Extremwertprobleme - Schritt für Schritt lösen
Stell dir vor, du willst mit einem 16 Meter langen Zaun die größtmögliche rechteckige Fläche einzäunen. Das ist ein typisches Extremwertproblem mit Nebenbedingungen - und du kannst es systematisch lösen!
Der Trick liegt darin, dass du zwei Gleichungen brauchst: eine für das, was du maximieren willst (Hauptbedingung), und eine für die Einschränkung (Nebenbedingung). Die Hauptbedingung ist hier die Fläche A = a·b, die Nebenbedingung der Umfang 2a + 2b = 16.
Durch Umstellen der Nebenbedingung erhältst du a = 8 - b. Das setzt du in die Hauptbedingung ein: A(b) = 8−b·b = 8b - b². Jetzt kannst du mit der ersten Ableitung A'(b) = 8 - 2b das Maximum finden.
Merke dir: Bei Extremwertaufgaben führst du immer die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten.
Das Ergebnis: Ein Quadrat mit 4×4 Metern ergibt die maximale Fläche von 16 m².