5g". Super effektiv bei vielen Wiederholungen, schlecht bei häufigen Wechseln.
Kompressionsfaktoren werden als Dezimalbruch, Prozent oder Verhältnis angegeben. Die Kompressionsrate zeigt das Verhältnis von unkomprimiert zu komprimiert.
Wirtschaftlichkeit erreichst du durch die kleinste mittlere Codewortlänge. Die Fano-Bedingung sorgt für präfixfreie Codes - kein Codewort ist der Anfang eines anderen.
Praxistipp: RLE eignet sich perfekt für einfarbige Bilder oder Grafiken mit großen einheitlichen Flächen!
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Erweiterte Kodierungsverfahren
Quellenkodierung maximiert die Kompression ohne Redundanz, toleriert aber Informationsverlust. Kanalkodierung fügt bewusst Redundanz für sichere Übertragung hinzu.
Huffman-Codierung funktioniert systematisch: Ordne nach Häufigkeiten, verbinde die beiden kleinsten Werte, wiederhole bis alle verbunden sind, beschrifte größere Werte mit 1.
Die Burrows-Wheeler-Transformation hängt ein Sonderzeichen an, schreibt alle Rotationen auf, sortiert alphabetisch und notiert die letzten Buchstaben.
Huffman-Codes sind optimal für verlustfreie Kompression - sie nutzen die Statistik deiner Daten perfekt aus!
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Decodierung der Burrows-Wheeler-Transformation
Die Decodierung startet beim Sonderzeichen in der alphabetisch sortierten Liste. Du schreibst den gegenüberliegenden Buchstaben auf, suchst ihn in der anderen Spalte und wiederholst den Prozess.
Das Ergebnis liest du von hinten nach vorne - so erhältst du das ursprüngliche Wort zurück. Diese Transformation eignet sich besonders gut als Vorbereitung für die Lauflängenkodierung.
Der Trick liegt darin, dass die Transformation ähnliche Buchstaben gruppiert, ohne Information zu verlieren. Das macht nachfolgende Kompression deutlich effektiver.
Genial: Die Burrows-Wheeler-Transformation verändert nur die Reihenfolge, aber macht Daten viel komprimierbarer!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin
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Martin@bigsmiley
Zahlensysteme und Kodierung sind die Grundlage der digitalen Welt - von deinem Smartphone bis zum Computer läuft alles über binäre Zahlen und clevere Kodierungsverfahren. Hier lernst du, wie du zwischen verschiedenen Zahlensystemen umrechnest und wie Daten komprimiert werden.
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Binär zu Dezimal funktioniert mit Zweierpotenzen: Jede Position entspricht einer Potenz von 2. Bei 0110 1001 rechnest du 64 + 32 + 8 + 1 = 105.
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Addition im Binärsystem: 1+1 ergibt 0 mit Übertrag 1, sonst wie gewohnt. Bei der Subtraktion bildest du das Zweierkomplement der zweiten Zahl und addierst.
Tipp: Das Zweierkomplement macht Subtraktion zu Addition - genial für Computer!
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Multiplikation und Division
Multiplikation läuft genauso wie im Dezimalsystem ab: Du multiplizierst stellenweise und addierst die Zwischenergebnisse. Nur eben mit 0en und 1en statt größeren Ziffern.
Die Division funktioniert auch wie gewohnt - du teilst schrittweise und schaust, wie oft der Divisor in den Dividend passt.
Zahlenformate müssen drei Anforderungen erfüllen: fehlerfreie Arithmetik, Eindeutigkeit und Symmetrie. Perfect Symmetrie ist aber unmöglich, da 2ⁿ immer gerade ist.
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Festkommazahlen
Festkommazahlen haben eine feste Anzahl Nachkommastellen. Vor dem Komma rechnest du normal, nach dem Komma mit negativen Zweierpotenzen: 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³...
Für die Umwandlung von Dezimal zu Binär multiplizierst du den Nachkommateil mit 2. Ist das Ergebnis ≥1, schreibst du eine 1 auf und ziehst 1 ab. Die 1en und 0en von oben nach unten ergeben deine Binärzahl.
Der Zahlenbereich hängt von deinen verfügbaren Bits ab. Bei 8 Bits (4 vor, 4 nach dem Komma) reicht er von 0,0625 bis 15,9375.
Merke: Die kleinste darstellbare Zahl entspricht immer der Genauigkeit deines Systems!
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BCD (Binary Coded Decimal) stellt jede Dezimalziffer mit 4 Bits dar. 384 wird zu 0011 1000 0100. Das ist sehr genau, aber ineffizient beim Speicherplatz.
Gleitkommazahlen nach IEEE 754 nutzen 32 Bits: 1 für das Vorzeichen, 8 für den Exponenten, 23 für die Mantisse. Die Formel lautet: (-1)^Vorzeichen × 2^ × .
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Kompressionsfaktoren werden als Dezimalbruch, Prozent oder Verhältnis angegeben. Die Kompressionsrate zeigt das Verhältnis von unkomprimiert zu komprimiert.
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Erweiterte Kodierungsverfahren
Quellenkodierung maximiert die Kompression ohne Redundanz, toleriert aber Informationsverlust. Kanalkodierung fügt bewusst Redundanz für sichere Übertragung hinzu.
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Die Burrows-Wheeler-Transformation hängt ein Sonderzeichen an, schreibt alle Rotationen auf, sortiert alphabetisch und notiert die letzten Buchstaben.
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Decodierung der Burrows-Wheeler-Transformation
Die Decodierung startet beim Sonderzeichen in der alphabetisch sortierten Liste. Du schreibst den gegenüberliegenden Buchstaben auf, suchst ihn in der anderen Spalte und wiederholst den Prozess.
Das Ergebnis liest du von hinten nach vorne - so erhältst du das ursprüngliche Wort zurück. Diese Transformation eignet sich besonders gut als Vorbereitung für die Lauflängenkodierung.
Der Trick liegt darin, dass die Transformation ähnliche Buchstaben gruppiert, ohne Information zu verlieren. Das macht nachfolgende Kompression deutlich effektiver.
Genial: Die Burrows-Wheeler-Transformation verändert nur die Reihenfolge, aber macht Daten viel komprimierbarer!
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Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
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Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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