Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden und Ebenen – Beispiele, Aufgaben & GTR‑Hilfe

Punkte und Vektoren im Raum

Abstand und Mittelpunkt

Der Abstand zweier Punkte im $R^3$ basiert auf dem dreidimensionalen Satz des Pythagoras.

• Abstand: $d = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$
• Mittelpunkt: $M(\frac{a_1+b_1}{2} | \frac{a_2+b_2}{2} | \frac{a_3+b_3}{2})$
• Vektor berechnen: Verbindungsvektor $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$

Vektor-Eigenschaften

• Betrag: Länge eines Vektors $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
• Kollinearität: Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind.

Beispiel: Abstand von $A(1|1|1)$ und $B(3|3|2)$: $d = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$

💡 Tipp: Berechne für den Verbindungsvektor immer "Spitze minus Anfang", also den Ortsvektor des Endpunkts minus den des Anfangspunkts.

Rechnen mit Vektoren

Operationen und Linearkombinationen

Vektoren lassen sich addieren, subtrahieren und mit einem Skalar multiplizieren.

• Addition: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix}$
• S-Multiplikation: $r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$
• Linearkombination: Summe von Vektoren mit Koeffizienten, z. B. $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Lineare Abhängigkeit

• Zwei Vektoren: Sind linear abhängig (kollinear), wenn $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ gilt.
• Drei Vektoren: Sind linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen (komplanar).

💡 Tipp: Ein Vektor hat unendlich viele Pfeile im Raum, die alle dieselbe Länge und Richtung besitzen – nur der Ortsvektor startet fest im Ursprung.

Geraden im Raum

Geradengleichung

Eine Gerade wird im Raum durch einen Startpunkt und eine Richtung definiert.

• Parameterform: $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$
• Stützvektor: Der Ortsvektor $\vec{p}$ zu einem festen Punkt auf der Geraden.
• Richtungsvektor: Der Vektor $\vec{v}$, der die Richtung der Geraden vorgibt ($t \in \mathbb{R}$).

Punktprobe & Lagebeziehungen

• Punktprobe: Setze den Punkt für $\vec{x}$ ein. Liefert das LGS für alle Zeilen dasselbe $t$, liegt der Punkt auf der Geraden.
• Lagebeziehungen: Geraden können identisch, echt parallel, sich schneidend oder windschief sein.

💡 Tipp: Überprüfe bei Lagebeziehungen immer zuerst, ob die Richtungsvektoren kollinear (parallel) sind, um den Rechenweg sofort zu halbieren.

Lineare Gleichungssysteme, Skalarprodukt und Winkel

Lagebeziehungen berechnen

Geraden gleichsetzen: $\vec{p}_1 + r \cdot \vec{v}_1 = \vec{p}_2 + s \cdot \vec{v}_2$.

• Schnittpunkt: Das LGS hat genau eine eindeutige Lösung für $r$ und $s$.
• Windschief: Die Richtungsvektoren sind nicht parallel und das LGS hat keine Lösung.

Skalarprodukt & Winkel

• Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Orthogonalität: $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
• Winkel: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Beispiel: Prüfe Orthogonalität für $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0 \rightarrow$ orthogonal.

💡 Tipp: Nutze für das Lösen von LGS mit mehreren Unbekannten im Taschenrechner das "EQUA"-Menü (GTR).

Ebenen im Raum

Ebenengleichung in Parameterform

Eine Ebene wird durch einen Stützpunkt und zwei Richtungen aufgespannt.

• Parameterform: $E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$
• Spannvektoren: Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ dürfen nicht parallel (kollinear) sein.
• Koordinatenebenen: Werden durch die Standard-Einheitsvektoren aufgespannt (z.B. $x_1/x_2$-Ebene).

Lagebeziehungen zu Ebenen

• Punktprobe: Gleichung $\vec{p}_{Punkt} = E$ nach $r$ und $s$ auflösen.
• Gerade und Ebene: Gleichsetzen führt zu einer Lösung (Durchstoßpunkt), unendlich vielen Lösungen (Gerade liegt in Ebene) oder keiner Lösung (parallel).

💡 Tipp: Wenn beim Gleichsetzen von Gerade und Ebene die Parameter wegfallen und ein Widerspruch wie $0 = 5$ entsteht, ist die Gerade echt parallel zur Ebene.

Das Gauß-Verfahren

LGS systematisch lösen

Das Gauß-Verfahren bringt lineare Gleichungssysteme auf Stufenform.

• Ziel: Nullzeilen unter der Hauptdiagonale erzeugen (Treppenform).
• Erlaubte Schritte: Gleichungen addieren, subtrahieren oder mit Faktoren multiplizieren.
• Rückwärtssubstitution: Von der untersten Gleichung Schritt für Schritt nach oben auflösen.

Beispiel: I: $2x_2 + x_3 = 0$ und II: $3x_3 = 6$. Aus II folgt $x_3 = 2$. In I einsetzen: $2x_2 + 2 = 0 \rightarrow x_2 = -1$.

💡 Tipp: Achte beim Additionsverfahren penibel auf die Vorzeichen, da kleine Vorzeichenfehler sonst das gesamte nachfolgende System verfälschen.