Analysis: Differenzial- und Integralrechnung Grundlagen

Die Ableitung einer Funktion zeigt dir die Steigung an jedem Punkt - das ist super praktisch für Kurvendiskussionen! Der Differenzenquotient misst die Steigung zwischen zwei Punkten, während der Differenzialquotient (die eigentliche Ableitung) die Steigung an genau einem Punkt angibt.

Bei den Grundfunktionen merkst du dir am besten: Konstanten verschwinden $f'(x) = 0$, bei x^n ziehst du den Exponenten nach vorne und verringerst ihn um 1. Die Ableitungsregeln wie Faktorregel, Summenregel, Produktregel und Kettenregel helfen dir dabei, auch komplizierte Funktionen zu lösen.

Das Monotonieverhalten erkennst du an der ersten Ableitung: f'$x$ > 0 bedeutet steigend, f'$x$ < 0 bedeutet fallend. Extrempunkte findest du, wo f'$x$ = 0 ist - die zweite Ableitung verrät dir dann, ob es ein Maximum oder Minimum ist.

Merktipp: Die erste Ableitung zeigt Steigung, die zweite Ableitung zeigt Krümmung!

Für Wendepunkte suchst du Nullstellen der zweiten Ableitung. Tangenten- und Normalengleichungen berechnest du mit der Punkt-Steigungsform, wobei die Normale senkrecht zur Tangente steht.

Die Kurvendiskussion folgt einem festen Schema: Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Wendepunkte und Symmetrie untersuchen.

Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung - hier suchst du die ursprüngliche Funktion. Bestimmte Integrale berechnen Flächen zwischen Kurve und x-Achse. Die Flächenberechnung klappt auch zwischen zwei Funktionen, dann integrierst du ihre Differenz.

Bei Änderungsraten hilft dir das Integral, vom momentanen Tempo auf die Gesamtveränderung zu schließen. Den Mittelwert einer Funktion findest du durch Integration geteilt durch die Intervallänge.