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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

Mathe4.540Aktualisiert 5. Okt. 20264 Seiten

Mathematische Funktionen erklärt: Lineare und Quadratische

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Lara@lara_zrtj
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Funktionen sind wie Maschinen, die aus einem x-Wert genau einen y-Wert machen - du steckst etwas rein und bekommst immer nur ein Ergebnis raus. Das ist super wichtig für Mathe, weil du damit alles von Geraden bis zu Parabeln verstehen kannst.
Funktionen – Seite 1

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Was sind Funktionen und ihre Bereiche?

Eine Funktion ist eigentlich ganz einfach: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Stell dir vor, du hast eine Maschine - rein geht x, raus kommt immer nur ein y.

Der Definitionsbereich sind alle x-Werte, die du in deine Funktion reinstecken kannst. Der Wertebereich sind alle y-Werte, die dabei rauskommen können.

Bei Brüchen musst du aufpassen: Der Nenner darf nie 0 werden! Bei Wurzeln darf unter der Wurzel nichts Negatives stehen. Das schreibst du dann so: D = ℝ{0} bedeutet "alle reellen Zahlen außer 0".

Merktipp: Eine Funktion ist wie eine ehrliche Vending-Machine - für jeden Knopf x−Wertx-Wert kommt immer nur ein bestimmtes Produkt y−Werty-Wert raus!

Funktionen – Seite 2

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Lineare Funktionen verstehen

Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + n und sehen aus wie gerade Linien. Das m ist die Steigung und n der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Die Steigung berechnest du mit dem Differenzquotienten: m = y2−y1y₂ - y₁/x2−x1x₂ - x₁. Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie.

Mit zwei Punkten kannst du jede Gerade bestimmen: Erst die Steigung berechnen, dann einen Punkt einsetzen, um n zu finden. Fertig ist deine Funktionsgleichung!

Praxis-Tipp: Zeichne immer ein Steigungsdreieck - das macht die Steigungsberechnung viel anschaulicher!

Funktionen – Seite 3

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Lineare Funktionen bestimmen und quadratische Funktionen

Um eine lineare Funktion aus zwei Punkten zu bestimmen, gehst du systematisch vor: Steigung berechnen, dann einen Punkt in fxx = mx + n einsetzen und n ausrechnen.

Quadratische Funktionen haben zwei wichtige Formen: Die Normalform fxx = ax² + bx + c und die Scheitelpunktform fxx = ax−dx - d² + e. Der Parameter a bestimmt, ob die Parabel gestaucht oder gestreckt ist.

Aus der Scheitelpunktform liest du den Scheitelpunkt direkt ab: S(d|e). Das ist der höchste oder tiefste Punkt deiner Parabel.

Versteh-Trick: Die Scheitelpunktform ist wie eine Bauanleitung - sie sagt dir genau, wohin du die Normalparabel verschieben musst!

Funktionen – Seite 4

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Umformen und Gleichungen lösen

Zwischen Normal- und Scheitelpunktform kannst du mit binomischen Formeln umrechnen. Von Scheitelpunkt- zur Normalform: ausmultiplizieren. Andersrum: quadratische Ergänzung verwenden.

Für quadratische Gleichungen hast du drei Methoden: Wurzelziehen (bei ax² + c = 0), Satz vom Nullprodukt (bei ax² + bx = 0) und die pq-Formel (bei ax² + bx + c = 0).

Die pq-Formel x = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q ist dein Allheilmittel, wenn die anderen Methoden nicht funktionieren. Einfach p und q ablesen und einsetzen!

Erfolgs-Tipp: Erkenne zuerst die Form deiner Gleichung - dann weißt du sofort, welche Methode am schnellsten zum Ziel führt!

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