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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Exponentielle Ableitungen

Mathe1.005Aktualisiert 14. Sept. 20262 Seiten

Aufleiten leicht gemacht – Übersicht der Regeln

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Jessica Fecker@essicaecker_25b5a0fp
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Integration ist das Gegenteil der Ableitung - ihr findet damit die ursprüngliche Funktion zurück! Diese Grundregeln helfen euch dabei, jede Funktion erfolgreich aufzuleiten.
Aufleiten – Seite 1

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Grundlagen der Integration

Aufleiten bedeutet, aus einer gegebenen Funktion fxx die Stammfunktion Fxx zu finden. Das ist genau das Gegenteil vom Ableiten - super praktisch für viele Matheaufgaben!

Bei Potenzfunktionen wie xnx^n erhöht ihr den Exponenten um 1 und teilt durch die neue Zahl. Aus x2x^2 wird also x33\frac{x^3}{3}. Bei negativen Exponenten funktioniert das genauso: x−3x^{-3} wird zu x−2−2\frac{x^{-2}}{-2}.

Exponentialfunktionen wie exe^x bleiben beim Aufleiten praktisch unverändert. Bei e2xe^{2x} müsst ihr nur durch den Faktor im Exponenten teilen: e2x2\frac{e^{2x}}{2}.

Merktipp: Konstante Zahlen ohne x werden einfach mit x multipliziert - aus 3 wird 3x!

Trigonometrische Funktionen haben ihre eigenen Regeln: sin⁡(x)\sin(x) wird zu −cos⁡(x)-\cos(x) und cos⁡(x)\cos(x) wird zu sin⁡(x)\sin(x). Bei Faktoren vor dem x (wie cos⁡(3x)\cos(3x)) teilt ihr durch diesen Faktor.

Aufleiten – Seite 2

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Die wichtigsten Integrationsregeln

Die Potenzregel ist euer bester Freund: xnx^n wird zu xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}. Erhöht den Exponenten um 1 und teilt durch diese neue Zahl - so einfach ist das!

Bei der Kettenregel müsst ihr auf zusammengesetzte Funktionen achten. Wenn im Argument ein Faktor steht (wie die 5 in cos⁡(5x)\cos(5x)), teilt ihr das Ergebnis durch diesen Faktor. Aus cos⁡(5x)\cos(5x) wird sin⁡(5x)5\frac{\sin(5x)}{5}.

Die Summenregel erlaubt es euch, jede Funktion einzeln aufzuleiten und dann zusammenzuaddieren. Bei f(x)=3x2+sin⁡(12x+1)+e−3x+2f(x) = 3x^2 + \sin(\frac{1}{2}x+1) + e^{-3x+2} leitet ihr jeden Term separat auf.

Praxistipp: Überprüft euer Ergebnis durch Ableiten - ihr müsst wieder zur ursprünglichen Funktion kommen!

Mit diesen drei Regeln könnt ihr fast jede Funktion integrieren. Übt sie einzeln und kombiniert sie dann für komplexere Aufgaben!

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