Grafisches Ableiten

Steigung visualisieren

Beim grafischen Ableiten zeichnest du den Verlauf der Steigung des Ausgangsgraphen $f(x)$ als neuen Graphen $f'(x)$.

• Extrempunkte: Hoch- und Tiefpunkte von $f(x)$ werden zu Nullstellen in $f'(x)$.
• Sattelpunkte: Werden ebenfalls zu Nullstellen mit Berührung der x-Achse.
• Monotonie: Steigt $f(x)$, ist $f'(x)$ positiv (über der x-Achse); fällt $f(x)$, ist $f'(x)$ negativ.

💡 Tipp: Merk dir die NEW-Regel von links nach rechts: Nullstelle, Extremstelle, Wendestelle der Originalfunktion werden in der Ableitung zu Extremstelle, Wendestelle und Sattelpunkt.

Ableitungsregeln

Die wichtigsten Regeln

Mit diesen Shortcuts berechnest du die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ohne lange Grenzwert-Rechnungen.

• Potenzregel: Bei $x^n$ wird der Exponent multipliziert und oben um 1 verringert: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
• Faktor- & Summenregel: Konstante Faktoren bleiben erhalten; Summen werden gliedweise abgeleitet.
• Konstantenregel: Reine Zahlen ohne Variable fallen beim Ableiten weg, da ihre Steigung Null ist.

Beispiel: $f(x) = 3x^2 + 5$ $f'(x) = 3 \cdot 2x + 0 = 6x$

💡 Tipp: Vergiss beim Ableiten von Konstanten nicht, dass eine Zahl ohne $x$ (wie $+7$) komplett wegfällt.

Rechnerische Ableitung

Der Differentialquotient

Die lokale Änderungsrate an einer Stelle $x_0$ bestimmt man rechnerisch über den Grenzwert des Differenzenquotienten.

• h-Methode: Man berechnet den Limes für $h \to 0$ des Bruchs $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.
• Rezept: Terme einsetzen, Zähler vereinfachen, $h$ ausklammern und kürzen, dann $h = 0$ setzen.

Beispiel: $f(x) = x^2$ an Stelle $x_0$ $\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2x_0h + h^2}{h} = 2x_0$

💡 Tipp: Achte beim Einsetzen von $(x_0+h)$ in die Funktion immer auf die Klammern, um Vorzeichenfehler durch binomische Formeln zu vermeiden.