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Mathe
30. Nov. 2025
546
3 Seiten
lauras.notes @laauraa
Die analytische Geometrie im 3D-Raum ist deine Superkraft, um Punkte, Abstände und Winkel mathematisch zu erfassen. Mit ein... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Position deines Handys im Raum beschreiben. Genau dafür brauchst du drei Koordinaten P(x₁|x₂|x₃). Die erste Zahl zeigt die Position nach rechts/links, die zweite nach vorne/hinten und die dritte nach oben/unten.
Wenn du einen vierten Punkt berechnen willst, nutzt du Vektoren. Du berechnest zuerst den Richtungsvektor zwischen zwei bekannten Punkten. Dieser Vektor gibt dir die "Richtung und Entfernung" an.
Den gleichen Vektor wendest du dann auf einen anderen Punkt an. So entsteht oft ein Parallelogramm - super praktisch für Aufgaben über Vierecke oder Rechtecke!
Tipp Denk an "Spitze minus Fuß" - ziehe immer die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts ab!
Die Länge eines Vektors findest du mit dem Satz des Pythagoras - nur eben in 3D! Du quadrierst alle drei Koordinaten, addierst sie und ziehst die Wurzel. Fertig ist die Entfernung zwischen zwei Punkten.
Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du, indem du bei jeder Koordinate den Durchschnitt bildest. Addiere die entsprechenden Koordinaten beider Punkte und teile durch zwei.
Geradengleichungen beschreiben eine unendliche Linie im Raum. Du brauchst einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor. Mit dem Parameter t kannst du dann jeden beliebigen Punkt auf dieser Geraden berechnen.
Merksatz Eine Gerade = Startpunkt + t × Richtung. Der Parameter t ist wie ein "Schieberegler" auf der Geraden!
Winkel zu berechnen ist wie ein Rezept mit drei Schritten Erst die beiden Vektoren bestimmen, dann ihre Längen berechnen und schließlich das Skalarprodukt verwenden. Das Skalarprodukt erhältst du, indem du entsprechende Koordinaten multiplizierst und alles addierst.
Die Cosinus-Formel bringt alles zusammen cos(α) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| × |b⃗|). Das Skalarprodukt teilst du durch das Produkt der beiden Längen. Mit dem Arcuscosinus auf dem Taschenrechner bekommst du den Winkel in Grad.
Diese Methode funktioniert für alle Winkel zwischen 0° und 180°. In der Praxis brauchst du das oft bei Dreiecken oder um herauszufinden, ob zwei Linien senkrecht zueinander stehen.
Profi-Trick Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - dann ist der Winkel genau 90°!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
9
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie alles über die Kugelgleichung, einschließlich der Aufstellung von Vektor- und Koordinatengleichungen. Lernen Sie, wie man den Mittelpunkt und den Radius einer Kugel bestimmt und die gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zur Kugel analysiert. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Vektoren, Abstandsberechnungen und Schnittpunkte in 3D-Koordinatensystemen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Höhen, Volumen von Pyramiden und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler der 12. Klasse zur Vorbereitung auf Klausuren.
MatheEntdecken Sie die Strahlensätze und deren Anwendung auf geometrische Formen. Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Konzepte der Geometrie, die Beziehung zwischen parallelen Linien und die Berechnung von Flächeninhalten. Ideal für das 3. Studienvierteljahr im Mathematik-Fernabitur. Themen: Strahlensätze, Maßeinheiten, Flächenberechnung.
MatheVertiefe dein Wissen über Zuordnungen und deren graphische Darstellung. Diese Zusammenfassung bietet Übungen zu eindeutigen und mehrdeutigen Zuordnungen, Funktionen, Tabellenvergleichen und statistischen Erhebungen. Ideal zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten und zur Festigung der Konzepte in Kapitel 2.
MatheEntdecken Sie die Konzepte der Vektoren und Dreiecke anhand von Beispielen aus Lambacher Schweizer S. 146-150. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Kollinearität und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und Vektorrechnung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der linearen Algebra, einschließlich Vektoren, linearen Gleichungssystemen, Abstandsberechnungen und der Geometrie im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu Themen wie orthogonalen Linien, Eliminationsmethoden und der Lagebeziehung von Geraden und Ebenen. Ideal für Schüler, die sich auf das ABI vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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lauras.notes
@laauraa
Die analytische Geometrie im 3D-Raum ist deine Superkraft, um Punkte, Abstände und Winkel mathematisch zu erfassen. Mit ein paar cleveren Formeln kannst du komplexe geometrische Probleme lösen, die in der realen Welt überall vorkommen.
