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Zahlensysteme und Ganzzahldarstellung

Binärsystem

Informatik2.220Aktualisiert 3. Okt. 20267 Seiten

Informatik Leistungskurs: Codierung und Binärsystem Lernhilfe

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Martin@bigsmiley
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Zahlensysteme und Kodierung sind die Grundlage der digitalen Welt - von deinem Smartphone bis zum Computer läuft alles über binäre Zahlen und clevere Kodierungsverfahren. Hier lernst du, wie du zwischen verschiedenen Zahlensystemen umrechnest und wie Daten komprimiert werden.
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Binäre Grundrechenarten

Binär zu Dezimal funktioniert mit Zweierpotenzen: Jede Position entspricht einer Potenz von 2. Bei 0110 1001 rechnest du 64 + 32 + 8 + 1 = 105.

Für Dezimal zu Binär teilst du wiederholt durch 2 und notierst den Rest. Die Reste von unten nach oben ergeben deine Binärzahl - das ist der klassische Divisionsalgorithmus.

Addition im Binärsystem: 1+1 ergibt 0 mit Übertrag 1, sonst wie gewohnt. Bei der Subtraktion bildest du das Zweierkomplement der zweiten Zahl (erst alle Bits umkehren, dann +1) und addierst.

Tipp: Das Zweierkomplement macht Subtraktion zu Addition - genial für Computer!

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Multiplikation und Division

Multiplikation läuft genauso wie im Dezimalsystem ab: Du multiplizierst stellenweise und addierst die Zwischenergebnisse. Nur eben mit 0en und 1en statt größeren Ziffern.

Die Division funktioniert auch wie gewohnt - du teilst schrittweise und schaust, wie oft der Divisor in den Dividend passt.

Zahlenformate müssen drei Anforderungen erfüllen: fehlerfreie Arithmetik, Eindeutigkeit und Symmetrie. Perfect Symmetrie ist aber unmöglich, da 2ⁿ immer gerade ist.

Wichtig: Diese Grundoperationen bilden das Fundament aller Computerberechnungen!

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Festkommazahlen

Festkommazahlen haben eine feste Anzahl Nachkommastellen. Vor dem Komma rechnest du normal, nach dem Komma mit negativen Zweierpotenzen: 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³...

Für die Umwandlung von Dezimal zu Binär multiplizierst du den Nachkommateil mit 2. Ist das Ergebnis ≥1, schreibst du eine 1 auf und ziehst 1 ab. Die 1en und 0en von oben nach unten ergeben deine Binärzahl.

Der Zahlenbereich hängt von deinen verfügbaren Bits ab. Bei 8 Bits (4 vor, 4 nach dem Komma) reicht er von 0,0625 bis 15,9375.

Merke: Die kleinste darstellbare Zahl entspricht immer der Genauigkeit deines Systems!

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BCD und Gleitkommazahlen

BCD (Binary Coded Decimal) stellt jede Dezimalziffer mit 4 Bits dar. 384 wird zu 0011 1000 0100. Das ist sehr genau, aber ineffizient beim Speicherplatz.

Gleitkommazahlen nach IEEE 754 nutzen 32 Bits: 1 für das Vorzeichen, 8 für den Exponenten, 23 für die Mantisse. Die Formel lautet: −1-1^Vorzeichen × 2^(Exponent-127) × (1+Mantisse).

Zur Umwandlung bestimmst du erst das Vorzeichen, wandelst in Binär um, verschiebst das Komma zur ersten 1, und berechnest Exponent (Stellen + 127) und Mantisse.

IEEE 754 ist der Weltstandard - so rechnet fast jeder Computer mit Dezimalzahlen!

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Kompression und Kodierung

Lauflängenkodierung (RLE) zählt aufeinanderfolgende gleiche Zeichen: "ddddggggg" wird zu "4d5g". Super effektiv bei vielen Wiederholungen, schlecht bei häufigen Wechseln.

Kompressionsfaktoren werden als Dezimalbruch, Prozent oder Verhältnis angegeben. Die Kompressionsrate zeigt das Verhältnis von unkomprimiert zu komprimiert.

Wirtschaftlichkeit erreichst du durch die kleinste mittlere Codewortlänge. Die Fano-Bedingung sorgt für präfixfreie Codes - kein Codewort ist der Anfang eines anderen.

Praxistipp: RLE eignet sich perfekt für einfarbige Bilder oder Grafiken mit großen einheitlichen Flächen!

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Erweiterte Kodierungsverfahren

Quellenkodierung maximiert die Kompression ohne Redundanz, toleriert aber Informationsverlust. Kanalkodierung fügt bewusst Redundanz für sichere Übertragung hinzu.

Huffman-Codierung funktioniert systematisch: Ordne nach Häufigkeiten, verbinde die beiden kleinsten Werte, wiederhole bis alle verbunden sind, beschrifte größere Werte mit 1.

Die Burrows-Wheeler-Transformation hängt ein Sonderzeichen an, schreibt alle Rotationen auf, sortiert alphabetisch und notiert die letzten Buchstaben.

Huffman-Codes sind optimal für verlustfreie Kompression - sie nutzen die Statistik deiner Daten perfekt aus!

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Decodierung der Burrows-Wheeler-Transformation

Die Decodierung startet beim Sonderzeichen in der alphabetisch sortierten Liste. Du schreibst den gegenüberliegenden Buchstaben auf, suchst ihn in der anderen Spalte und wiederholst den Prozess.

Das Ergebnis liest du von hinten nach vorne - so erhältst du das ursprüngliche Wort zurück. Diese Transformation eignet sich besonders gut als Vorbereitung für die Lauflängenkodierung.

Der Trick liegt darin, dass die Transformation ähnliche Buchstaben gruppiert, ohne Information zu verlieren. Das macht nachfolgende Kompression deutlich effektiver.

Genial: Die Burrows-Wheeler-Transformation verändert nur die Reihenfolge, aber macht Daten viel komprimierbarer!

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