Fächer

Mathe

776

•

20. Nov. 2025

•

16 Seiten

Mathe-Regelheft 11. Klasse: Wichtige Themen einfach erklärt

Leonie

@leonie_leep

Quadratische Funktionen und Differentialrechnung sind zentrale Themen in Mathe, die... Mehr anzeigen

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Mathe
π
(סי'וידידיויויויוידיויוויון
TTTTTTTTTTTT"。) Geraden
Bestimmung Geraden gleichung
M =
Ya-Yo
Quadratische Funktione

Grundlagen - Mathe Basics

Addition ist die Basis für alles weitere in der Mathematik. Mit 1+1=2 fängt alles an, aber keine Sorge - es wird gleich viel spannender!

Die einfachsten Rechenoperationen sind das Fundament für komplexere mathematische Konzepte. Du wirst sehen, dass sich auch schwierige Aufgaben oft auf diese Grundlagen zurückführen lassen.

Tipp: Auch bei komplexen Formeln gilt - Step by Step zum Ziel!

Geraden und quadratische Funktionen

Geradengleichungen bestimmst du mit der Formel $M = \frac{y_a - y_o}{x_a - x_o}$ . Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten.

Bei quadratischen Funktionen startest du mit der Normalparabel $f(x) = x^2$ . Die allgemeine Form ist $f(x) = a(x + d)^2 + e$ , wobei jeder Parameter eine bestimmte Aufgabe hat.

Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel: Bei $a > 1$ wird sie gestreckt, bei $0 < a < 1$ gestaucht. Ist $a < 0$ , öffnet sich die Parabel nach unten.

Parameter d verschiebt die Parabel horizontal, Parameter e vertikal. Der Scheitelpunkt liegt dann bei $S(d|e)$ .

Merkhilfe: d = horizontal, e = vertikal - wie bei Koordinaten!

Umrechnung zwischen Formen

Du kannst zwischen Scheitelform und Normalform hin und her wechseln. Von Scheitel- zur Normalform rechnest du einfach aus.

Für die andere Richtung brauchst du die quadratische Ergänzung. Bei $f(x) = x^2 + 6x + 13$ ergänzt du zum Binom: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ .

Das funktioniert so: Du nimmst die Hälfte des mittleren Koeffizienten $hier 6÷2=3$ und quadrierst sie. Dann addierst und subtrahierst du diesen Wert wieder.

Bei Vorfaktoren klammerst du zuerst aus: $2x^2 + 16x + 41 = 2(x^2 + 8x) + 41$ . Dann machst du die quadratische Ergänzung und ziehst das Doppelte des ergänzten Wertes ab.

Trick: Immer dran denken - was du hinzufügst, musst du auch wieder abziehen!

Parameter und Diskriminante

Mit der Diskriminante $p^2 - 4q$ erkennst du, wie viele Schnittpunkte eine Parabel mit einer Geraden hat.

Bei Diskriminante > 0 gibt es zwei Lösungen (Sekante). Bei Diskriminante = 0 eine Lösung (Tangente). Bei Diskriminante < 0 keine Lösung (Passante).

Potenzfunktionen haben die Form $f(x) = x^n$ . Sie beschreiben zum Beispiel die Kantenlänge $$K(x) = 4x$$ , Oberfläche $$O(x) = 6x^2$$ oder das Volumen $$V(x) = x^3$$ eines Würfels.

Die Lösungsformel $x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ hilft dir bei allen quadratischen Gleichungen.

Eselsbrücke: Sekante schneidet zweimal, Tangente berührt einmal, Passante geht vorbei!

Eigenschaften von Funktionen

Symmetrie checkst du rechnerisch: Bei Achsensymmetrie gilt $f(x) = f(-x)$ (nur gerade Exponenten). Bei Punktsymmetrie gilt $f(-x) = -f(x)$ (nur ungerade Exponenten).

Das Steigungsverhalten erkennst du am Graphen: Funktionen können monoton steigend, fallend oder abschnittsweise unterschiedlich verlaufen.

