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Mathe
28. Nov. 2025
854
5 Seiten
Lilly @lillyrose_89099
Steigungen von Funktionen verstehen ist entscheidend für die Analysis. Du lernst hier den Unterschied zwischen durchschnittlicher und momentaner... Mehr anzeigen
![Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
==
• Steigung zwischen zwei Punkten (Steigung der Sekante)
Δη
[ab] f(b) - f(a) - Ay -
b-a
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Δ](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2F018f3413-3e9e-7421-bc69-3a3461947d3f_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Der Differenzenquotient zeigt dir, wie steil eine Funktion zwischen zwei Punkten ansteigt oder fällt. Du berechnest einfach die Steigung der Sekante zwischen diesen Punkten.
Die Formel ist super simpel . Das kennst du schon von der Geradensteigung als .
Bei f(x) = 0,25x² + 1 im Intervall rechnest du f(-3) = 3,25 und f(0) = 1. Also . Die Funktion fällt also durchschnittlich um 0,75 pro Einheit.
💡 Merktipp Der Differenzenquotient ist wie die Durchschnittsgeschwindigkeit - er zeigt die mittlere Veränderung über eine Strecke.
![Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
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• Steigung zwischen zwei Punkten (Steigung der Sekante)
Δη
[ab] f(b) - f(a) - Ay -
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Während der Differenzenquotient die durchschnittliche Änderung misst, zeigt der Differentialquotient die momentane Änderung an einem einzigen Punkt. Das ist die Steigung der Tangente.
Die Formel sieht kompliziert aus . Aber keine Sorge - du machst h immer kleiner, bis du die exakte Steigung hast.
Praktisch nutzt du einfach die Ableitungsregeln Aus f(x) = 0,25x² + 1 wird f'(x) = 0,5x. An der Stelle x = 3 ist die Steigung f'(3) = 1,5.
🎯 Klausurtipp Die Ableitung ist dein Werkzeug für Tangentensteigungen - lerne die Ableitungsregeln auswendig!
![Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
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• Steigung zwischen zwei Punkten (Steigung der Sekante)
Δη
[ab] f(b) - f(a) - Ay -
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Eine Funktion ist nicht differenzierbar, wenn sie einen Knick hat. Das erkennst du daran, dass die linksseitige und rechtsseitige Steigung unterschiedlich sind.
Bei stückweise definierten Funktionen prüfst du die Übergangsstelle besonders genau. Wenn die Grenzwerte von links und rechts verschiedene Werte haben, gibt es einen Knick.
Im Beispiel mit der Funktion, die bei x = 4 den Übergang hat, erhältst du linksseitig die Steigung 2 und rechtsseitig die Steigung 1. Da 2 ≠ 1, ist die Funktion nicht differenzierbar.
⚠️ Achtung Auch wenn eine Funktion stetig ist, kann sie trotzdem einen Knick haben und damit nicht differenzierbar sein!
![Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
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• Steigung zwischen zwei Punkten (Steigung der Sekante)
Δη
[ab] f(b) - f(a) - Ay -
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Δ](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2F018f3413-3e9e-7421-bc69-3a3461947d3f_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
Mit der Tangentengleichung findest du die Gerade, die eine Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Du brauchst nur die Steigung f'(x₀) und den Berührpunkt.
Die Formel y = mx + t kennst du schon. Bei f(x) = x³ am Punkt (2|8) ist m = f'(2) = 12. Einsetzen ergibt 8 = 12·2 + t, also t = -16. Die Tangentengleichung lautet y = 12x - 16.
Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert m₂ = -1/12. Mit dem gleichen Punkt erhältst du die Normalengleichung.
📐 Eselsbrücke Tangente = berührt, Normale = steht senkrecht drauf. Steigungen multipliziert ergeben -1.
![Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
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• Steigung zwischen zwei Punkten (Steigung der Sekante)
Δη
[ab] f(b) - f(a) - Ay -
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Den Steigungswinkel berechnest du mit tan α = m. Bei einer Steigung von 12 ist α ≈ 85,24° - ziemlich steil!
Die Ableitungsfunktion f' zeigt dir zu jedem x-Wert die momentane Steigung. Aus f(x) = x⁴ wird f'(x) = 4x³, aus g(x) = x³ wird g'(x) = 3x².
Beim Zuordnen von Graphen achte auf die Eigenschaften f'(x) = 4x³ ist eine kubische Funktion (Graph 3. Grades), g'(x) = 3x² ist eine nach oben geöffnete Parabel.
🔍 Analysehilfe Wo die ursprüngliche Funktion steigt, ist die Ableitung positiv. Wo sie fällt, ist die Ableitung negativ.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lilly
@lillyrose_89099
Steigungen von Funktionen verstehen ist entscheidend für die Analysis. Du lernst hier den Unterschied zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderung kennen - das ist die Basis für alles, was in der Differentialrechnung folgt.
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Der Differenzenquotient zeigt dir, wie steil eine Funktion zwischen zwei Punkten ansteigt oder fällt. Du berechnest einfach die Steigung der Sekante zwischen diesen Punkten.
Die Formel ist super simpel: . Das kennst du schon von der Geradensteigung als .
Bei f(x) = 0,25x² + 1 im Intervall rechnest du: f(-3) = 3,25 und f(0) = 1. Also: . Die Funktion fällt also durchschnittlich um 0,75 pro Einheit.
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Während der Differenzenquotient die durchschnittliche Änderung misst, zeigt der Differentialquotient die momentane Änderung an einem einzigen Punkt. Das ist die Steigung der Tangente.
Die Formel sieht kompliziert aus: . Aber keine Sorge - du machst h immer kleiner, bis du die exakte Steigung hast.
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Eine Funktion ist nicht differenzierbar, wenn sie einen Knick hat. Das erkennst du daran, dass die linksseitige und rechtsseitige Steigung unterschiedlich sind.
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Im Beispiel mit der Funktion, die bei x = 4 den Übergang hat, erhältst du linksseitig die Steigung 2 und rechtsseitig die Steigung 1. Da 2 ≠ 1, ist die Funktion nicht differenzierbar.
⚠️ Achtung: Auch wenn eine Funktion stetig ist, kann sie trotzdem einen Knick haben und damit nicht differenzierbar sein!
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Mit der Tangentengleichung findest du die Gerade, die eine Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Du brauchst nur die Steigung f'(x₀) und den Berührpunkt.
Die Formel y = mx + t kennst du schon. Bei f(x) = x³ am Punkt (2|8) ist m = f'(2) = 12. Einsetzen ergibt: 8 = 12·2 + t, also t = -16. Die Tangentengleichung lautet y = 12x - 16.
Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert: m₂ = -1/12. Mit dem gleichen Punkt erhältst du die Normalengleichung.
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Den Steigungswinkel berechnest du mit tan α = m. Bei einer Steigung von 12 ist α ≈ 85,24° - ziemlich steil!
Die Ableitungsfunktion f' zeigt dir zu jedem x-Wert die momentane Steigung. Aus f(x) = x⁴ wird f'(x) = 4x³, aus g(x) = x³ wird g'(x) = 3x².
Beim Zuordnen von Graphen achte auf die Eigenschaften: f'(x) = 4x³ ist eine kubische Funktion (Graph 3. Grades), g'(x) = 3x² ist eine nach oben geöffnete Parabel.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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