Mathe Formelsammlung - Wichtige Gleichungen und Formeln

Analytische Geometrie

Vektoren sind das A und O der analytischen Geometrie – und eigentlich viel einfacher als sie aussehen. Mit dem Betrag $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ berechnest du die "Länge" eines Vektors, während das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ dir bei Winkeln hilft.

Geraden beschreibst du mit $\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u}$ – ein Startpunkt plus Parameter mal Richtungsvektor. Ebenen funktionieren ähnlich, nur mit zwei Richtungsvektoren: $\vec{x} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$.

Tipp: Die Koordinatenform $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ ist oft am praktischsten für Rechnungen!

Für Winkel zwischen Vektoren nutzt du $\cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Bei Geraden und Ebenen musst du aufpassen: Manchmal brauchst du Cosinus, manchmal Sinus – je nachdem was du berechnest.

Die wichtigsten Abstandsformeln sind der Abstand Punkt-Ebene mit der praktischen Formel $d = \frac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Elementare Geometrie

Flächenberechnungen sind meist ziemlich straightforward – Dreieck ist $\frac{1}{2}g \cdot h$, Parallelogramm $g \cdot h_g$. Bei der Raute und beim Drachenviereck rechnest du mit den Diagonalen: $A = \frac{1}{2}e \cdot f$.

Körper-Volumen folgen klaren Mustern: Prisma und Zylinder sind immer Grundfläche mal Höhe ($V = G \cdot h$). Pyramide und Kegel bekommen noch den Faktor $\frac{1}{3}$ dazu.

Merkhilfe: Spitze Körper (Pyramide, Kegel) haben immer $\frac{1}{3}$ im Volumen!

Die Kugel tanzt etwas aus der Reihe: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ und Oberfläche $O = 4\pi r^2$. Beim rechtwinkligen Dreieck sind der Satz des Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) und die trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) deine besten Freunde.

Für die Mantelfläche von Zylindern ($M = 2\pi rh$) und Kegeln ($M = \pi rs$) musst du die entsprechenden Formeln parat haben.

Analysis Grundlagen

Binomische Formeln und die p-q-Formel sind absolute Basics – die solltest du im Schlaf können. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ und $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ werden dir ständig begegnen.

Bei Potenz- und Logarithmengesetzen geht's um logische Zusammenhänge: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ und $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$. Funktonstransformationen verändern Graphen systematisch – $f(x-c)$ verschiebt nach rechts, $f(x)+d$ nach oben.

Achtung: Bei $f(x-c)$ geht's entgegen der Intuition nach rechts, nicht links!

Ableitungsregeln für Standardfunktionen musst du draufhaben: Potenzfunktionen $f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}$, Exponentialfunktionen $f'(x) = k \cdot a \cdot e^{kx}$, Logarithmus $f'(x) = \frac{1}{x}$.

Die Steigung entspricht immer $f'(x) = \tan(\alpha)$, und für senkrechte Geraden gilt $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Stochastik

Baumdiagramme funktionieren mit zwei simplen Regeln: Längs eines Pfades multiplizierst du, verschiedene Pfade addierst du. Die Vierfeldertafel hilft dir, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu strukturieren.

Bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ist mega wichtig für Abhängigkeiten. Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt einfach $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Binomialverteilung ist der Star unter den Verteilungen: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ mit Erwartungswert $\mu = np$ und Standardabweichung $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

Sigma-Regeln: 95% aller Werte liegen im Bereich $\mu \pm 1{,}96\sigma$ – super praktisch für Abschätzungen!

Kombinatorik unterscheidet vier Fälle je nach Reihenfolge und Wiederholung. Statistische Tests prüfen Hypothesen – pass auf Fehler 1. Art (fälschlich verwerfen) und 2. Art (fälschlich annehmen) auf.

Bei einseitigen Tests suchst du je nach Richtung das größte k mit $P(X \le k) \le \alpha$ oder kleinste k mit $P(X \ge k) \le \alpha$.