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Differenzialrechnung

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1. Ableitungsregein
MATHE-KLASSENARBEIT
Differenzialrechnung, Ableitungen, Tangente, Normale
Potenzregel: f(x) = xn
f'(x)=n·x^-^
Faktorregel
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- Bedeutung der 1. Ableitung -Extrempunkte -Tangentengleichung -Bedeutung der 2.Ableitung -Wendepunkte

1. Ableitungsregein MATHE-KLASSENARBEIT Differenzialrechnung, Ableitungen, Tangente, Normale Potenzregel: f(x) = xn f'(x)=n·x^-^ Faktorregel: f(x) = cx" f'(x) = n. c. xn- ^ Summenregel: f(x) = u(x) + v(x) f'(x) = u' (x) + v¹ (x) 2. Grafisches Differenzieren / Ableiten ist im Graphen... ein Hoch/Tiefpunkt ein wendepunkt Beispiel: f(x)=x4 f'(x) = 4.x3 Beispiel: f(x) = 5x3 f'(x)= 3.5x² = 15x² eine positive Steigung eine negative Steigung Beispiel: f(x) = x5 + 3x4 f'(x) = 5x + 12x³ Hochpunkte & Tiefpuntte Sind Nullstellen in der Ableitung Steigung positiv =positiver Bereich Steigung negativ = negativer Bereich 3. Funktionsgraph & Ableitungsgraph (zusammenhange) y. ist es y in der Ableitung... eine Nulistele Brüche ableiten Bsp. f(x) = ²/3, f'(x) =-- ein Hoch-/Tiefpunkt Schritt 1: Vorzeichen ändert sich Schritt 2: Exponent erhöht sich um 1 Schritt 3 zanier mit altem Exponenten multiplizieren Hochpunkt Oder A ху X = X 3 xlw Wurzel ableiten = x 3 Tiefpunkt = 3x f(x) beim selben x-Wert ein positiver y-wert beim semben x-wert ein negativer y-wert X f'(x) Ableitung von sin & cos sin (x) = cos (x) cos(x)=sin(x) DURCHSCHNITTLICHE & LOKALE ÄNDERUNGSRATE Durchschnittliche Anderungsrate Differenzenquotient: beschreibt die durchschnittliche Anderungsrate der Funktion f im Intervall (a; b) Formel: und gibt die Steigung der Sekante durch z punkte an m= Es verläuft eine sekante aurch 2 Punkte des Graphen. Intervall = Bereich zwischen den Punkten m = Beispiel: Intervall 1 C 10 min; 30min] Ул - yo ха-хо m= 300m 50m 30min 10min - Intervall 2 C 60min ; 90 min] 150m 600m 90 min - 60min = 12,5 min durchschnittliche Steiggesonwindigkeit im Intervall C10min; 30 min) m = 15 min ↳durchschnittliche f(3)-f(1) 3-1 Differenzenquotient fcu)-f(2) 66-10 4-2 2 3 oder f(x = x³-2 [1₁3] 25 +1 2 = Sink geschwindigkeit Die durchschnittliche Anderungsrate der Funktion f im gegebenen Intervall Funktion f mit...

