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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Differentiationsregeln

789

•

19. Jan. 2026

•

16 Seiten

Mathe-Regelheft 11. Klasse: Wichtige Themen einfach erklärt

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Leonie

@leonie_leep

Quadratische Funktionen und Differentialrechnung sind zentrale Themen in Mathe, die... Mehr anzeigen

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Mathe 1+1 # Geraden Bestimmung Geradengleichung $M=\frac{y_a-y_o}{X_n-X_o}$ # Quadratische Funktionen Die Normal parabel f(x)ox² Allgeme

Grundlagen - Mathe Basics

Addition ist die Basis für alles weitere in der Mathematik. Mit 1+1=2 fängt alles an, aber keine Sorge - es wird gleich viel spannender!

Die einfachsten Rechenoperationen sind das Fundament für komplexere mathematische Konzepte. Du wirst sehen, dass sich auch schwierige Aufgaben oft auf diese Grundlagen zurückführen lassen.

Tipp: Auch bei komplexen Formeln gilt - Step by Step zum Ziel!

Mathe 1+1 # Geraden Bestimmung Geradengleichung $M=\frac{y_a-y_o}{X_n-X_o}$ # Quadratische Funktionen Die Normal parabel f(x)ox² Allgeme

Geraden und quadratische Funktionen

Geradengleichungen bestimmst du mit der Formel M=ya−yoxa−xoM = \frac{y_a - y_o}{x_a - x_o}. Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten.

Bei quadratischen Funktionen startest du mit der Normalparabel f(x)=x2f(x) = x^2. Die allgemeine Form ist f(x)=a(x+d)2+ef(x) = a(x + d)^2 + e, wobei jeder Parameter eine bestimmte Aufgabe hat.

Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel: Bei a>1a > 1 wird sie gestreckt, bei $0 < a < 1gestaucht.Ist gestaucht. Ist a < 0$, öffnet sich die Parabel nach unten.

Parameter d verschiebt die Parabel horizontal, Parameter e vertikal. Der Scheitelpunkt liegt dann bei S(d∣e)S(d|e).

Merkhilfe: d = horizontal, e = vertikal - wie bei Koordinaten!

Mathe 1+1 # Geraden Bestimmung Geradengleichung $M=\frac{y_a-y_o}{X_n-X_o}$ # Quadratische Funktionen Die Normal parabel f(x)ox² Allgeme

Umrechnung zwischen Formen

Du kannst zwischen Scheitelform und Normalform hin und her wechseln. Von Scheitel- zur Normalform rechnest du einfach aus.

Für die andere Richtung brauchst du die quadratische Ergänzung. Bei f(x)=x2+6x+13f(x) = x^2 + 6x + 13 ergänzt du zum Binom: (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9.

Das funktioniert so: Du nimmst die Hälfte des mittleren Koeffizienten hier6÷2=3hier 6÷2=3 und quadrierst sie. Dann addierst und subtrahierst du diesen Wert wieder.

Bei Vorfaktoren klammerst du zuerst aus: $2x^2 + 16x + 41 = 2x2+8xx^2 + 8x + 41$. Dann machst du die quadratische Ergänzung und ziehst das Doppelte des ergänzten Wertes ab.

Trick: Immer dran denken - was du hinzufügst, musst du auch wieder abziehen!

Mathe 1+1 # Geraden Bestimmung Geradengleichung $M=\frac{y_a-y_o}{X_n-X_o}$ # Quadratische Funktionen Die Normal parabel f(x)ox² Allgeme

Parameter und Diskriminante

Mit der Diskriminante p2−4qp^2 - 4q erkennst du, wie viele Schnittpunkte eine Parabel mit einer Geraden hat.

Bei Diskriminante > 0 gibt es zwei Lösungen (Sekante). Bei Diskriminante = 0 eine Lösung (Tangente). Bei Diskriminante < 0 keine Lösung (Passante).

Potenzfunktionen haben die Form f(x)=xnf(x) = x^n. Sie beschreiben zum Beispiel die Kantenlänge $K(x) = 4x$, Oberfläche $O(x) = 6x^2$ oder das Volumen $V(x) = x^3$ eines Würfels.

