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Mathe
30. Nov. 2025
182
7 Seiten
n @n71
Diese Klausur aus der 13. Klasse dreht sich um analytische Geometrie- ein wichtiger Bereich für euer Abitur.... Mehr anzeigen
Die erste Aufgabe zeigt euch zwei wichtige Standardverfahren, die ihr perfekt beherrschen müsst. Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene setzt ihr die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene braucht ihr die Formel mit Richtungsvektor und Normalenvektor. Der Winkel ist dann der Arcussinus des Verhältnisses aus Skalarprodukt und den Beträgen beider Vektoren.
Bei der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren rechnet ihr die Determinante der 3×3-Matrix aus. Ist sie null, sind die Vektoren abhängig - ist sie ungleich null, sind sie unabhängig.
Praxis-Tipp Diese Grundaufgaben kommen garantiert im Abitur dran. Übt die Rechenverfahren, bis sie automatisch laufen!
Hier wird's richtig interessant! Ein 60 Meter hohes Tetraeder-Kunstwerk mit Aussichtsplattformen und Treppen wird mathematisch modelliert. Das zeigt euch perfekt, wie Mathematik in der Realität angewendet wird.
Die Pyramide ABCD hat ihre Grundfläche in der x₁x₃-Ebene . Die Eckpunkte bilden näherungsweise ein gleichseitiges Dreieck mit 60 Meter Kantenlänge.
Das Koordinatensystem ist clever gewählt - der Ursprung liegt im Schwerpunkt der Grundfläche. Solche Modellierungsaufgaben verbinden geometrische Berechnungen mit praktischen Anwendungen.
Merke dir Bei Anwendungsaufgaben erst die Geometrie verstehen, dann rechnen. Die Realitätsnähe macht diese Aufgaben besonders abiturrelevant!
Zuerst beweist ihr, dass die Grundfläche ABC wirklich in der x₁x₃-Ebene liegt . Dann zeigt ihr durch Abstandsberechnung, dass es ein gleichseitiges Dreieck ist.
Für die Ebenengleichung EBCD verwendet ihr drei Punkte und das Kreuzprodukt. Die Kontrolllösung gibt euch Sicherheit EBCD -49⋅x₁ + 17⋅x₃ = 833.
Bei der Parallelität zur x₂-Achse analysiert ihr die Koeffizienten der Ebenengleichung. Eine Ebene ist parallel zur x₂-Achse, wenn der Koefficient von x₂ gleich null ist.
Der Abstand eines Punktes zur Ebene wird mit der Hesse'schen Normalform berechnet - eine wichtige Standardformel fürs Abitur.
Achtung Ebenengleichungen sind Abitur-Dauerbrenner. Übt alle drei Formen Parameter-, Normal- und Koordinatenform!
Die Lösung zeigt euch den systematischen Weg Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen, nach r auflösen , dann den Durchstoßpunkt berechnen.
Der Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade beträgt etwa 21,58°. Wichtig Bei Ebene und Gerade nehmt ihr den Sinus, nicht den Kosinus wie bei zwei Geraden!
Die Formel lautet sin(α) = |⃗n · ⃗d| / (|⃗n| · |⃗d|), wobei ⃗n der Normalenvektor der Ebene und ⃗d der Richtungsvektor der Gerade ist.
Häufiger Fehler Verwechselt nicht die Winkelformeln! Ebene-Gerade braucht Sinus, Gerade-Gerade braucht Kosinus.
Die Determinante der drei Vektoren ergibt 3 (≠ 0), also sind die Vektoren linear unabhängig. Bei linearer Abhängigkeit müsste die Determinante null sein.
Für den Nachweis des gleichseitigen Dreiecks berechnet ihr alle drei Seitenlängen |AB|, |BC| und |AC|. Alle ergeben näherungsweise 60 Meter, was den gleichseitigen Charakter bestätigt.
