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Mathe1.646Aktualisiert 24. Sept. 20265 Seiten

Mathematische Grundlagen: Terme, binomische Formeln und Faktorisierung

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Kathi💜@kathi_6j1f20
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Mathe muss nicht kompliziert sein! Diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten algebraischen Grundlagen aus der 8. Klasse - von Variablen und Termen bis hin zu den binomischen Formeln.
Definitionen, Terme zusammenfassen, Klammern auflösen, Gemeinsame Faktoren ausklammern, 1.-3. Binomische Formel, mit binomische Formeln faktorisieren, quadratische ergänzen, Gleichungen mithilfe binomische Formeln lösen – Seite 1

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Grundlagen: Variablen, Terme und Gleichungen

Variablen sind einfach Platzhalter für Zahlen - meistens verwendest du Buchstaben wie a, b, x oder y. Ein Term entsteht, wenn du Zahlen, Variablen und Rechenzeichen sinnvoll zusammenfügst, zum Beispiel 4x oder 2+x-3.

Gleichungen verbinden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Beim Lösen musst du wichtige Regeln beachten: Punkt- vor Strichrechnung und Klammern von innen nach außen auflösen.

Beim Zusammenfassen von Termen sammelst du gleiche Variablen. Bei 3x - 5x² + 12y - 7x wird daraus -4x - 5x² + 12y. Bei Multiplikationen schreibst du a·a·a·a·a einfach als a⁵.

Tipp: Vergiss nie die Punkt-vor-Strich-Regel - sie gilt auch bei Variablen!

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Potenzen und Klammern auflösen

Eine Potenz wie a⁵ besteht aus der Basis aa und dem Exponenten (5). Das ist viel übersichtlicher als a·a·a·a·a zu schreiben.

Beim Klammern auflösen gibt es zwei wichtige Regeln: Plus vor der Klammer bedeutet, du lässt die Klammer einfach weg. Minus vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen in der Klammer um - aus -7x−37x-3 wird -7x+3.

Bei Multiplikation mit Klammern multiplizierst du jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor. Aus 32x−5a2x-5a wird 6x-15a. Das klappt auch rückwärts: 7x²-14xy kannst du zu 7xx−2yx-2y ausklammern.

Merksatz: Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen um!

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Die drei binomischen Formeln

Die binomischen Formeln sind deine Superhelden beim Rechnen mit Klammern! "Binom" bedeutet einfach "zwei Terme" - wie x+4x+4 oder a−ba-b.

Erste binomische Formel: a+ba+b² = a² + 2ab + b². Aus x+4x+4² wird x² + 8x + 16. Zweite binomische Formel: a−ba-b² = a² - 2ab + b². Hier wird das mittlere Glied negativ.

Die dritte binomische Formel ist besonders cool: a+b$$a-b = a² - b². Aus 2+y$$2-y wird einfach 4-y². Die mittleren Terme fallen komplett weg!

Eselsbrücke: Bei der dritten Formel "kämpfen" Plus und Minus gegeneinander - übrig bleiben nur die Quadrate!

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Faktorisieren mit binomischen Formeln

Faktorisieren ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren - du zerlegst einen Term in Faktoren. Wenn du a² + 2ab + b² siehst, erkennst du die erste binomische Formel und schreibst a+ba+b².

Bei x² + 8x + 16 erkennst du: x² ist das erste Quadrat, 16 = 4² ist das zweite Quadrat, und 8x = 2·x·4 passt perfekt dazu. Also: x+4x+4².

Die Differenz zweier Quadrate wie 49 - t² zerlegst du mit der dritten Formel: 7+t$$7-t. Das funktioniert immer, wenn du zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen hast.

Erkennungszeichen: Zwei Quadrate + passender gemischter Term = binomische Formel anwendbar!

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Gleichungen mit binomischen Formeln lösen

Komplizierte Gleichungen mit Klammern löst du systematisch in sechs Schritten. Zuerst löst du alle Klammern mit den binomischen Formeln auf.

Bei 2x−152x-15² = 1+2x1+2x² - 30x - 14 wird aus der linken Seite 4x² - 60x + 225 und aus der rechten 4x² + 4x + 1 - 30x - 14. Dann fasst du zusammen und bringst gleiche Terme auf eine Seite.

Am Ende steht -34x = -238, also x = 7. Wichtige Reihenfolge: Klammern auflösen → zusammenfassen → gleiche Variablen auf eine Seite → durch den Koeffizienten teilen.

Kontrolle: Setze dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein - beide Seiten müssen gleich sein!

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