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f(x) = x³ + 2 im Intervall (2;4] = Flugnōne in m 13 400 200+ 20 = 28 sek.A 1. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen in den Punkten. 4,8 ·014 = -4,5 A(-2,610) B(-21-1) C(-10,6) 015 2,6 Steigung = 0 96=-1₁2 D(1|2,6) -015 E(2 0,6) 113 -0,5=-216 F(3-1) Steigung = 0 G(4/2,6) 2,5 = 5 0,5 40 Set 2 60 80 Flugzeit in Minuten Steigungsdreieck: m = y₂`y Lokale Anderungsrate die lokale Änderungsrate aner funktion f an der Stelle to ist die Steigung der Tangente im Punkt P(xolf (x₂)) man berechnet den Differenzenquotient und lässt ate Punkte immer näher zusammen laufen Tangentensteigung = Ableitung von f an der Stelle xo Differenzialquotient : Punktsteigung bei xo & Grenzwert des Differenzen quotienten STEIGUNGSWINKEL Winkel zwischen Gerade & x-Achse tan (2) = m Bsp: f(x)=x² + 4x-1₁ x₁=5 Ansatz: f'(x) = m = tan (2) Rechnung: f'(x) = 2x +4 f' (5)= 14 tan (L)= m tan (2) = 14 1 tan-^ 2=tan (14) ~85,9° Ko Beispiel Tangentensteigung P(21f(2) f'(2) = 017 = 0,25 218 K f(2)= 0125 Die Steigung des Graphen einer Funktion f im Punkt P bzw. die Steigung des Graphen von f an der Steve xo ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (xol f(x)). Man nennt diese Steigung Ableitung von f an der Stelle xo. Ablauf →1. Ableitung →xo einsetzen in Ableitung, ton (2)= Ergebnis | +an L = 2 TANGENTENGLEICHUNG f(x) = 2x² + 3x - 1 f'(x) = 4x +3 Yt = 13 x + b (Tangente) 1. -4 in die normale Gleichung einsetzen, um y zu bekommen 2. (-4)² +3 (-4) -1 = 19 2. m bestimmen → Steigung an der Stelle -4 → -4 in die Ableitung einsetzen f'(-4)= 4.(-4) +3 = -13 Beispiel: f(x)= x² + 3x-1 f'(x)=2x + 3 2 y=5² +3.5-1 = 25+14 = 39 m: f'(6)= 2.5+ 3 = = 13x + b Yt= NORMALENGLEICHUNG f(x) = -0,5² +1 f'(x) = -x f(2)=-2 m2 P (-4119) 1 m₁ y=mx+b gegeben: x0=-4 ^ m₂ = Z →Kehrwert 1. m₁+ m₂ bestimmen. M₁ = f'(xo) →x in Ableitung einsetzen xo=5 P(5139) b: 39 = 13.5+ b = 13x-26 yt = n(x) = m₂·x+b 39=65+b1-65 - 26 = b 3. P einsetzen (Gleichstellen und nach b auflösen) gegeben: P(21-1) - ^ - ^ 19=13 (-4) + b 19 = - 33 - 2 Уt = -13x 2. P & m₂ einsetzen + nach 6 auflösen n(x) = = m ₂ ·x +b 1/2 2 + b = 1 +b 52 + b | -52 b = b n(x) = 1/2. x -2 33 Steigung der Tangente =kehrwert der Steigung der Normalen Normale im rechten winkel zur Tangente |-^ Aufgabenstellungen Berechne die Ableitung von f an der steue x=2 41. Ableitung La f'(?)= ... ? in die Ableitung einsetzen Bestimme einer Punkct P, an dem der Funktionsgraph die steigung ? besitzt 1. Ableitung. Ableitung mit? gleichsetzen ↳ nach x auflösen ↳x in die normale Funktion einsetzen, um y zu ermitteln ↳ P(x1y) Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (21f(2). (2.B.) L.A. 1. Ableitung ↳> f'(2) = 2 in die Ableitung einsetzen ↳ Ergebnis = m Bestimme die Steigung an der Stelle ?. 1. Ableitung ↳ Stelle? einsetzen in die Ableitung Ergebnis =m Bestimme stellen, an denen der Graph die Steigung? hat. 1. Ableitung 1. Ableitung mit Steigung ? gleichsetzen L> nach x auflösen 4 Bestimme den Steigungswinkel in Grad an der Stelle ? ↳1. Ableitung ↳ Steule ? in Ableitung einsetzen ↳tan (von Ergebnis) ↳ Ergebnis: Winkel in Grad Bestimme stellen mit dem Steigungswinkel ?° ↳11. Ableitung La tan coegen. Winkcel) ↳ Ableitung mit Ergebnis gleichsetzen ↳ nach x auflösen Schnittpunkct. Zweier Tangenten ↳ x-Wert rausbekommen beide Tangentengleichungen gleichsetzen & nach x auflösen Lax - wert in eine der Tangentengleichungen einsetzen →y. y = t₁₂ ( ²2²2 ) = 6 - ²/²2 - 3 = 6 S( 3²/32 (6) Schnittpunkt: +₁(x) = t₂(x) 6x-3= 12x-12 1-6x 6x12 +12 -3 9 = 6x 1.6 = X 6 3 2 - x Schnitt winkel zweier rangenten ↳ Steigungswinkel beider Tangenten berechnen (Steigung mit tan (2) gleichsetzen) ↳ L₂-L₁ rechnen