Beim Verhalten im Unendlichen schaust du auf den höchsten Exponenten und seinen Vorfaktor. Bei $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 1$ dominiert das $x^4$ , also geht $f(x) → ∞$ für $x → ±∞$ .

Eine Wertetabelle hilft dir, das Verhalten zu verstehen und zu visualisieren.

Tipp: Der höchste Exponent bestimmt das Verhalten im Unendlichen - alles andere wird unwichtig!

Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du $f(x) = 0$ setzt. Bei $f(x) = x^3 - 2x^2 - 8x$ klammerst du zuerst $x$ aus: $x(x^2 - 2x - 8) = 0$ .

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist $x = 0$ eine Lösung, und für $x^2 - 2x - 8 = 0$ verwendest du die Lösungsformel.

Bei biquadratischen Gleichungen wie $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$ substitutierst du $u = x^2$ . Dann löst du $u^2 - 7u + 12 = 0$ und setzt die Lösungen wieder ein.

Die Linearfaktordarstellung zeigt alle Nullstellen auf einen Blick: $x(x-4)(x+2)$ hat die Nullstellen $x = 0, 4, -2$ .

Strategie: Ausklammern → Lösungsformel → Resubstitution. So knackst du jede Gleichung!

Einführung Differentialrechnung

Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Mit $A(1|1,5)$ und $B(3|5,5)$ berechnest du: $m = \frac{5,5-1,5}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ .

Der Differenzquotient $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.

Das ist der erste Schritt zur Ableitung - später wird daraus die momentane Änderungsrate.

Durchblick: Die Sekante wird später zur Tangente - das ist der Kern der Differentialrechnung!

Ableitungsregeln

Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig können:

Potenzregel: $f(x) = x^n → f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . Faktorregel: $f(x) = a \cdot x^n → f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}$ . Konstantenregel: $f(x) = a → f'(x) = 0$ .

Die Summenregel besagt: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$ . Du leitest jeden Summanden einzeln ab.

Beispiel: $f(x) = 4x^2 + 2x → f'(x) = 8x + 2$ .

Diese Regeln funktionieren immer und machen Ableitungen zum Kinderspiel, sobald du sie drauf hast.

Power-Tipp: Exponent nach vorn, dann um eins reduzieren - fertig ist die Ableitung!

Steigungsverhalten und Tangenten

Mit der Ableitung bestimmst du das Steigungsverhalten: $f'(x) > 0$ bedeutet steigend, $f'(x) < 0$ fallend, $f'(x) = 0$ waagerecht.

Für eine bestimmte Steigung setzt du $f'(x) = M$ und löst nach $x$ auf. Bei $f'(x) = 1,2x^2 - 6x + 5 = 4$ findest du die Stellen mit Steigung 4.

Das Normalenproblem: Normale und Tangente stehen senkrecht aufeinander, also gilt $m_t \cdot m_n = -1$ .

Bei $f(x) = \sqrt{x}$ ist $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ - auch Wurzelfunktionen kannst du ableiten!

Merksatz: Tangente und Normale sind Feinde - ihr Steigungsprodukt ist immer -1!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Leonie

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Quadratische Funktionen und Differentialrechnung sind zentrale Themen in Mathe, die dir in der Oberstufe ständig begegnen werden. Du lernst hier, wie Parabeln funktionieren, wie du mit ihnen rechnest und wie du Steigungen bestimmst.

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Grundlagen - Mathe Basics

Addition ist die Basis für alles weitere in der Mathematik. Mit 1+1=2 fängt alles an, aber keine Sorge - es wird gleich viel spannender!

Die einfachsten Rechenoperationen sind das Fundament für komplexere mathematische Konzepte. Du wirst sehen, dass sich auch schwierige Aufgaben oft auf diese Grundlagen zurückführen lassen.

Tipp: Auch bei komplexen Formeln gilt - Step by Step zum Ziel!

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Geraden und quadratische Funktionen

Geradengleichungen bestimmst du mit der Formel $M = \frac{y_a - y_o}{x_a - x_o}$ . Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten.

Bei quadratischen Funktionen startest du mit der Normalparabel $f(x) = x^2$ . Die allgemeine Form ist $f(x) = a(x + d)^2 + e$ , wobei jeder Parameter eine bestimmte Aufgabe hat.

Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel: Bei $a > 1$ wird sie gestreckt, bei $0 < a < 1$ gestaucht. Ist $a < 0$ , öffnet sich die Parabel nach unten.

Parameter d verschiebt die Parabel horizontal, Parameter e vertikal. Der Scheitelpunkt liegt dann bei $S(d|e)$ .

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Umrechnung zwischen Formen

Du kannst zwischen Scheitelform und Normalform hin und her wechseln. Von Scheitel- zur Normalform rechnest du einfach aus.

Für die andere Richtung brauchst du die quadratische Ergänzung. Bei $f(x) = x^2 + 6x + 13$ ergänzt du zum Binom: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ .

Das funktioniert so: Du nimmst die Hälfte des mittleren Koeffizienten $hier 6÷2=3$ und quadrierst sie. Dann addierst und subtrahierst du diesen Wert wieder.

Bei Vorfaktoren klammerst du zuerst aus: $2x^2 + 16x + 41 = 2(x^2 + 8x) + 41$ . Dann machst du die quadratische Ergänzung und ziehst das Doppelte des ergänzten Wertes ab.

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Parameter und Diskriminante

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Bei Diskriminante > 0 gibt es zwei Lösungen (Sekante). Bei Diskriminante = 0 eine Lösung (Tangente). Bei Diskriminante < 0 keine Lösung (Passante).

Potenzfunktionen haben die Form $f(x) = x^n$ . Sie beschreiben zum Beispiel die Kantenlänge $$K(x) = 4x$$ , Oberfläche $$O(x) = 6x^2$$ oder das Volumen $$V(x) = x^3$$ eines Würfels.

Die Lösungsformel $x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ hilft dir bei allen quadratischen Gleichungen.

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Das Steigungsverhalten erkennst du am Graphen: Funktionen können monoton steigend, fallend oder abschnittsweise unterschiedlich verlaufen.

Beim Verhalten im Unendlichen schaust du auf den höchsten Exponenten und seinen Vorfaktor. Bei $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 1$ dominiert das $x^4$ , also geht $f(x) → ∞$ für $x → ±∞$ .

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Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du $f(x) = 0$ setzt. Bei $f(x) = x^3 - 2x^2 - 8x$ klammerst du zuerst $x$ aus: $x(x^2 - 2x - 8) = 0$ .

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist $x = 0$ eine Lösung, und für $x^2 - 2x - 8 = 0$ verwendest du die Lösungsformel.

Bei biquadratischen Gleichungen wie $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$ substitutierst du $u = x^2$ . Dann löst du $u^2 - 7u + 12 = 0$ und setzt die Lösungen wieder ein.

Die Linearfaktordarstellung zeigt alle Nullstellen auf einen Blick: $x(x-4)(x+2)$ hat die Nullstellen $x = 0, 4, -2$ .

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Der Differenzquotient $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.

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Ableitungsregeln

Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig können:

Potenzregel: $f(x) = x^n → f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . Faktorregel: $f(x) = a \cdot x^n → f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}$ . Konstantenregel: $f(x) = a → f'(x) = 0$ .

Die Summenregel besagt: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$ . Du leitest jeden Summanden einzeln ab.

Beispiel: $f(x) = 4x^2 + 2x → f'(x) = 8x + 2$ .

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Steigungsverhalten und Tangenten

Mit der Ableitung bestimmst du das Steigungsverhalten: $f'(x) > 0$ bedeutet steigend, $f'(x) < 0$ fallend, $f'(x) = 0$ waagerecht.

Für eine bestimmte Steigung setzt du $f'(x) = M$ und löst nach $x$ auf. Bei $f'(x) = 1,2x^2 - 6x + 5 = 4$ findest du die Stellen mit Steigung 4.

Das Normalenproblem: Normale und Tangente stehen senkrecht aufeinander, also gilt $m_t \cdot m_n = -1$ .

Bei $f(x) = \sqrt{x}$ ist $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ - auch Wurzelfunktionen kannst du ableiten!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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