Die Lösungsformel x1,2=−p±p2−4q2x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} hilft dir bei allen quadratischen Gleichungen.

Eselsbrücke: Sekante schneidet zweimal, Tangente berührt einmal, Passante geht vorbei!

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Eigenschaften von Funktionen

Symmetrie checkst du rechnerisch: Bei Achsensymmetrie gilt f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) (nur gerade Exponenten). Bei Punktsymmetrie gilt f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (nur ungerade Exponenten).

Das Steigungsverhalten erkennst du am Graphen: Funktionen können monoton steigend, fallend oder abschnittsweise unterschiedlich verlaufen.

Beim Verhalten im Unendlichen schaust du auf den höchsten Exponenten und seinen Vorfaktor. Bei f(x)=x4−3x3+x2+1f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 1 dominiert das x4x^4, also geht f(x)→∞f(x) → ∞ für x→±∞x → ±∞.

Eine Wertetabelle hilft dir, das Verhalten zu verstehen und zu visualisieren.

Tipp: Der höchste Exponent bestimmt das Verhalten im Unendlichen - alles andere wird unwichtig!

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Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei f(x)=x3−2x2−8xf(x) = x^3 - 2x^2 - 8x klammerst du zuerst xx aus: x(x2−2x−8)=0x(x^2 - 2x - 8) = 0.

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist x=0x = 0 eine Lösung, und für x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0 verwendest du die Lösungsformel.

Bei biquadratischen Gleichungen wie x4−7x2+12=0x^4 - 7x^2 + 12 = 0 substitutierst du u=x2u = x^2. Dann löst du u2−7u+12=0u^2 - 7u + 12 = 0 und setzt die Lösungen wieder ein.

Die Linearfaktordarstellung zeigt alle Nullstellen auf einen Blick: x(x−4)(x+2)x(x-4)(x+2) hat die Nullstellen x=0,4,−2x = 0, 4, -2.

Strategie: Ausklammern → Lösungsformel → Resubstitution. So knackst du jede Gleichung!

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Einführung Differentialrechnung

Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Mit A(1∣1,5)A(1|1,5) und B(3∣5,5)B(3|5,5) berechnest du: m=5,5−1,53−1=42=2m = \frac{5,5-1,5}{3-1} = \frac{4}{2} = 2.

Der Differenzquotient ΔfΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.

Das ist der erste Schritt zur Ableitung - später wird daraus die momentane Änderungsrate.

Durchblick: Die Sekante wird später zur Tangente - das ist der Kern der Differentialrechnung!

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Ableitungsregeln

Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig können:

Potenzregel: f(x)=xn→f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n → f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Faktorregel: f(x)=a⋅xn→f′(x)=n⋅a⋅xn−1f(x) = a \cdot x^n → f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}. Konstantenregel: f(x)=a→f′(x)=0f(x) = a → f'(x) = 0.

Die Summenregel besagt: (g(x)+h(x))′=g′(x)+h′(x)(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x). Du leitest jeden Summanden einzeln ab.

Beispiel: f(x)=4x2+2x→f′(x)=8x+2f(x) = 4x^2 + 2x → f'(x) = 8x + 2.

Diese Regeln funktionieren immer und machen Ableitungen zum Kinderspiel, sobald du sie drauf hast.

Power-Tipp: Exponent nach vorn, dann um eins reduzieren - fertig ist die Ableitung!

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Steigungsverhalten und Tangenten

Mit der Ableitung bestimmst du das Steigungsverhalten: f′(x)>0f'(x) > 0 bedeutet steigend, f′(x)<0f'(x) < 0 fallend, f′(x)=0f'(x) = 0 waagerecht.

Für eine bestimmte Steigung setzt du f′(x)=Mf'(x) = M und löst nach xx auf. Bei f′(x)=1,2x2−6x+5=4f'(x) = 1,2x^2 - 6x + 5 = 4 findest du die Stellen mit Steigung 4.

Das Normalenproblem: Normale und Tangente stehen senkrecht aufeinander, also gilt mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1.

Bei f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ist f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - auch Wurzelfunktionen kannst du ableiten!

