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2. Dez. 2025
•
lernzettelforfree
@lernzettelforfree
Extremwertprobleme sind überall im Alltag - vom Bau der sparsamsten... Mehr anzeigen
Extremwertprobleme begegnen dir ständig im echten Leben! Stell dir vor, du willst mit 400m Zaun die größte Fläche umzäunen oder mit wenig Material eine Dose bauen, die trotzdem viel Inhalt hat.
Die drei klassischen Beispiele zeigen dir das Prinzip: Du hast immer eine Hauptbedingung (was soll maximal werden?) und eine Nebenbedingung (was begrenzt dich?). Bei der Fläche willst du A(a,b) = a·b maximieren, aber dein Zaun ist begrenzt durch U(a,b) = 2 = 400m.
Das Coole dabei: Durch geschicktes Umformen bekommst du am Ende eine Zielfunktion mit nur noch einer Variable. Aus A(a,b) = a·b wird dann A(a) = a, weil du b = 200-a aus der Nebenbedingung gewinnst.
Merktipp: Jedes Extremwertproblem hat das gleiche Muster - HB und NB finden, dann kombinieren!
Extremwertprobleme löst du am besten mit einem festen Plan, der immer funktioniert. Das nimmt dir die Angst vor kompliziert aussehenden Aufgaben!
Schritt 1-2: Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf (was soll optimal werden?) und findest die Nebenbedingung im Aufgabentext. Schritt 3: Du stellst die Nebenbedingung nach einer Variable um und setzt sie in die Hauptbedingung ein - fertig ist deine Zielfunktion!
Schritt 4-5: Jetzt kommt der mathematische Teil: Du untersuchst die Zielfunktion auf Extremstellen mit der ersten Ableitung. Am Ende bestimmst du alle fehlenden Werte und achtest auf Randwerte - die können manchmal die echte Lösung sein!
Profi-Tipp: Die Zielfunktion zu finden ist meist der schwierigste Teil - danach läuft's wie normale Kurvendiskussion!
Hier siehst du ein typisches Beispiel: Ein Dreieck soll unter dem Funktionsgraphen f(x) = -1/6·x² + 4,5 maximale Fläche haben. Der Punkt P(u|f(u)) bestimmt dabei die Dreiecksgröße.
Die Lösung entwickelt sich logisch: Hauptbedingung ist A = ½·g·h für die Dreiecksfläche. Die Nebenbedingung sagt uns, dass P auf dem Graphen liegt, also g = u und h = f(u). Eingesetzt ergibt das die Zielfunktion A₁(u) = -1/12·u³ + 2,25u.
Der Rechenteil: A'₁(u) = -¼u² + 2,25 = 0 liefert u₁ = 3 und u₂ = -3. Da wir im ersten Quadranten sind, nehmen wir u₁ = 3. Die zweite Ableitung A''₁(3) = -3/2 < 0 bestätigt das Maximum.
Das Ergebnis: P(3|3) gibt die größte Dreiecksfläche. Siehst du? Systematisches Vorgehen macht auch komplexere Aufgaben machbar!
Achtung: Bei Funktionsgraphen immer prüfen, in welchem Quadranten du arbeitest!
Manchmal hilft es, die gleiche Aufgabe zweimal zu sehen! Hier ist der Dreieck-unter-Graph-Fall nochmal komplett durchgerechnet, damit du das Muster wirklich verstehst.
Setup: f(x) = -1/6·x² + 4,5 im ersten Quadranten, maximale Dreiecksfläche gesucht. Hauptbedingung A = ½·g·h, Nebenbedingung durch die Koordinaten von P: g = u und h = f(u).
Die Rechnung: Einsetzen gibt A₁(u) = ½·u· = -1/12·u³ + 2,25u. Ableiten: A'₁(u) = -¼u² + 2,25 = 0 führt zu u₁ = 3, u₂ = -3. Wegen erstem Quadranten ist u = 3 richtig.
Check und Ergebnis: A''₁(3) = -3/2 < 0 bestätigt das Maximum. Y-Koordinate: f(3) = 3, also P(3|3). Das größte Problem bei solchen Aufgaben? Die Zielfunktion richtig aufstellen!
Erfolgsgeheimnis: Übung macht den Meister - nach ein paar Aufgaben erkennst du die Muster sofort!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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lernzettelforfree
@lernzettelforfree
Extremwertprobleme sind überall im Alltag - vom Bau der sparsamsten Dose bis zum größten Pool mit begrenztem Material. Du lernst hier, wie man mathematisch das Maximum oder Minimum findet, wenn bestimmte Bedingungen gegeben sind.
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Extremwertprobleme begegnen dir ständig im echten Leben! Stell dir vor, du willst mit 400m Zaun die größte Fläche umzäunen oder mit wenig Material eine Dose bauen, die trotzdem viel Inhalt hat.
Die drei klassischen Beispiele zeigen dir das Prinzip: Du hast immer eine Hauptbedingung (was soll maximal werden?) und eine Nebenbedingung (was begrenzt dich?). Bei der Fläche willst du A(a,b) = a·b maximieren, aber dein Zaun ist begrenzt durch U(a,b) = 2 = 400m.
Das Coole dabei: Durch geschicktes Umformen bekommst du am Ende eine Zielfunktion mit nur noch einer Variable. Aus A(a,b) = a·b wird dann A(a) = a, weil du b = 200-a aus der Nebenbedingung gewinnst.
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Hier siehst du ein typisches Beispiel: Ein Dreieck soll unter dem Funktionsgraphen f(x) = -1/6·x² + 4,5 maximale Fläche haben. Der Punkt P(u|f(u)) bestimmt dabei die Dreiecksgröße.
Die Lösung entwickelt sich logisch: Hauptbedingung ist A = ½·g·h für die Dreiecksfläche. Die Nebenbedingung sagt uns, dass P auf dem Graphen liegt, also g = u und h = f(u). Eingesetzt ergibt das die Zielfunktion A₁(u) = -1/12·u³ + 2,25u.
Der Rechenteil: A'₁(u) = -¼u² + 2,25 = 0 liefert u₁ = 3 und u₂ = -3. Da wir im ersten Quadranten sind, nehmen wir u₁ = 3. Die zweite Ableitung A''₁(3) = -3/2 < 0 bestätigt das Maximum.
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Die Rechnung: Einsetzen gibt A₁(u) = ½·u· = -1/12·u³ + 2,25u. Ableiten: A'₁(u) = -¼u² + 2,25 = 0 führt zu u₁ = 3, u₂ = -3. Wegen erstem Quadranten ist u = 3 richtig.
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87
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
MatheErfahren Sie, wie Sie Extremstellen einer Funktion berechnen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitungen, die Anwendung der pq-Formel und die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über quadratische Funktionen: Darstellungsformen, Scheitelpunkte, Nullstellen, und die Transformation von Parabeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur quadratischen Ergänzung und zur Berechnung von Extremwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Berechnung von Nullstellen, der Umformung in Scheitelpunktform und der Anwendung der quadratischen Ergänzung. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und erklärt die Parameter a, d und e für eine umfassende Verständnis. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheUmfassende Zusammenfassung für das Abitur in analytischer Geometrie und Stochastik. Behandelt zentrale Konzepte wie Parameterdarstellung von Geraden, Lagebeziehungen, Hypothesentests, Kombinatorik und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Anna
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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