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199
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28. Jan. 2026
•
n
@n71
Diese Klausur aus der 13. Klasse dreht sich um analytische... Mehr anzeigen
Die erste Aufgabe zeigt euch zwei wichtige Standardverfahren, die ihr perfekt beherrschen müsst. Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene setzt ihr die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene braucht ihr die Formel mit Richtungsvektor und Normalenvektor. Der Winkel ist dann der Arcussinus des Verhältnisses aus Skalarprodukt und den Beträgen beider Vektoren.
Bei der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren rechnet ihr die Determinante der 3×3-Matrix aus. Ist sie null, sind die Vektoren abhängig - ist sie ungleich null, sind sie unabhängig.
Praxis-Tipp: Diese Grundaufgaben kommen garantiert im Abitur dran. Übt die Rechenverfahren, bis sie automatisch laufen!
Hier wird's richtig interessant! Ein 60 Meter hohes Tetraeder-Kunstwerk mit Aussichtsplattformen und Treppen wird mathematisch modelliert. Das zeigt euch perfekt, wie Mathematik in der Realität angewendet wird.
Die Pyramide ABCD hat ihre Grundfläche in der x₁x₃-Ebene . Die Eckpunkte bilden näherungsweise ein gleichseitiges Dreieck mit 60 Meter Kantenlänge.
Das Koordinatensystem ist clever gewählt - der Ursprung liegt im Schwerpunkt der Grundfläche. Solche Modellierungsaufgaben verbinden geometrische Berechnungen mit praktischen Anwendungen.
Merke dir: Bei Anwendungsaufgaben erst die Geometrie verstehen, dann rechnen. Die Realitätsnähe macht diese Aufgaben besonders abiturrelevant!
Zuerst beweist ihr, dass die Grundfläche ABC wirklich in der x₁x₃-Ebene liegt . Dann zeigt ihr durch Abstandsberechnung, dass es ein gleichseitiges Dreieck ist.
Für die Ebenengleichung EBCD verwendet ihr drei Punkte und das Kreuzprodukt. Die Kontrolllösung gibt euch Sicherheit: EBCD: -49⋅x₁ + 17⋅x₃ = 833.
Bei der Parallelität zur x₂-Achse analysiert ihr die Koeffizienten der Ebenengleichung. Eine Ebene ist parallel zur x₂-Achse, wenn der Koefficient von x₂ gleich null ist.
Der Abstand eines Punktes zur Ebene wird mit der Hesse'schen Normalform berechnet - eine wichtige Standardformel fürs Abitur.
Achtung: Ebenengleichungen sind Abitur-Dauerbrenner. Übt alle drei Formen: Parameter-, Normal- und Koordinatenform!
Die Lösung zeigt euch den systematischen Weg: Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen, nach r auflösen , dann den Durchstoßpunkt berechnen.
Der Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade beträgt etwa 21,58°. Wichtig: Bei Ebene und Gerade nehmt ihr den Sinus, nicht den Kosinus wie bei zwei Geraden!
Die Formel lautet: sin(α) = |⃗n · ⃗d| / (|⃗n| · |⃗d|), wobei ⃗n der Normalenvektor der Ebene und ⃗d der Richtungsvektor der Gerade ist.
Häufiger Fehler: Verwechselt nicht die Winkelformeln! Ebene-Gerade braucht Sinus, Gerade-Gerade braucht Kosinus.
Die Determinante der drei Vektoren ergibt 3 (≠ 0), also sind die Vektoren linear unabhängig. Bei linearer Abhängigkeit müsste die Determinante null sein.
Für den Nachweis des gleichseitigen Dreiecks berechnet ihr alle drei Seitenlängen: |AB|, |BC| und |AC|. Alle ergeben näherungsweise 60 Meter, was den gleichseitigen Charakter bestätigt.
Die Berechnung erfolgt mit der Abstandsformel im Raum: |AB| = √. Hier ist die z-Koordinate immer null, weil die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt.
Praxis-Tipp: Linear abhängig oder unabhängig? Determinante berechnen! Null = abhängig, ungleich null = unabhängig.
Die Ebenengleichung wird über das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ermittelt. Der Normalenvektor ergibt sich aus BC⃗ × BD⃗, was zu ⃗n = (-2940, 0, 1020) führt.
Die Koordinatenform lautet: -2940x₁ + 1020x₃ = 49980. Diese könnt ihr durch 60 kürzen, um einfachere Zahlen zu bekommen.
Die Parallelitätsprüfung zur x₂-Achse zeigt: Die Ebene ist NICHT parallel zur x₂-Achse, weil der Koeffizient von x₂ zwar null ist, aber auch die anderen Koeffizienten betrachtet werden müssen.
Merkhilfe: Bei Parallelität zu einer Koordinatenachse muss der entsprechende Koeffizient in der Normalform null sein!
Der Abstand des Punktes Q zur Ebene EBCD beträgt etwa 5,08 Längeneinheiten. Verwendet die Hesse'sche Normalform: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ - d| / √.
Für den Steigungswinkel von 30° der Treppe müsst ihr den Parameter a so bestimmen, dass der Richtungsvektor der Geraden diesen Winkel mit der x₁x₃-Ebene bildet.