Merksatz: Tangente und Normale sind Feinde - ihr Steigungsprodukt ist immer -1!

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Beliebtester Inhalt: Differentiationsregeln

Ableitungsregeln Zusammenfassung

Entdecke die wichtigsten Ableitungsregeln in dieser umfassenden Präsentation. Erlerne die Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenregel sowie die Kettenregel und Exponentialableitungen. Ideal für Studierende der Mathematik und zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Ableitungsregeln & Umkehrfunktionen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Ableitungsregeln, die Umkehrfunktion und die Ableitung von Wurzelfunktionen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, um die Konzepte klar zu verstehen und anzuwenden.

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Ableitungsregeln im Detail

Entdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen mit einem Fokus auf die wichtigsten Ableitungsregeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, um das Verständnis für Differentialrechnung zu vertiefen.

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Ableitungen und Graphen

Entdecken Sie die Grundlagen der Differentialrechnung mit Fokus auf Ableitungsregeln, graphisches Ableiten, die H-Methode sowie die Analyse von Steigungs- und Schnittwinkeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und zur Berechnung von Tangenten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungs- und Integrationsregeln

Detaillierte Übersicht über Ableitungs- und Integrationsregeln, einschließlich Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel und Wendepunkte. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur in Mathematik. Enthält wichtige Konzepte wie Extrema, Nullstellen und graphisches Ableiten.

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Mathematik Abitur 2024: Kerncurriculum

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Themen für die Mathematik-Abiturprüfung 2024 in Niedersachsen. Er behandelt wichtige Konzepte wie Differential- und Integralrechnung, Stochastik, analytische Geometrie und grundlegende Statistik. Ideal für Schüler, die sich auf das erhöhte Anforderungsniveau vorbereiten. Enthält auch Erklärungen zu exponentiellem Wachstum, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Kurvenverhalten.

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Trigonometrische Funktionen & Ableitungen

Entdecken Sie die Grundlagen der trigonometrischen Funktionen, einschließlich Sinus- und Cosinusfunktionen, deren Ableitungen und Parameter. Diese Zusammenfassung behandelt auch die Kettenregel und die grafische Differenzierung, um das Verständnis der Wellenbewegungen und deren Eigenschaften zu vertiefen. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.

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Ableitungsregeln für Funktionen

Entdecken Sie die grundlegenden und speziellen Ableitungsregeln für Funktionen, einschließlich der Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen für e-Funktionen und trigonometrische Ableitungen, um das Verständnis zu vertiefen. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Mathematik: Analysis & Stochastik

Entdecken Sie die wichtigsten Konzepte der Mathematik, einschließlich Differentiation, Integration, analytische Geometrie und Stochastik. Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über Ableitungsregeln, Wurzelberechnungen, Vektoreigenschaften und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Der zerbrochene Krug: Analyse

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Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Rohan U

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathematik

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Quadratische Funktionen und Differentialrechnung sind zentrale Themen in Mathe, die dir in der Oberstufe ständig begegnen werden. Du lernst hier, wie Parabeln funktionieren, wie du mit ihnen rechnest und wie du Steigungen bestimmst.

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Grundlagen - Mathe Basics

Addition ist die Basis für alles weitere in der Mathematik. Mit 1+1=2 fängt alles an, aber keine Sorge - es wird gleich viel spannender!

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Geraden und quadratische Funktionen

Geradengleichungen bestimmst du mit der Formel M=ya−yoxa−xoM = \frac{y_a - y_o}{x_a - x_o}. Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten.

Bei quadratischen Funktionen startest du mit der Normalparabel f(x)=x2f(x) = x^2. Die allgemeine Form ist f(x)=a(x+d)2+ef(x) = a(x + d)^2 + e, wobei jeder Parameter eine bestimmte Aufgabe hat.

Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel: Bei a>1a > 1 wird sie gestreckt, bei $0 < a < 1gestaucht.Ist gestaucht. Ist a < 0$, öffnet sich die Parabel nach unten.

Parameter d verschiebt die Parabel horizontal, Parameter e vertikal. Der Scheitelpunkt liegt dann bei S(d∣e)S(d|e).