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Stell dir vor, du willst die Position deines Handys im Raum beschreiben. Genau dafür brauchst du drei Koordinaten: P(x₁|x₂|x₃). Die erste Zahl zeigt die Position nach rechts/links, die zweite nach vorne/hinten und die dritte nach oben/unten.
Wenn du einen vierten Punkt berechnen willst, nutzt du Vektoren. Du berechnest zuerst den Richtungsvektor zwischen zwei bekannten Punkten. Dieser Vektor gibt dir die "Richtung und Entfernung" an.
Den gleichen Vektor wendest du dann auf einen anderen Punkt an. So entsteht oft ein Parallelogramm - super praktisch für Aufgaben über Vierecke oder Rechtecke!
Tipp: Denk an "Spitze minus Fuß" - ziehe immer die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts ab!
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Die Länge eines Vektors findest du mit dem Satz des Pythagoras - nur eben in 3D! Du quadrierst alle drei Koordinaten, addierst sie und ziehst die Wurzel. Fertig ist die Entfernung zwischen zwei Punkten.
Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du, indem du bei jeder Koordinate den Durchschnitt bildest. Addiere die entsprechenden Koordinaten beider Punkte und teile durch zwei.
Geradengleichungen beschreiben eine unendliche Linie im Raum. Du brauchst einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor. Mit dem Parameter t kannst du dann jeden beliebigen Punkt auf dieser Geraden berechnen.
Merksatz: Eine Gerade = Startpunkt + t × Richtung. Der Parameter t ist wie ein "Schieberegler" auf der Geraden!
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Winkel zu berechnen ist wie ein Rezept mit drei Schritten: Erst die beiden Vektoren bestimmen, dann ihre Längen berechnen und schließlich das Skalarprodukt verwenden. Das Skalarprodukt erhältst du, indem du entsprechende Koordinaten multiplizierst und alles addierst.
Die Cosinus-Formel bringt alles zusammen: cos(α) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| × |b⃗|). Das Skalarprodukt teilst du durch das Produkt der beiden Längen. Mit dem Arcuscosinus auf dem Taschenrechner bekommst du den Winkel in Grad.
Diese Methode funktioniert für alle Winkel zwischen 0° und 180°. In der Praxis brauchst du das oft bei Dreiecken oder um herauszufinden, ob zwei Linien senkrecht zueinander stehen.
Profi-Trick: Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - dann ist der Winkel genau 90°!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Erfahren Sie alles über die Kugelgleichung, einschließlich der Aufstellung von Vektor- und Koordinatengleichungen. Lernen Sie, wie man den Mittelpunkt und den Radius einer Kugel bestimmt und die gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zur Kugel analysiert. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Vektoren, Abstandsberechnungen und Schnittpunkte in 3D-Koordinatensystemen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Höhen, Volumen von Pyramiden und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler der 12. Klasse zur Vorbereitung auf Klausuren.
MatheEntdecken Sie die Strahlensätze und deren Anwendung auf geometrische Formen. Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Konzepte der Geometrie, die Beziehung zwischen parallelen Linien und die Berechnung von Flächeninhalten. Ideal für das 3. Studienvierteljahr im Mathematik-Fernabitur. Themen: Strahlensätze, Maßeinheiten, Flächenberechnung.
MatheVertiefe dein Wissen über Zuordnungen und deren graphische Darstellung. Diese Zusammenfassung bietet Übungen zu eindeutigen und mehrdeutigen Zuordnungen, Funktionen, Tabellenvergleichen und statistischen Erhebungen. Ideal zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten und zur Festigung der Konzepte in Kapitel 2.
MatheEntdecken Sie die Konzepte der Vektoren und Dreiecke anhand von Beispielen aus Lambacher Schweizer S. 146-150. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Kollinearität und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und Vektorrechnung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der linearen Algebra, einschließlich Vektoren, linearen Gleichungssystemen, Abstandsberechnungen und der Geometrie im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu Themen wie orthogonalen Linien, Eliminationsmethoden und der Lagebeziehung von Geraden und Ebenen. Ideal für Schüler, die sich auf das ABI vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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