Die Bedingung führt zu einer Gleichung mit Sinus und Kosinus. Der Steigungswinkel ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene.
Abitur-relevant: Abstandsberechnungen und Winkelbestimmungen sind absolute Standard-Aufgaben. Lernt die Formeln auswendig!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
n
@n71
Diese Klausur aus der 13. Klasse dreht sich um analytische Geometrie - ein wichtiger Bereich für euer Abitur. Ihr müsst Schnittpunkte berechnen, mit Ebenen arbeiten und ein praktisches Problem mit einem Tetraeder-Kunstwerk lösen.
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Die erste Aufgabe zeigt euch zwei wichtige Standardverfahren, die ihr perfekt beherrschen müsst. Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene setzt ihr die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene braucht ihr die Formel mit Richtungsvektor und Normalenvektor. Der Winkel ist dann der Arcussinus des Verhältnisses aus Skalarprodukt und den Beträgen beider Vektoren.
Bei der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren rechnet ihr die Determinante der 3×3-Matrix aus. Ist sie null, sind die Vektoren abhängig - ist sie ungleich null, sind sie unabhängig.
Praxis-Tipp: Diese Grundaufgaben kommen garantiert im Abitur dran. Übt die Rechenverfahren, bis sie automatisch laufen!
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Die Pyramide ABCD hat ihre Grundfläche in der x₁x₃-Ebene . Die Eckpunkte bilden näherungsweise ein gleichseitiges Dreieck mit 60 Meter Kantenlänge.
Das Koordinatensystem ist clever gewählt - der Ursprung liegt im Schwerpunkt der Grundfläche. Solche Modellierungsaufgaben verbinden geometrische Berechnungen mit praktischen Anwendungen.
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Zuerst beweist ihr, dass die Grundfläche ABC wirklich in der x₁x₃-Ebene liegt . Dann zeigt ihr durch Abstandsberechnung, dass es ein gleichseitiges Dreieck ist.
Für die Ebenengleichung EBCD verwendet ihr drei Punkte und das Kreuzprodukt. Die Kontrolllösung gibt euch Sicherheit: EBCD: -49⋅x₁ + 17⋅x₃ = 833.
Bei der Parallelität zur x₂-Achse analysiert ihr die Koeffizienten der Ebenengleichung. Eine Ebene ist parallel zur x₂-Achse, wenn der Koefficient von x₂ gleich null ist.
Der Abstand eines Punktes zur Ebene wird mit der Hesse'schen Normalform berechnet - eine wichtige Standardformel fürs Abitur.
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Die Lösung zeigt euch den systematischen Weg: Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen, nach r auflösen , dann den Durchstoßpunkt berechnen.
Der Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade beträgt etwa 21,58°. Wichtig: Bei Ebene und Gerade nehmt ihr den Sinus, nicht den Kosinus wie bei zwei Geraden!
Die Formel lautet: sin(α) = |⃗n · ⃗d| / (|⃗n| · |⃗d|), wobei ⃗n der Normalenvektor der Ebene und ⃗d der Richtungsvektor der Gerade ist.
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Die Determinante der drei Vektoren ergibt 3 (≠ 0), also sind die Vektoren linear unabhängig. Bei linearer Abhängigkeit müsste die Determinante null sein.
Für den Nachweis des gleichseitigen Dreiecks berechnet ihr alle drei Seitenlängen: |AB|, |BC| und |AC|. Alle ergeben näherungsweise 60 Meter, was den gleichseitigen Charakter bestätigt.
Die Berechnung erfolgt mit der Abstandsformel im Raum: |AB| = √. Hier ist die z-Koordinate immer null, weil die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt.
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Die Ebenengleichung wird über das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ermittelt. Der Normalenvektor ergibt sich aus BC⃗ × BD⃗, was zu ⃗n = (-2940, 0, 1020) führt.
Die Koordinatenform lautet: -2940x₁ + 1020x₃ = 49980. Diese könnt ihr durch 60 kürzen, um einfachere Zahlen zu bekommen.
Die Parallelitätsprüfung zur x₂-Achse zeigt: Die Ebene ist NICHT parallel zur x₂-Achse, weil der Koeffizient von x₂ zwar null ist, aber auch die anderen Koeffizienten betrachtet werden müssen.
Merkhilfe: Bei Parallelität zu einer Koordinatenachse muss der entsprechende Koeffizient in der Normalform null sein!
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Der Abstand des Punktes Q zur Ebene EBCD beträgt etwa 5,08 Längeneinheiten. Verwendet die Hesse'sche Normalform: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ - d| / √.
Für den Steigungswinkel von 30° der Treppe müsst ihr den Parameter a so bestimmen, dass der Richtungsvektor der Geraden diesen Winkel mit der x₁x₃-Ebene bildet.
Die Bedingung führt zu einer Gleichung mit Sinus und Kosinus. Der Steigungswinkel ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene.
Abitur-relevant: Abstandsberechnungen und Winkelbestimmungen sind absolute Standard-Aufgaben. Lernt die Formeln auswendig!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Sudenaz Ocak
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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