Merkhilfe: d = horizontal, e = vertikal - wie bei Koordinaten!

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Umrechnung zwischen Formen

Du kannst zwischen Scheitelform und Normalform hin und her wechseln. Von Scheitel- zur Normalform rechnest du einfach aus.

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Bei Vorfaktoren klammerst du zuerst aus: $2x^2 + 16x + 41 = 2x2+8xx^2 + 8x + 41$. Dann machst du die quadratische Ergänzung und ziehst das Doppelte des ergänzten Wertes ab.

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Parameter und Diskriminante

Mit der Diskriminante p2−4qp^2 - 4q erkennst du, wie viele Schnittpunkte eine Parabel mit einer Geraden hat.

Bei Diskriminante > 0 gibt es zwei Lösungen (Sekante). Bei Diskriminante = 0 eine Lösung (Tangente). Bei Diskriminante < 0 keine Lösung (Passante).

Potenzfunktionen haben die Form f(x)=xnf(x) = x^n. Sie beschreiben zum Beispiel die Kantenlänge $K(x) = 4x$, Oberfläche $O(x) = 6x^2$ oder das Volumen $V(x) = x^3$ eines Würfels.

Die Lösungsformel x1,2=−p±p2−4q2x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} hilft dir bei allen quadratischen Gleichungen.

Eselsbrücke: Sekante schneidet zweimal, Tangente berührt einmal, Passante geht vorbei!

Mathe 1+1 # Geraden Bestimmung Geradengleichung $M=\frac{y_a-y_o}{X_n-X_o}$ # Quadratische Funktionen Die Normal parabel f(x)ox² Allgeme

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Eigenschaften von Funktionen

Symmetrie checkst du rechnerisch: Bei Achsensymmetrie gilt f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) (nur gerade Exponenten). Bei Punktsymmetrie gilt f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (nur ungerade Exponenten).

Das Steigungsverhalten erkennst du am Graphen: Funktionen können monoton steigend, fallend oder abschnittsweise unterschiedlich verlaufen.

Beim Verhalten im Unendlichen schaust du auf den höchsten Exponenten und seinen Vorfaktor. Bei f(x)=x4−3x3+x2+1f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 1 dominiert das x4x^4, also geht f(x)→∞f(x) → ∞ für x→±∞x → ±∞.

Eine Wertetabelle hilft dir, das Verhalten zu verstehen und zu visualisieren.

Tipp: Der höchste Exponent bestimmt das Verhalten im Unendlichen - alles andere wird unwichtig!

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Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei f(x)=x3−2x2−8xf(x) = x^3 - 2x^2 - 8x klammerst du zuerst xx aus: x(x2−2x−8)=0x(x^2 - 2x - 8) = 0.

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist x=0x = 0 eine Lösung, und für x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0 verwendest du die Lösungsformel.

Bei biquadratischen Gleichungen wie x4−7x2+12=0x^4 - 7x^2 + 12 = 0 substitutierst du u=x2u = x^2. Dann löst du u2−7u+12=0u^2 - 7u + 12 = 0 und setzt die Lösungen wieder ein.

Die Linearfaktordarstellung zeigt alle Nullstellen auf einen Blick: x(x−4)(x+2)x(x-4)(x+2) hat die Nullstellen x=0,4,−2x = 0, 4, -2.

Strategie: Ausklammern → Lösungsformel → Resubstitution. So knackst du jede Gleichung!

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Einführung Differentialrechnung

Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Mit A(1∣1,5)A(1|1,5) und B(3∣5,5)B(3|5,5) berechnest du: m=5,5−1,53−1=42=2m = \frac{5,5-1,5}{3-1} = \frac{4}{2} = 2.

Der Differenzquotient ΔfΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.

Das ist der erste Schritt zur Ableitung - später wird daraus die momentane Änderungsrate.

Durchblick: Die Sekante wird später zur Tangente - das ist der Kern der Differentialrechnung!

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Ableitungsregeln

Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig können:

Potenzregel: f(x)=xn→f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n → f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Faktorregel: f(x)=a⋅xn→f′(x)=n⋅a⋅xn−1f(x) = a \cdot x^n → f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}. Konstantenregel: f(x)=a→f′(x)=0f(x) = a → f'(x) = 0.

