Das Schnittwinkelproblem einfach erklärt

Grundlagen der Schnittwinkelberechnung

Schnittwinkel entstehen, wenn sich zwei Funktionsgraphen kreuzen. Der Trick ist, dass du zuerst die Schnittpunkte findest und dann die Steigungswinkel der beiden Kurven an dieser Stelle berechnest.

Nehmen wir f$x$ = x² und g$x$ = -x + 2: Du setzt beide gleich $x² = -x + 2$ und löst die entstehende quadratische Gleichung. Das ergibt dir die x-Werte der Schnittpunkte.

Für die Steigungswinkel brauchst du die Ableitungen: f'$x$ gibt dir die Steigung von f, g'$x$ die von g. Mit arctan (tan⁻¹) wandelst du diese Steigungen in Winkel um.

Merktipp: Der Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden möglichen Winkel zwischen den Tangenten!

Praktisches Beispiel - Motorboot und Kaimauer

Das Motorboot-Beispiel zeigt dir, wie nützlich Schnittwinkel in der Realität sind. Die Bootskurve f$x$ = ¼x² - x + 2 trifft auf die gerade Kaimauer g$x$ = 2x - 6.

Zuerst checkst du: Gibt's überhaupt eine Kollision? Du setzt beide Funktionen gleich und löst die quadratische Gleichung. Die Lösungen x₁ = 4 und x₂ = 8 bedeuten: Ja, es knallt!

Für den Kollisionswinkel berechnest du die Ableitungen an der Schnittstelle und wandelst sie in Winkel um. f'(4) = 1 ergibt 45°, g'(4) = 2 ergibt 63,4°. Der Schnittwinkel ist dann |63,4° - 45°| = 18,4°.

Die Formel und das Verfahren

Wenn sich die Graphen von f und g an der Stelle x₀ schneiden, bilden ihre Tangenten zwei Winkel miteinander. Der Schnittwinkel γ ist immer der kleinere davon (zwischen 0° und 90°).

So gehst du vor: Erst α = arctan(f'(x₀)) und β = arctan(g'(x₀)) berechnen. Dann ist γ der kleinere Wert von |α - β| und 180° - |α - β|.

Im Beispiel f$x$ = x² und g$x$ = 2 - x bei x₀ = 1 ergibt das α ≈ 63,43° und β = -45°. Die beiden möglichen Winkel sind 108,43° und 71,57°.

Wichtig: Du nimmst immer den kleineren Winkel als Schnittwinkel - hier also γ ≈ 71,57°!