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589
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9. Dez. 2025
•
Jana
@jana_btnr
Die Differentialrechnung ist ein mächtiges Werkzeug, um zu verstehen, wie... Mehr anzeigen
![1. Millere Änderungsrate = m
= im Intervall [aib] versteht man den Differenzen quotient
Differenzenquotient: m $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
St](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FdGnCTEvWYpObPSJjfOrh_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Stell dir vor, du willst wissen, wie steil eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist - genau das macht die Differentialrechnung möglich! Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit dem Differenzenquotienten: m = /.
Das ist nichts anderes als die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Wenn du aber die genaue Steigung an nur einem Punkt wissen willst, brauchst du die Ableitung f'(x₀).
Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn sich die beiden Punkte immer näher kommen. Du kannst sie mit zwei Methoden berechnen: der x-x₀-Methode oder der h-Methode - beide führen zum gleichen Ergebnis.
Tipp: Die Ableitung gibt dir die momentane Änderungsrate und gleichzeitig die Steigung der Tangente an diesem Punkt!
![1. Millere Änderungsrate = m
= im Intervall [aib] versteht man den Differenzen quotient
Differenzenquotient: m $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
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Mit der Ableitung kannst du jetzt konkret Tangentengleichungen aufstellen - das ist in Klausuren super wichtig! Die allgemeine Form y = mx + t kennst du schon, wobei m = f'(x₀) die Steigung ist.
Um t zu finden, setzt du einfach den gegebenen Punkt in die Gleichung ein. So bekommst du die komplette Tangentengleichung. Den Steigungswinkel berechnest du mit α = tan⁻¹(f'(x₀)).
Die Normale steht senkrecht zur Tangente, ihre Steigung ist also -1/f'(x₀). Das brauchst du manchmal für geometrische Aufgaben oder Optimierungsprobleme.
Merke: Tangente und Punkt müssen sich berühren - setz also immer den Berührungspunkt in deine Tangentengleichung ein!
![1. Millere Änderungsrate = m
= im Intervall [aib] versteht man den Differenzen quotient
Differenzenquotient: m $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
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Nicht jede Funktion ist überall differenzierbar - das siehst du gut an der Betragsfunktion f(x) = |x|. An der Stelle x = 0 hat sie einen "Knick", wo keine eindeutige Tangente existiert.
Um zu prüfen, ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, berechnest du die linksseitige und rechtsseitige Ableitung. Bei f(x) = |x| an x = 0 bekommst du links -1 und rechts +1 - die sind unterschiedlich!
Eine Funktion ist nur dann differenzierbar, wenn beide Grenzwerte identisch sind. Knicke, Sprünge oder senkrechte Tangenten verhindern die Differenzierbarkeit.
Wichtig: Stetig heißt nicht automatisch differenzierbar - aber differenzierbar bedeutet immer stetig!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jana
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Die Differentialrechnung ist ein mächtiges Werkzeug, um zu verstehen, wie schnell sich Funktionen ändern. Du lernst hier, wie du von der mittleren Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate kommst und warum das für viele Anwendungen wichtig ist.
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Stell dir vor, du willst wissen, wie steil eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist - genau das macht die Differentialrechnung möglich! Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit dem Differenzenquotienten: m = /.
Das ist nichts anderes als die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Wenn du aber die genaue Steigung an nur einem Punkt wissen willst, brauchst du die Ableitung f'(x₀).
Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn sich die beiden Punkte immer näher kommen. Du kannst sie mit zwei Methoden berechnen: der x-x₀-Methode oder der h-Methode - beide führen zum gleichen Ergebnis.
Tipp: Die Ableitung gibt dir die momentane Änderungsrate und gleichzeitig die Steigung der Tangente an diesem Punkt!
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Mit der Ableitung kannst du jetzt konkret Tangentengleichungen aufstellen - das ist in Klausuren super wichtig! Die allgemeine Form y = mx + t kennst du schon, wobei m = f'(x₀) die Steigung ist.
Um t zu finden, setzt du einfach den gegebenen Punkt in die Gleichung ein. So bekommst du die komplette Tangentengleichung. Den Steigungswinkel berechnest du mit α = tan⁻¹(f'(x₀)).
Die Normale steht senkrecht zur Tangente, ihre Steigung ist also -1/f'(x₀). Das brauchst du manchmal für geometrische Aufgaben oder Optimierungsprobleme.
Merke: Tangente und Punkt müssen sich berühren - setz also immer den Berührungspunkt in deine Tangentengleichung ein!
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Nicht jede Funktion ist überall differenzierbar - das siehst du gut an der Betragsfunktion f(x) = |x|. An der Stelle x = 0 hat sie einen "Knick", wo keine eindeutige Tangente existiert.
Um zu prüfen, ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, berechnest du die linksseitige und rechtsseitige Ableitung. Bei f(x) = |x| an x = 0 bekommst du links -1 und rechts +1 - die sind unterschiedlich!
Eine Funktion ist nur dann differenzierbar, wenn beide Grenzwerte identisch sind. Knicke, Sprünge oder senkrechte Tangenten verhindern die Differenzierbarkeit.
Wichtig: Stetig heißt nicht automatisch differenzierbar - aber differenzierbar bedeutet immer stetig!
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Entdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen, einschließlich der Summen- und Differenzregel, der Potenzregel sowie der Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen. Erfahren Sie, wie man Tangenten und Normale an Funktionsgraphen bestimmt und die lokale Änderungsrate berechnet. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.
MatheErlerne die Methoden zur Berechnung von Tangenten an Funktionsgraphen. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Tangentengleichung, spezifische Tangentenprobleme und deren Lösungen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten. Enthält Übungsaufgaben zur Anwendung des Gelernten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Gleichung einer Tangente an eine Funktion bestimmen. Diese Anleitung bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Erklärung mit Beispielen, einschließlich der Berechnung von Steigungen und dem Flächeninhalt des entstehenden Dreiecks. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheDetaillierte Lösungen zur Zentralklausur Mathematik 2017, einschließlich der Analyse von Funktionsgraphen, Änderungsraten, Ableitungen und Transformationen von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein tieferes Verständnis für lokale Extremstellen und Symmetrien entwickeln möchten.
MatheErfahren Sie, wie man die Sekante, Tangente und Normale einer Funktion aufstellt. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Steigungen, die Formeln zur Aufstellung der Gleichungen und die Unterschiede zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderung. Ideal für Mathematikstudenten, die sich mit Ableitungen und graphischer Differenzierung beschäftigen.
MatheDiese Klausur behandelt die Ableitungsfunktionen, die Berechnung von Tangentengleichungen und die Analyse der Monotonie von Funktionen. Sie umfasst wichtige Konzepte wie den Differenzialquotienten, die durchschnittliche Änderungsrate und die Skizzierung von Kurven. Ideal für Schüler der EF, die sich auf Prüfungen im Bereich der Differentialrechnung vorbereiten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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