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Juli
30.11.2025
Mathe
Analysis Abitur Integralechnung
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30. Nov. 2025
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Juli
@studywithjuli
Die Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug der Analysis, mit dem... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen - genau das macht die Integralrechnung möglich! Das bestimmte Integral berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse.
Die Grundformel lautet: . Dabei ist F(x) die Stammfunktion von f(x). Du setzt einfach die obere Grenze b und die untere Grenze a ein und bildest die Differenz.
Ein wichtiger Punkt: Integral ≠ Flächeninhalt! Wenn Teile der Funktion unter der x-Achse liegen, werden sie negativ gerechnet. Willst du den echten Flächeninhalt, musst du Betragsstriche verwenden: .
Merktipp: Bei Flächenberechnungen immer prüfen, ob die Funktion die x-Achse schneidet - dann musst du die Flächen einzeln berechnen und die Beträge addieren!
Das unbestimmte Integral hat keine Grenzen und liefert dir eine ganze Funktionsfamilie - daher die Konstante +c. Beispiel: .
Beim bestimmten Integral hast du feste Grenzen und erhältst einen konkreten Zahlenwert. Du berechnest und bekommst das Ergebnis in Flächeneinheiten (FE).
Das uneigentliche Integral kommt ins Spiel, wenn eine Grenze gegen unendlich geht. Du arbeitest mit Grenzwerten: . Oft konvergiert das Integral trotzdem gegen einen festen Wert.
Bei der Integralfunktion ist eine Grenze variabel - du erhältst eine neue Funktion als Ergebnis, nicht nur eine Zahl.
Praxistipp: Bestimmte Integrale sind perfekt für Klassenarbeiten, weil du immer einen konkreten Wert herausbekommst!
Wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven berechnen willst, wird's richtig interessant! Du gehst in zwei Schritten vor: Erst die Schnittstellen finden, dann die Fläche berechnen.
Die Schnittstellen werden zu deinen Integrationsgrenzen. Du löst und findest so die Punkte, wo sich die Funktionen treffen. Diese Punkte teilen dein Integrationsgebiet in Teilbereiche auf.
Die Fläche berechnest du mit . Wichtig: Du integrierst über die Differenz der beiden Funktionen und verwendest Betragsstriche, damit negative Bereiche nicht die positiven aufheben.
Falls die Differenzfunktion das Vorzeichen wechselt, musst du die Teilintegrale einzeln berechnen und ihre Beträge addieren.
Strategietipp: Zeichne dir die beiden Funktionen immer auf - so siehst du sofort, welche Funktion oben liegt und wo sie sich schneiden!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Juli
@studywithjuli
Die Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug der Analysis, mit dem du Flächeninhalte unter Kurven berechnen kannst. Es gibt verschiedene Arten von Integralen, die alle ihre eigenen Anwendungsbereiche haben - von einfachen Flächenberechnungen bis hin zu komplexeren Problemen zwischen zwei Funktionen.
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen - genau das macht die Integralrechnung möglich! Das bestimmte Integral berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse.
Die Grundformel lautet: . Dabei ist F(x) die Stammfunktion von f(x). Du setzt einfach die obere Grenze b und die untere Grenze a ein und bildest die Differenz.
Ein wichtiger Punkt: Integral ≠ Flächeninhalt! Wenn Teile der Funktion unter der x-Achse liegen, werden sie negativ gerechnet. Willst du den echten Flächeninhalt, musst du Betragsstriche verwenden: .
Merktipp: Bei Flächenberechnungen immer prüfen, ob die Funktion die x-Achse schneidet - dann musst du die Flächen einzeln berechnen und die Beträge addieren!
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Die Schnittstellen werden zu deinen Integrationsgrenzen. Du löst und findest so die Punkte, wo sich die Funktionen treffen. Diese Punkte teilen dein Integrationsgebiet in Teilbereiche auf.
Die Fläche berechnest du mit . Wichtig: Du integrierst über die Differenz der beiden Funktionen und verwendest Betragsstriche, damit negative Bereiche nicht die positiven aufheben.
Falls die Differenzfunktion das Vorzeichen wechselt, musst du die Teilintegrale einzeln berechnen und ihre Beträge addieren.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten, der Stammfunktion und der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt auch die Berechnung von Volumen durch Rotationskörper und den Mittelwert von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Flächenanalyse in diesem umfassenden Lernmaterial. Themen umfassen Stammfunktionen, Flächenbilanz, Integralschreibweise, das Gauß-Verfahren, Mittelwertbestimmung und die Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Stammfunktionen, unbestimmten und bestimmten Integralen. Erfahren Sie, wie man Flächeninhalte unter Kurven mit der Streifenmethode bestimmt und die Konzepte von Obersumme und Untersumme anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihr Verständnis der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächen zwischen Graphen und der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie unbestimmte Integrale, Mittelwerte von Funktionen und Integrationsmethoden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung mit Fokus auf Flächeninhalte unter und zwischen Funktionsgraphen. Diese Zusammenfassung behandelt die Nullstellenbestimmung, die Berechnung von Stammfunktionen und die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie die Linearität des Integrals die Berechnung vereinfacht. Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Formeln zur Addition von Integralen und zur Handhabung konstanter Faktoren. Ideal für Studierende, die die Effizienz in der Integralrechnung steigern möchten. Beispiele und Erklärungen helfen, die Konzepte klar zu verstehen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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