Die Summenregel besagt: (g(x)+h(x))′=g′(x)+h′(x)(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x). Du leitest jeden Summanden einzeln ab.

Beispiel: f(x)=4x2+2x→f′(x)=8x+2f(x) = 4x^2 + 2x → f'(x) = 8x + 2.

Diese Regeln funktionieren immer und machen Ableitungen zum Kinderspiel, sobald du sie drauf hast.

Power-Tipp: Exponent nach vorn, dann um eins reduzieren - fertig ist die Ableitung!

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Steigungsverhalten und Tangenten

Mit der Ableitung bestimmst du das Steigungsverhalten: f′(x)>0f'(x) > 0 bedeutet steigend, f′(x)<0f'(x) < 0 fallend, f′(x)=0f'(x) = 0 waagerecht.

Für eine bestimmte Steigung setzt du f′(x)=Mf'(x) = M und löst nach xx auf. Bei f′(x)=1,2x2−6x+5=4f'(x) = 1,2x^2 - 6x + 5 = 4 findest du die Stellen mit Steigung 4.

Das Normalenproblem: Normale und Tangente stehen senkrecht aufeinander, also gilt mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1.

Bei f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ist f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - auch Wurzelfunktionen kannst du ableiten!

Merksatz: Tangente und Normale sind Feinde - ihr Steigungsprodukt ist immer -1!

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Beliebtester Inhalt: Differentiationsregeln

Ableitungsregeln Zusammenfassung

Entdecke die wichtigsten Ableitungsregeln in dieser umfassenden Präsentation. Erlerne die Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenregel sowie die Kettenregel und Exponentialableitungen. Ideal für Studierende der Mathematik und zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Ableitungsregeln & Umkehrfunktionen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Ableitungsregeln, die Umkehrfunktion und die Ableitung von Wurzelfunktionen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, um die Konzepte klar zu verstehen und anzuwenden.

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Ableitungsregeln im Detail

Entdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen mit einem Fokus auf die wichtigsten Ableitungsregeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, um das Verständnis für Differentialrechnung zu vertiefen.

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Ableitungen und Graphen

Entdecken Sie die Grundlagen der Differentialrechnung mit Fokus auf Ableitungsregeln, graphisches Ableiten, die H-Methode sowie die Analyse von Steigungs- und Schnittwinkeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und zur Berechnung von Tangenten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungs- und Integrationsregeln

Detaillierte Übersicht über Ableitungs- und Integrationsregeln, einschließlich Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel und Wendepunkte. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur in Mathematik. Enthält wichtige Konzepte wie Extrema, Nullstellen und graphisches Ableiten.

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Mathematik Abitur 2024: Kerncurriculum

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Themen für die Mathematik-Abiturprüfung 2024 in Niedersachsen. Er behandelt wichtige Konzepte wie Differential- und Integralrechnung, Stochastik, analytische Geometrie und grundlegende Statistik. Ideal für Schüler, die sich auf das erhöhte Anforderungsniveau vorbereiten. Enthält auch Erklärungen zu exponentiellem Wachstum, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Kurvenverhalten.

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Trigonometrische Funktionen & Ableitungen

Entdecken Sie die Grundlagen der trigonometrischen Funktionen, einschließlich Sinus- und Cosinusfunktionen, deren Ableitungen und Parameter. Diese Zusammenfassung behandelt auch die Kettenregel und die grafische Differenzierung, um das Verständnis der Wellenbewegungen und deren Eigenschaften zu vertiefen. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.

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Ableitungsregeln für Funktionen

Entdecken Sie die grundlegenden und speziellen Ableitungsregeln für Funktionen, einschließlich der Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen für e-Funktionen und trigonometrische Ableitungen, um das Verständnis zu vertiefen. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Mathematik: Analysis & Stochastik

Entdecken Sie die wichtigsten Konzepte der Mathematik, einschließlich Differentiation, Integration, analytische Geometrie und Stochastik. Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über Ableitungsregeln, Wurzelberechnungen, Vektoreigenschaften und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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4.9/5

App Store

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Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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