Die Berechnung erfolgt mit der Abstandsformel im Raum |AB| = √. Hier ist die z-Koordinate immer null, weil die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt.
Praxis-Tipp Linear abhängig oder unabhängig? Determinante berechnen! Null = abhängig, ungleich null = unabhängig.
Die Ebenengleichung wird über das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ermittelt. Der Normalenvektor ergibt sich aus BC⃗ × BD⃗, was zu ⃗n = (-2940, 0, 1020) führt.
Die Koordinatenform lautet -2940x₁ + 1020x₃ = 49980. Diese könnt ihr durch 60 kürzen, um einfachere Zahlen zu bekommen.
Die Parallelitätsprüfung zur x₂-Achse zeigt Die Ebene ist NICHT parallel zur x₂-Achse, weil der Koeffizient von x₂ zwar null ist, aber auch die anderen Koeffizienten betrachtet werden müssen.
Merkhilfe Bei Parallelität zu einer Koordinatenachse muss der entsprechende Koeffizient in der Normalform null sein!
Der Abstand des Punktes Q zur Ebene EBCD beträgt etwa 5,08 Längeneinheiten. Verwendet die Hesse'sche Normalform d = |ax₀ + by₀ + cz₀ - d| / √.
Für den Steigungswinkel von 30° der Treppe müsst ihr den Parameter a so bestimmen, dass der Richtungsvektor der Geraden diesen Winkel mit der x₁x₃-Ebene bildet.
Die Bedingung führt zu einer Gleichung mit Sinus und Kosinus. Der Steigungswinkel ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene.
Abitur-relevant Abstandsberechnungen und Winkelbestimmungen sind absolute Standard-Aufgaben. Lernt die Formeln auswendig!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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@n71
Diese Klausur aus der 13. Klasse dreht sich um analytische Geometrie - ein wichtiger Bereich für euer Abitur. Ihr müsst Schnittpunkte berechnen, mit Ebenen arbeiten und ein praktisches Problem mit einem Tetraeder-Kunstwerk lösen.
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Die erste Aufgabe zeigt euch zwei wichtige Standardverfahren, die ihr perfekt beherrschen müsst. Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene setzt ihr die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene braucht ihr die Formel mit Richtungsvektor und Normalenvektor. Der Winkel ist dann der Arcussinus des Verhältnisses aus Skalarprodukt und den Beträgen beider Vektoren.
Bei der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren rechnet ihr die Determinante der 3×3-Matrix aus. Ist sie null, sind die Vektoren abhängig - ist sie ungleich null, sind sie unabhängig.
Praxis-Tipp: Diese Grundaufgaben kommen garantiert im Abitur dran. Übt die Rechenverfahren, bis sie automatisch laufen!
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Für die Ebenengleichung EBCD verwendet ihr drei Punkte und das Kreuzprodukt. Die Kontrolllösung gibt euch Sicherheit: EBCD: -49⋅x₁ + 17⋅x₃ = 833.
Bei der Parallelität zur x₂-Achse analysiert ihr die Koeffizienten der Ebenengleichung. Eine Ebene ist parallel zur x₂-Achse, wenn der Koefficient von x₂ gleich null ist.
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Die Berechnung erfolgt mit der Abstandsformel im Raum: |AB| = √. Hier ist die z-Koordinate immer null, weil die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt.
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Die Ebenengleichung wird über das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ermittelt. Der Normalenvektor ergibt sich aus BC⃗ × BD⃗, was zu ⃗n = (-2940, 0, 1020) führt.
Die Koordinatenform lautet: -2940x₁ + 1020x₃ = 49980. Diese könnt ihr durch 60 kürzen, um einfachere Zahlen zu bekommen.
Die Parallelitätsprüfung zur x₂-Achse zeigt: Die Ebene ist NICHT parallel zur x₂-Achse, weil der Koeffizient von x₂ zwar null ist, aber auch die anderen Koeffizienten betrachtet werden müssen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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